“數學實驗經驗”觀點下研究“最小覆蓋圓”問題的活動與思考

☉江蘇南京市雨花臺區教師發展中心 劉春書

一、問題的提出

許多數學教師都熱衷于數學課外拓展內容的教學，但是，在實施中注重結果，而忽視經驗.這是源于數學實驗未得到初中數學課堂的廣泛接納，數學實驗的效能也就未得到很好地發揮.主要原因是：教師不知道數學實驗的核心價值是活動經驗，而不是結果的呈現.

為了檢驗某種理論或假設是否具有預想效果而進行的試驗活動叫實驗.實驗要由操作、觀察、感受、體驗得出結論.數學實驗有別于實驗，它是基于思維通過動手操作，在操作中形成經驗，得出結論，再推理說明結論.最小覆蓋圓的實驗課，教師注重引導，而忽視學生體驗，進行分類得出結論，注重了結果，而忽視了經驗.只有凸顯學生的主體地位，通過操作實驗與思維實驗，收獲感性經驗與邏輯經驗，注重這些經驗的應用，進行研究，最小覆蓋圓的問題就會自然，思路清晰，從而享受數學實驗帶來的快樂，最終從最小覆蓋兩點到更多點，形成通性通法.

二、活動的設計

1.嘗試實驗，形成經驗.

概念有白描、歸納與概括三個過程，最小覆蓋圓的概念可以直接拋給學生，但效果欠佳，因為缺少數學實驗，形成不了經驗，就會在后面研究最小覆蓋三點、四點或更多點的問題時缺少經驗.

問題1：（1）請用直尺與圓規畫一個圓，將線段AB覆蓋；

（2）畫一個最小的圓，將線段AB覆蓋，并給這個圓取個名字；

（3）辨析：過線段兩端點的圓是線段最小的覆蓋圓.

設計意圖：依據圓的概念，作圓關鍵是定圓心，定半徑.如圖1，學生從能作覆蓋圓進行比較，得到更小覆蓋圓，直至最小覆蓋圓，學生自己下概念.在這實驗過程中有操作實驗，也有思維實驗，在概念的辨析環節，體驗到圓心與半徑的確定是畫最小覆蓋圓的關鍵因素，進一步體會線段最小覆蓋圓具有存在性和唯一性，這是感性經驗與邏輯經驗的結論.

2.進行實驗，遷移經驗.

三角形的外接圓是三角形的最小覆蓋圓，這一錯誤認識是普遍現象，但是基于問題1的研究學生有一定數學活動經驗，在此處有必要讓思維實驗在前，操作實驗在后，進行數學經驗再積累.

問題2：（1）請用尺規畫任意三角形的最小覆蓋圓；

（2）結合構圖過程與結果思考形成了哪些數學經驗？

設計意圖：本問題是開放性設計，主要讓學生經歷實驗過程，最小覆蓋三點是在最小覆蓋兩點的基礎上進行再實驗，最小覆蓋圓首先要覆蓋最長邊，此時第三點可能在圓內、圓上、圓外.能覆蓋，如圖2.1與2.2，∠C≥90°；不能覆蓋，如圖2.3，∠C＜90°.其實這是所學圓周角的經驗遷移，直徑所對圓周角為直角，圓上點與圓內點都能覆蓋，圓外點不能覆蓋.本環節不在乎結論的形成，而是注重積累從研究覆蓋兩點到研究覆蓋第三點的邏輯經驗，為覆蓋四邊形提供經驗準備.三角形的最小覆蓋圓不是簡單對三角形分類研究再得出結果，而是基于覆蓋點從少到多的經驗想到分類.

圖2 .3

圖2 .1

圖2 .2

圖1

基本經驗1：距離最長兩點的最小覆蓋圓能覆蓋第三點，則此圓為三角形的最小覆蓋圓；距離最長兩點的最小覆蓋圓不能覆蓋第三點，三角形的外接圓就是最小覆蓋圓.

問題3：（1）如圖3.1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，請問∠A與∠C的關系；如果改變點C的位置，請問∠A與∠C有怎樣的關系.B

圖3.1

圖3.2

圖3.4

圖3 .3

（2）如圖3.2，∠A＋∠C＞180°，△ABD的外接圓必覆蓋點C嗎？△BCD的外接圓必覆蓋點A嗎？為什么？你能得到什么結論？

設計意圖：從學生直接經驗圓內接四邊性質入手，生成新的活動經驗.如果將點C移到圓內，如圖3.2，∠A+∠C＞180°，則∠B+∠D=360°－（∠A+∠C）＜180°；如圖3.3，如果將點C移到圓外，∠A+∠C＜180°，但∠B+∠D=360°－（∠A+∠C）＞180°，其實就是A、B、D三點的外接圓不能覆蓋第四點.問題（2）利用尺規或幾何畫板進行實驗操作，如圖3.4，△ABD與△BCD的外接圓都能覆蓋第四點，基于動手操作對兩個問題的解決得到經驗2.

基本經驗2：四邊形一組對角之和等于180°，四邊形的外接圓就是最小覆蓋圓；一對對角和大于180°，另一組對角和就一定小于180°，對角和小于180°的兩個角的頂點與第三個角的頂點的外接圓必覆蓋第四點，同時對角和大于180°的兩個角的頂點與第三個角的頂點的外接圓不能覆蓋第四點.

3.推進實驗，積累經驗.

四邊形的最小覆蓋圓基于三角形最小覆蓋圓的經驗遷移，而不是在零起點再做實驗，如果零起點再做實驗，那么更多邊形的最小覆蓋圓如何解決呢？因此解決四邊形覆蓋圓的時候一定讓學生回憶三角形最小覆蓋圓實驗經驗.

問題4：（1）請用尺規畫任意四邊形的最小覆蓋圓；

（2）結合實驗過程與結果，總結形成了哪些數學經驗與結論？

設計意圖：由基本經驗1思考：最長兩點的連線段的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點？有兩種可能結果：能與不能.

（1）能覆蓋另兩點.

距離最長兩點的連線段可能是對角線，也有可能是一條邊，如圖4，若對角線最長，另一組對角為鈍角與鈍角、鈍角與直角、直角與直角，即∠B≥90°，∠D≥90°時，以AC為直徑的圓必覆蓋另兩點B、D.

圖4

如圖5，若四邊形的一邊最長，連接AD、BC，∠ABC≥90°，∠ADC≥90°時，將∠ADC沿最長邊AC翻折，便可化歸對角線最長的情況，統一這兩種情況得到基本結論1.

圖5

基本結論1：距離最長兩點的連線段的兩端點與另外兩點連線的夾角是鈍角或直角，那么此四邊形的最小覆蓋圓就是以距離最長兩點連線段為直徑的圓.

（2）不能覆蓋另兩點.

若最長兩點的連線段的最小覆蓋圓不能覆蓋另兩點，有必要思考：覆蓋三點的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點？四邊形任取三個頂點構成三角形，作三角形的外接圓，有四個，能否覆蓋第四點？學生進行操作實驗，首先給出肯定，由基本經驗2可知：任意凸四邊形必有一組對角和大于或等于180°，另一組對角和小于或等于180°，從特殊到一般進行思考：若對角和等于180°，這個四邊形四點共圓，最小覆蓋圓就是四邊形的外接圓，其實就是任意三點構成的三角形的外接圓；一對對角和大于180°，另一組對角和就一定小于180°，如圖6.1，四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD＞180°，則∠ABC+∠ADC＜180°，過任意三點所對應三角形的外接圓必覆蓋第四點嗎？連接AC，得△ABC與△ACD，由基本經驗2得這兩個三角形的外接圓不能覆蓋第四點，如圖6.2，連接BD，構造鈍角△ABD的外接圓與銳角△BCD的外接圓，由基本經驗2得這兩個三角形的外接圓都能覆蓋第四點，同時得到△BCD的外接圓為⊙O1，△ABD的外接圓為⊙O2，由外心定義發現兩個圓的圓心O1、O2在BD的垂直平分線上，同時O1B＜O2B，合情推理得到⊙O1比⊙O2小，因此四邊形的最小覆蓋圓是⊙O1.

4.深入實驗，運用經驗.

問題5：已知，如圖7，四邊形ABCD中，∠A+∠C＞180°，∠A＞90°＞∠C.

圖6.1

圖6.2

求證：△BCD的外接圓為覆蓋四邊形ABCD的最小覆蓋圓.

設計意圖：交代∠A+∠C＞180°為何還要追加條件∠A＞90°＞∠C？因為∠A+∠C＞180°，可能情況有（1）∠A＞90°，∠C≥90°；∠A≥90°，∠C＞90°，這一情況可以利用基本結論1解決；（2）∠A＞90°，∠C＜90°或∠C＞90°，∠A＜90°，這兩種情況其實是一種情況，此時∠B+∠D＜180°.要證△BCD的外接圓覆蓋四邊形，同時要證△BCD的外接圓是最小覆蓋圓.

證明：如圖8.1，假設點A在△BCD的外接圓的外部，在弧上取一點E，連接BE，并且延長BE交AD于點F.

∠BFD是△ABF的外角，所以∠BFD＞∠A.同理，∠BED＞∠BFD，所以∠BED＞∠A.

因為四邊形BCDE是△BCD的外接圓的內接四邊形，所以∠BED+∠C＝180°，所以∠A+∠C＜180°.

又因為條件∠A+∠C＞180°，兩者相矛盾，

所以假設不存在，所以點A在△BCD的外接圓的內部.

圖7

圖8.1

圖8.3

圖8.2

如圖8.2，在△BCD的外接圓O1中，連接BD、BO1，并延長BO1交弧CD于點E，連接DE，∠E＝∠C.

因為BE為直徑，所以∠BDE＝90°.

如圖8.3，在△ABD的外接圓O2中連接BD、BO2，并延長BO2交弧CD于點F，連接DF，∠F＝180°－∠A.

因為BF為直徑，所以∠BDF＝90°.

因為∠A+∠C＞180°，所以∠C＞180°－∠A.

又因為90°＞∠C，所以90°＞∠C＞180°－∠A，所以sin∠C＞sin（180°－∠A）.

所以BE＜BF，所以圓O1是四邊形ABCD的較小覆蓋圓.

假設存在一個比圓O1還小的圓O3覆蓋四邊形ABCD，O3就覆蓋銳角△BCD.

因為銳角△BCD的最小覆蓋圓為圓O1，相矛盾，所以假設不存在.所以圓O1是四邊形ABCD的最小覆蓋圓.

基本結論2：

（1）四邊形的對角互補，則最小覆蓋圓就是任意三點的外接圓；

（2）四邊形的一對對角不互補，以相對兩角之和小于180°的兩頂點與另一對對角中較小角的頂點構成的三角形的外接圓就是四邊形的最小覆蓋圓.

基于基本結論1、2，四邊形的最小覆蓋圓小結如下：四邊形的最小覆蓋圓，首先考慮距離最遠兩點的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點，用基本結論1；若不滿足基本結論1，考慮覆蓋三點的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點，就利用基本結論2.

5.無形實驗，升華經驗.

老子說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”.這就要求我們基于實驗經驗，積極思維，掌握規律，才能“三生萬物”.研究了四邊形的最小覆蓋圓，必然會考慮如何研究五邊形的最小覆蓋圓及其基本事實.首先肯定此時不是操作實驗就能先行解決問題的，而是基于思維實驗先行，所以實驗無形，經驗有影.從覆蓋三點的最小覆蓋圓和覆蓋四點的最小覆蓋圓的邏輯經驗遷移，得五邊形的最小覆蓋圓也許存在困難，但是這種研究問題的經驗值得再遷移.具體經驗有如下兩點.（1）從覆蓋點的個數增多研究最小覆蓋圓.先考慮過距離最遠兩點的最小覆蓋圓能否覆蓋其余三點，能就是最小覆蓋圓.同樣是連接距離最遠兩點與各點的夾角，滿足夾角為鈍角或直角時，此最長線段的最小覆蓋圓就是五邊形的最小覆蓋圓.覆蓋三點的最小覆蓋圓，能否覆蓋另兩點，此三點構成的三角形為銳角三角形，另兩點與相鄰兩點的連線夾角為鈍角，并且滿足此角與銳角三角形的另一點的角之和大于或等于180°.（2）從圓內接四邊形經驗到研究圓內接五邊形的經驗.再考慮覆蓋四點的最小覆蓋圓能否覆蓋第五點，如果行，應該滿足怎樣的條件，若不行再繼續研究.

三、數學實驗要厘清關系

數學實驗不同于物理與化學實驗，需要操作，更需要理性思考，因此，應處理好操作實驗與思維實驗的關系；數學是一門發展思維的學科，思維有歸納與推理，一個完整的數學實驗先經歷歸納，再進行推理，因此有必要處理好歸納與推理的關系；數學實驗在積累經驗的過程中歸納出結論，數學實驗絕不是為了結論而實驗，因此有必要處理好經驗與結論的關系.

1.處理好操作實驗與思維實驗的關系.

設置數學實驗的目的是引導學生經歷數學知識產生、形成、展開和應用的過程，在操作和探究中感受數學、體驗數學和理解數學，發展解決問題的策略.但是有的數學實驗，常常是為了“實驗”而讓學生動手操作，缺少適宜的數學思維成分，因此有必要處理好操作實驗與思維實驗的關系.通過本案例發現：首先，很多時候需要操作實驗先行，從而發現、理解數學內涵與本質，當然本質結論的形成需要一個反復的過程，不是一蹴而就的，在操作實驗的過程中必須有邏輯經驗進行指引，否則就是盲人摸象毫無方向.其次，當積累了一定的數學實驗經驗（包括操作經驗或是邏輯經驗）時，有必要思考一下能否改變實驗的方式，就是先邏輯實驗，推理歸納一些數學結論，再進行操作經驗進行驗證.最后，要邏輯經驗或操作經驗進行整合，形成合力，即邊操作邊推理，邊推理邊操作.

2.處理好歸納思維與演繹推理的關系.

任何數學實驗得到的結論都需要嚴密的推理證明.因此，在數學實驗的過程中其終極目標就是推理證明其合理性，無論實驗的結果如何直觀，要想利用其解決問題必須證明其完畢性.本課例對實驗得到的結論進行了嚴密的證明，使得在使用結論解決問題的過程中有理有據.數學是發展思維能力的一門學科，主要是歸納與推理的能力，數學實驗首先是一個經歷操作與邏輯實驗的歸納過程，作為數學實驗的落腳點還需要進行必要的推理證明過程.

3.處理好活動經驗與數學結論的關系.

“術”是“明道”后轉化而來的具體操作方法，數學教學中“優術”是指歸納總結探究過程中的經驗，優化解決問題的思維，掌握一定的思維技巧，以提高思維效果和效率.2011版新課標提出注重過程，處理好過程與結果的關系，在許多數學課中老師注重結果，概念、法則、性質、判定的探索過程被淡化，忽視了活動經驗的積累，看似解題能力大漲，其實數學的思維能力欠缺.數學實驗恰恰注重過程，在過程中積累經驗，經歷操作與思維的實驗過程歸納得出結論，并進行推理證明.得出結果僅僅是數學實驗教學的一個維度的收獲，最為重要的是掌握研究這一類問題的經驗與方法，以便以后解決類似的問題.

參考文獻：

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3.盧良芳.注重數學實驗 展示探索過程 積累思想方法——提升初中學生數學核心素養的實踐與探索［J］.中學數學（下），2016（5）.