史料豐富的勾股定理該如何引入新課
——以勾股定理起始課為例

2018-05-21 03:09:02重慶市第七中學校

中學數學雜志 2018年10期

☉重慶市第七中學校任毅

勾股定理是教研活動的熱點課題，也是一個難點課題.記得曾有專家說過：“要看一個老師的基本功，就讓他上勾股定理.”筆者近期有機會參與一次教研活動，聽了一位有十年教齡的青年教師的勾股定理起始課，本文將整理該課的部分教學過程，并跟進評課意見，供研討.

一、勾股定理起始課教學片段

片段1：開課階段.

情景再現：古希臘學者、數學家畢達哥拉斯，據傳他在一次朋友家做客吃飯時，發現朋友家地磚中的圖形刻畫出了某種數學規律（顯示圖1）.

問題1：觀察圖中的地面，正方形地磚被對角線分割成什么三角形？

學生活動：觀察、聽取老師講述的故事，從中發現圖片中每個正方形地磚被分割成四個等腰直角三角形.

圖1

問題2：觀察以其三邊分別畫出的正方形，有什么性質？

學生活動：與同伴合作探討，發現以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.

問題3：還可以研究圖中的什么關系呢？

生1：可以研究正方形邊長之間的關系，因為正方形的面積公式與邊長有關.

師追問：這三個正方形的邊長構成的等腰直角三角形，它的三邊有什么關系？

生2：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生3：直角邊平方的兩倍等于斜邊的平方.

師：從圖中我們發現，他們兩人的猜想好像都是正確的！我們重新表述一下，等腰直角三角形的三邊之間可能具有一種特殊的關系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

問題4：這是由什么原因造成的呢？你這時會接著研究什么呢？

學生討論后，認為可以進一步研究任意直角三角形是否也有同樣的特點.

教師顯示網格圖片，設定每個小方格的邊長均為1，（1）分別計算圖中正方形A、B、C的面積；（2）正方形A，B，C的面積之間有什么關系？（3）以上結論與直角三角形又有什么關系？與同伴交流.

學生：分小組討論，并踴躍發表自己的看法.

教師參與小組活動，指導、傾聽學生交流.針對不同認識水平的學生，引導其用不同的方法（割補法）得出大正方形C的面積，并進一步猜想直角三角形的三邊關系.

問題5：仍然是兩個特例的驗證，就此能說明一般嗎？

生4：不能.因為第一個例子是通過研究特殊的等腰直角三角形得到的結論，第二個例子背景在網格中，三角形邊長是整數.

生5：我有補充說明.我認為第二個例子中三角形邊長不一定是整數，因為一個單位長度可以代表任意實數，這個例子只能代表三邊比例固定的情形.

師：因此，這不是最一般的三角形，還需要我們繼續進行研究.

……

片段2：教師組織學生拼圖并證明勾股定理.

師過渡：大家經歷了勾股定理的發現歷程，思考一下：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進行證明.下面請大家一起動手體會一下，

拼圖活動：小組合作，用準備好的4個全等的直角三角形拼成一個大的正方形（中間可以有空白）；你能拼出幾種不同的情形？

學生在獨立思考的基礎上以小組為單位，開展拼接活動.教師參與小組拼圖活動，關注學生能否進行合理拼接，傾聽學生的交流，對不同層次的學生給予幫助、指導學生完成拼圖活動.

對于率先拼接成功的小組進行表揚，并安排他們小組派代表把拼接的結果展示到黑板上（如圖2、圖3）：

圖3

圖2

問題1：利用圖2、圖3，可以研究圖形哪方面的性質？生1：研究與面積有關的性質.

師：具體如何研究呢？

生2：以拼圖3為例，大正方形的面積有兩種算法：

問題2：用文字語言和符號語言描述直角三角形三邊的關系.

生3：文字語言為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生4：符號語言為：在Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.（勾股定理）

提示：實際上，（1）以斜邊為邊長的正方形的面積等于某個大正方形的面積減去4個直角三角形的面積；（2）以斜邊為邊長的正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上某個小正方形的面積.

注意到三個正方形是分別“生長”在直角三角形的三邊上，發現直角三角形三邊長度之間存在聯系：設直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，可用三角形的三邊長表示三個正方形的面積.于是猜想：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2命題1，即勾股定理.

片段3：勾股定理證明之后，教師安排學生交流課前

搜集到的一些勾股定理的數學史話.

師：課前，學生已經通過書本、網絡等渠道了解了一些勾股定理的歷史和文化，請他們來說一說.

生1：公元前30世紀的古巴比倫的一塊泥石板，記錄了一些勾股數；公元前6世紀，畢達哥拉斯發現了這個定理，他的學派殺了一百只牛慶祝，勾股定理也叫作“百牛定理”.

師：國際上通行的將“勾股定理”稱為“畢達哥拉斯定理”.這是什么原因呢？有同學了解到相關背景嗎？

生2：公元前11世紀，西周的商高提出“勾廣三，股修四，徑隅五”，是世界上有記載的最早的勾股出處，是我們值得自豪的榮耀一筆.

師：是的，但是，當時商高并沒有提出勾股定理的證法，相當于只提出了滿足勾股定理的一個特例.因此這正是被西方所詬病的地方.

生3：三國時期，趙爽在《周髀算經》中給出了趙爽弦圖，作為勾股定理的注解和證明.

生4：公元前4世紀，歐幾里得在《幾何原本》中提出了一個很有代表性的歐幾里得證法.

師：這個證法非常經典，除此之外，還有達芬奇證法等經典證法，勾股定理的證明方法，迄今已經有四百多種.同學們說了古時候國內外勾股定理的方方面面，再說說現代吧.

生5：2002年，在北京舉辦的國際數學家大會上，趙爽弦圖作為大會的會徽.

師：這也充分說明了勾股定理的地位，我國相當于用趙爽弦圖來代表我國國家的數學形象.

二、評課意見

1.勾股定理關聯廣泛，數學史話豐富而復雜.

被尊稱“千古第一定理”的勾股定理因其關聯廣泛而聞名于世，不僅是在不同的古老文明都有相關的記載，本身證明方法也多達幾百種，而且與很多數學分支、著名難題（如費馬大定理）都有密切聯系.所以在勾股定理的教學時，教師不是過多、無節制地引入相關的數學史話，而是要適可而止，不說過頭的話（比如，打著民族自豪感的旗幟亂說一些不知深淺的話），這些不當的言論傳遞給學生的往往就是一時的“真理”，對端正學生的認知不利.事實上，在BBC拍攝的《數學的故事》第一集就有關于勾股定理的一些考證介紹，感興趣的老師可關注，而不是從某些網站、網頁上摘引、夸大其辭.從上文課例中師生的一些對話中，我們看到這些不良傾向.

2.選擇怎樣的問題引入和驅動勾股定理教學值得商榷.

勾股定理的引入一直是教研的難點，好幾種版本的教材上都是選擇了畢達哥拉斯在友人家中坐客，由格子地磚得到靈感，發現了勾股定理及其證明.這可能是一種美妙的傳說或故事，不可當真.如前所述，勾股定理的數學史話豐富而復雜，在精選恰當情境引入時，我們認為，用上述傳說或故事并不是最優情境，一是因為讓人感覺明顯作假，其二，沒有開門見山揭示研究問題或對象，而是先繞到一個復雜的背景之下，發現其中一個局部的性質.我們認為，基于目前初中平面幾何教學的順序，選擇一個直角三角形，并引導學生一起來研究直角三角形的相關性質，梳理出研究它的角、邊、邊角之間的數量關系等研究方向之后，再有序介紹古人的研究成果與研究方法，也是值得借鑒的一種教學路徑.而且也符合章建躍博士倡導的向學生滲透面對一個新的幾何對象“研究套路”的意識：直角三角形從哪些元素來研究，角、邊、邊角之間的關系，等等.

3.課堂上難以發現勾股定理，但教師可幫助學生理解定理及證法.

由于勾股定理揭示的是直角三角形三邊之間的平方關系，常常被認為智慧生命進入較高文明層次后才能洞察，所以有人建議將勾股定理作為人類與外星智慧生物的溝通和對話的一種信號，這是有一定道理的.也正因為這個原因，要想在課堂上短短幾十分鐘創設情境來引導學生自主發現勾股定理就比較困難，所以我們的想法“退一步”，由幾何研究特殊圖形的基本套路出發，引導學生思考幾個特殊直角三角形的三邊平方關系，然后走向一般，歸納出它們之間的平方關系，并介紹古人是如何利用趙爽弦圖進行證明的，揭示趙爽弦圖之后，不急于給出證明，而讓學生在這個圖形的啟示之下演算證明，也可算是揭秘趙爽弦圖的奇妙之旅吧.

參考文獻：

1.蔡宗熹.千古第一定理——勾股定理［M］.北京：高等教育出版社，2013.

2.劉東升.基于HPM視角重構“勾股定理”起始課教學［J］.教育研究與評論（課堂觀察版），2016（1）.