構建衍生新知，發展高階思維
——以“矩形”的教學為例

☉江蘇常州市武進區湖塘實驗中學 蔣 飛

“矩形”是蘇科版八年級下冊的重要內容，是平行四邊形的后續銜接，也是研究幾何圖形的關鍵內容，對于發展學生幾何觀，利用幾何思維分析問題具有重要意義.為達到教學目標，提升學生的知識水平和思維能力，需要教師準確把握教學內容，創設情景，引導學生思考探究，自主構建知識體系，以下是筆者對于“矩形”相關內容的思考與建議.

一、基于不穩定性，構建矩形概念

矩形是生活中常見的圖形，學生對于生活中的矩形有一定的了解，但對于矩形的概念以及形成過程較為陌生，尤其是矩形與平行四邊形之間的關系理解不到位.矩形的概念是后續性質、判定知識學習的基礎，幫助學生深刻認識矩形概念有著重要的意義，在教學中可以設置情景問題，在已學知識的基礎上構建概念.

圖1

矩形教學可以在平行四邊形基礎上通過不穩定性的衍生來創設情景，教學中可以基于教材從動態運動視角設計操作活動：圖1是四根木棒搭建的平行四邊形，輕輕地用手推其中的一點D，可以發現哪些規律？讓學生拉伸平行四邊形，引導學生關注拉伸過程中角的變化，探究出現直角的情形，讓學生理解此時的圖形即為矩形.基于不穩定性，重現矩形的形成，利用兩者的聯系使學生接觸矩形的概念.也可以利用學生生活中常接觸的實例——校園拉伸們，設置如下情景問題：走進校門大家注意到伸縮門了嗎？構成伸縮門的基本圖形是什么？在門進行伸縮的過程中，有哪些基本圖形？這是利用圖形的什么性質完成伸縮的？一系列的問題設置，學生可以初步理解平行四邊形的一個角為直角時將變為矩形，這樣創設概念形成過程，完美實現了知識的過渡.

基于上述情景問題，學生經歷了概念的形成過程，進一步的教學可以從概念聯系性出發，讓學生對比矩形與平行四邊形的概念，從而加深概念理解.可以設置探究操作：平行四邊形與矩形之間有一定的聯系，兩者在圖形大小、長度、內角上有哪些改變呢？小組討論填寫表1（相等或不等）.

表1 平行四邊形與矩形聯系

初始活動僅僅是對兩者聯系性的直觀認識，通過圖表的填寫則可以使學生從數學幾何角度充分認識兩者之間的異同，另外可以利用圖2使學生進一步認識兩者的關系，即矩形屬于平行四邊形，平行四邊形不都是矩形.而對于矩形概念講解的最終層次則是將其上升到數學的理論高度，用數學的語言將其表述出來，可以從數學因果關系證明來表達：因為四邊形ABCD是平性四邊形，∠A=90°，所以平行四邊形ABCD是矩形.同時也可以逆向命題，闡釋矩形的數學語言表述.

利用平行四邊形與矩形的聯系，在已有的知識基礎上進行概念衍生，設置情景問題，從一般到特殊，將語言表述上升到理論高度，這樣矩形概念的自主構建過程，更有利于學生理解知識間的聯系性，也可以使學生感悟到知識背后的隱含內容，如矩形的不穩定性.

圖2

二、圖形衍生探究，學習矩形性質

矩形的性質是學習“矩形”章節的重要內容，也是充分認識、理解矩形的關鍵階段.之前學生已經學習了三角形、平行四邊形等圖形的性質，對于這些圖形性質更為熟悉，新圖形的性質探究則可以在這些基礎圖形上來衍生.

圖3

學生在學習平行四邊形時采用了動態衍生的方式，即從一般幾何圖形（四邊形）出發，通過改變圖形的邊、角關系，讓圖形逐步衍生，從而實現圖形的教學.在對矩形性質的教學時，教學思路同樣可以基于衍生圖，通過知識鏈的銜接來完成.教學中矩形的衍生過程同樣從不規則的四邊形開始，第一生長節確立為平行四邊形，第二生長節確立為矩形，第三生長節為邊長相等的平行四邊形，第四生長節確立為特殊的矩形——正方形，衍生圖如圖3所示.教學中只需要引導學生思考每一個生長點即可，以第一生長點為例，兩組對邊分別平行且相等就實現了不規則四邊形向平行四邊形的過渡，學生對矩形的概念有了一定的理解，很容易就可以想到第二生長點是存在一個內角為90°，對于矩形性質的探究只需要引導學生思考矩形是否同時具備兩個生長點所代表的性質，以及矩形是否具備平行四邊形的一些性質，讓學生從邊長、內角、對角線、對稱性等角度來分析，然后對信息進行匯總，如表2.

表2 平行四邊形和矩形的性質

同樣可以利用三角形來衍生，并結合圖形衍生方式將其滲透到具體的課堂活動中，參照平行四邊形旋轉，利用圖4所示的工具，設置如下活動：首先將三角型工具變成直角三角形，然后繞任意一條邊的中點旋轉180°，并在紙上勾畫出所得到的四邊形，觀察一下圖形所具有的一些特點.由于圖形是由直角三角形旋轉來的，則需要引導學生結合直角三角形性質和旋轉性質來分析，合理地引導學生很容易就可以發現對角線將矩形分割為全等的兩個直角三角形，則矩形必然具備三角形全等所對應的性質，從而得出對邊相等，結合對應角相等同樣可以獲得對邊平行.這樣充分利用了已學知識進行的思維活動，也是對學生已學知識強化，化知為用，是知識應用性的體現.

教材的前后知識內容是一個緊密聯系、相對統一的整體，在學習方法上存在一致性，即在課堂探究過程中可以充分參照利用，而衍生的教學過程就是這樣的由已知探未知最好的方式，上述無論是從四邊形，還是從三角形衍生矩形的性質，都是較為合理的教學方式，都是對學生思維過程的進一步鍛煉，這種由已知進行的衍生不僅是知識的生長，還是思維的生長.

圖4

三、形成高階思維，發展數學思想

對于“矩形”的教學，矩形的概念、定義、判定是知識層面的重要內容，而在課堂教學中教學的目標不應局限于教材知識本身，學生思維、思想的發展同等重要，課堂的教學也應該偏重一些較高的思維層次，設計一些思維任務，滲透一定的思想方法，培養學生思維的邏輯性.

例如，在學生掌握矩形概念后，可以先行組織學生系統歸納平行四邊形的特點，從邊、角、對稱、平分等方面進行總結，然后類比學習，讓學生思考矩形在這些方面又有哪些特點，可以得出怎樣的結論.又如，在定義、公式及規律探究過程中同樣可以設計思維任務，類比平行四邊形，平行四邊形可以由三角形旋轉而來，也可以將平行四邊形沿對角線分割為兩個全等的一般三角形，讓學生思考，矩形是否具有上述的特點，是否可以沿對角線分割出全等三角性，有幾種分割方法，所獲得的三角形具有怎樣的特征？在這個過程中學生很可能發現矩形沿對角線分割有多種方法，獲得的全等三角形也各具特點，如等腰三角形、直角三角形，這樣的思維活動為后續的性質總結是十分有利的.

高階思維活動的最后階段則是例題教學階段，在該階段可以分四個環節來開展.首先讓學生獨立思考，擺脫解題依賴性，讓學生經歷最原始的思維過程，即信息條件的整理；其次則是引導學生對獲得的信息進行思考，探尋解題思路，發展學生創造性思維.以教材例題為例：如圖5，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，并且∠AOB=60°，AB=4，求矩形對角線的長度.學生在自主思考過程可根據60°角結合對角線將矩形分割成小的等腰三角形得出△AOB是等邊三角形，進而通過矩形對角線等長、相互平分的性質求解.也可作輔助線，從三角形全等的角度來分析.下一階段則是引導學生分析各種方法的優缺點，并對例題變式，改變條件，同樣利用上述例題，將條件“∠AOB=60°”換為“∠DBC=30°”，讓學生進一步探尋解題思路.最后則是思維的鍛煉環節，需要引導學生對解題的方法和方向進行總結，將其上升到解題理論.

在對矩形判定定理的教學中同樣可以培養學生高層次的思維，如學生探究定理“有一個角是直角的平行四邊是矩形”時，可以讓學生思考：在判定一個平行四邊形是矩形時需要量幾個角？在判定一個四邊形是矩形時又需要量幾個角？是否可以說有兩個角是直角的四邊形就是矩形？一連串的遞進問題可以引導學生思維向反例列舉的方向發展，進而得到梯形這一特殊圖形，并拓展性地獲得任意四邊形是矩形的角度要求.上述從平行四邊形到一般四邊形的矩形判定，充分利用了特殊到一般的策略，同時對命題的真偽判定衍生來的反例列舉方法，也是對學生嚴密思考，嚴謹論證的思維鍛煉，無形中滲透的思想方法對于學生的思維是十分有利的.

四、結束語

圖5

“矩形”作為初中較為重要的知識內容，在實際教學中要明確教學內容，基于圖形不穩定性，合理構建矩形概念；把握知識生長點，開展圖形衍生探究，學習矩形性質；教學過程要注重學生高階思維的培養，引導學生自主學習，獨立思考，以發展學生的數學思想為教學目標.

參考文獻：

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