改編，凸顯分類討論的應用價值
——基于一道例題的設計及教學的思考

☉江蘇蘇州高新區第一初級中學校 李元軍

分類討論，是初中階段著力滲透的一種數學思想.在初中階段，需要進行分類的數學問題有很多，其中較為常見的是動點問題.在這些問題中，點的位置的不同會帶來線段長度的不同，這時就需要分類討論了.筆者近期改編了一道此類考題，從數和形兩個角度培養學生的分類討論意識，取得了較好的效果.現結合本題的改編及教學歷程談談我的做法，不當之處，敬請批評指正.

一、例題設計

1.原題及分析.

原題：已知拋物線 y＝ax2＋bx＋c過點A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E.

（1）求二次函數y＝ax2＋bx＋c的表達式；

（2）過點N作NF⊥x軸，垂足為點F，若四邊形MNFE為正方形（此處限定點M在對稱軸的右側），求該正方形的面積；

（3）若∠DMN＝90°，MD＝MN，求點M的橫坐標.

簡析：（1）用待定系數法即可順利求解；

（2）設M（m，－m2＋2m＋3），根據ME=MN，即|－m2＋2m＋3|＝2m－2，分類求解可得結果；

（3）先求出直線BC的解析式，同（2）設出點M的坐標，則點N（2－m，－m2＋2m＋3）、點D（m，－m＋3），類似于題（2），利用MD＝MN列出方程，結合點M的位置分類求解.

2.例題及分析.

例題：如圖1，拋物線y=－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C.點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D.若∠DMN=90°，MD＝MN，求點M的橫坐標.

圖1

簡析：筆者把原題（1）的結果直接告知學生，刪去原題（2），只選取了原題（3）作為例題所求，這樣的設計，突出了分類討論思想的應用，淡化了與教學內容關聯不大的考點，讓教學核心的地位與價值凸顯出來，為學生充分體會分類討論的路徑與應用價值騰出了時間和空間.

二、教學簡錄及分析

1.教學簡錄.

教師投影例題，學生自主解答，然后在小組中交流答案和思路.15分鐘后，小組交流結束.

師：說說你們的求解思路吧！

生1：我先設M（m，－m2＋m＋3），再分別表示出N點和D點的坐標，即N（2－m，－m2＋m＋3），D（m，－m＋3）.

師：接下來，你是怎么做的呢？

生2：由于MD＝MN，用含m的式子把這里的MD、MN表示出來，就可以列方程求解.

師：太棒了！看來你已經很好地掌握了方程思想，那如何表示MD和MN呢？

生3：因為不知道M、D的具體位置，所以MD的長度有可能是（－m2＋2m＋3）－（－m＋3），也可能是（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）.

師：看來是要分類討論了哦！

生4：對的. 當M在D的上方時，MD＝（－m2＋2m＋3）－（m＋3）＝－m2＋3m；當D在M的上方時，MD＝（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）＝m2-3m.

師：什么時候M會“跑到”D的下方呢？

生5：當M過了圖中的C點和D點時，就到了D點下方了.

師：給個具體范圍！

生6：當0＜m＜3時，M在D的上方；m＜0或m＞3時，M在D的下方.

師：看來是要分三段嘍！

生7：對的！分兩類三段：當0＜m＜3時，M在D的上方，MD＝－m2＋3m；當m＜0或m＞3時，MD＝m2－3m.

師：完全正確！此時，MN的位置定了嗎？需不需討論？（學生小聲議論片刻）

生8：我覺得也要討論，M可能像圖上這樣在N的右邊，也可能M在左邊，N在右邊.

師：是嗎？（稍作停頓）你說說理由.

生9：題目沒有明確告訴點M的位置，所以，M可以在整條拋物線上滑動.當M在對稱軸左側時，N就在對稱軸右側，當M在對稱軸右側時，N就在對稱軸左側.

師：如何表示MN的長呢？

生10：當M在拋物線對稱軸左側，即m＞1時，MN＝2－m-m=2－2m；當M在拋物線對稱軸右側，即m＞3時，MN＝m－（2－m）＝2m－2.

師：好的！接下來該如何列方程呢？

生11：我覺得，m的范圍應該切為四段.

師：哪四段？

生12：m＜0，0＜m＜1，1＜m＜3，m＞3.

（教師利用動畫同步演示，在M與D重合、M與N重合的關鍵位置下，停留了較長時間，讓學生感知這些位置的特別之處.）

師：怎么樣，看清楚了嗎？

生（齊）：清楚了！

師：那對應的方程呢？

生13：m＜0時，m2－3m＝2－2m；0＜m＜1時，－m2+3m＝2－2m；1＜m＜3時，－m2+3m＝2m－2；m＞3時，m2－3m＝2m－2.

師：不錯！還有其他思路嗎？

生15：我覺得，既然不知道M、N的位置，干脆直接把MN的長度表示為MN＝|2－2m|，同樣地，MD＝|－m2＋3m|，直接列出方程|－m2＋3m|＝|2－2m|，再分類討論?。ò鍟匠蹋?/p>

師：這個方程有道理嗎？

生16：有道理的！添上絕對值后，確保算出的長度是個非負數.

師：那怎么解呢？

生17：分四類討論：－m2＋3m為非負數，2－2m為非負數；－m2＋3m為負數，2－2m為非負數；－m2＋3m為非負數，2－2m為負數；－m2＋3m、2－2m均為負數.

生18：我覺得分四類太麻煩了，直接分－m2＋3m與2－2m同號和異號兩類就行了！也就是－m2＋3m＝2－2m和－m2＋3m＝－（2－2m）.

師：很好！求出解后，要注意什么？

生19：要驗證一下m的值是滿足題意和分類標準.

師：真棒，接下來，請大家根據剛才的思路訂正一下.

……

師：這樣的思路分析，給你什么啟示？

生20：分類討論可以從形的角度進行，依據不同的位置關系進行；也可以從數的角度展開，代數式取值不同，就會生成不同的方程.

生21：分類要抓住關鍵的“節點”，如位置變化中的“拐點”，字母的取值的變化時刻等，分類的標準可以不同，但對結果是否符合分類標準進行驗證是一樣的.

2.簡析.

分類討論解決問題，有時會因為分類的標準不同，而帶來解題模型和解題路徑上的差異.正是這樣的差異，才給學生分析與解決問題提供了多種選擇的機會.例題的分類，既可以基于“M、D的位置不同”進行，也可以基于線段長度的表示方法的不同進行.生3就是依據位置的不同從形的角度展開的分類，標準很清晰，也很直觀，對于有一定空間想象能力的學生來說，看出這四種情形還是大有可能的.所以，當學生給出這四種情形后，教師立即引導他們進行了十分詳細的分析，在形、數的每一個拐點處駐足觀察與交流，這樣的分析交流，對學生理解分類標準，把握分類實質，建構與解答數學解題模型是十分有利的.只不過，對于這樣一道例題，每個人都能分得如此精致到位，筆者以為還是不易的，所以，當生15給出“添加絕對值再分類”的方法后，無疑讓所有人眼前一亮，這是基于數的不同取值下的分類，最終的兩個方程，既有數的絕對值含義的深度應用，又有對方程這一等式所存在的性質的強化體驗，這種“數”的維度上產生的分類，強化了形的作用，對直觀想象能力偏弱的學生是很有用的.教師最后組織的小結交流，無疑是“錦上添花”之舉，因為有了兩個不同的分類標準，對學生來說還是蠻新鮮的，所以他們都有話可說，說得如他們分類那樣“自然得體”，而其積淀下的分類經驗，無論是形還是數，不同角度，自有不同的風采，無所謂對錯、繁簡，只要適用，一切皆好.

三、三點感悟

1.精心選擇原題，改編凸顯價值.

例題是教學的核心工具.現成的例題是很少的，必要的改編能滿足教學核心需求，筆者認為，在改編上花點時間、耗點精力是值得的.以本文中的這道例題為例，為了凸顯課時教學核心——分類討論思想，筆者將2017年山東威海中考卷的壓軸題作為原型，通過必要的刪減，將題（3）作為唯一求解要求呈現給學生，題目簡潔了，干擾因素少了，探索的重點也就凸顯出來了.這在教學中得到了很好的驗證，學生的交流完全圍繞著“為什么要分類”“如何分類”等話題展開，例題設計的成效就此突顯，如此成效，為我們的例題設計指引了一個方向——在課時核心上多花工夫.

2.強化解題交流，感悟數學思想.

數學思想是隱形的數學知識，它們一般都默默地儲存于學生的知識結構之中，是靜態的.我們的數學教學不僅要幫助學生獲得“雙基”這樣的顯性知識，還要幫助學生充分感悟數學思想這樣的隱性知識.為此，我們應讓學生經歷自主求解與合作交流的過程.解題是學生自主喚醒數學思想和應用數學思想的過程，同樣也是學生將數學思想自主再建構再完善的過程，要知道，沒有個體的主動建構，再有價值的思想也是無力的.適量的解題訓練，將有助于提升學生的數學思想建構水平和應用能力.此外，由于個體的思維力、想象力、應用力都是有限的，通過師生、生生反復交流，同樣可以喚醒和矯正解題中用到的數學思想，而那些在問題解決中出現的疏漏或不足，同樣會在交流中得到完善，所以，交流的價值還是很大的.

3.適度適量訓練，培養應用意識.

數學思想的應用意識的養成非朝夕之功，需要長期堅持，以適量的訓練、適時的交流和反思來進行強化、固化.任何一個數學思想的萌芽、成長、成熟，都需要一個漸進的養成過程.與之相伴的是數學思想的提取與應用，只有當學生在對同一思想反復錘煉后，我們期盼的數學思想才能實現網絡化.以本文中的分類討論思想為例，小學階段學生接觸并不多，進入初中后，由數軸開始，數與形均出現了“兩面性”，而絕對值的“單面性”則真正讓分類討論進入到學生視野，此后，數與形不斷發展壯大，到初三時，學生已經經歷了近三年的分類磨煉，大量相關數學問題的解答與交流使他們對這一思想的感悟與應用均已有了一定的高度.正是這樣的積淀，才形成了本文案例中的娓娓道來，甚至是別樣分類，當然，訓練是必需的，但這個量和度還是要各位一線教師根據學情把握，總之，一切應以適宜為前提，不可為了思想而讓學生深陷題海，好的初衷，卻害苦了學生，得不償失之事，不做也罷.