抓住圖形變化本質，“變換”視角追根溯源
——中考第一輪復習“圖形的變換”設計

☉湖北武漢市鋼城第二中學 龍金鳳

初中階段“圖形變換”主要涉及圖形的軸對稱、平移、旋轉及位似.不同變換下的圖形都有各自的性質，這些性質不僅能為合理推理提供依據，同時也是解決許多實際問題的重要工具.圖形變換考查學生對基本圖形本質的理解，又能培養學生的實踐與操作能力，形成空間觀念和運動變化的意識［1］，也是中考的熱點與難點.在中考復習中，怎樣讓學生能夠將三年學習的知識進行梳理并提升知識板塊間的深層次認識，提高學生的復習效率呢？筆者在近期進行了一次第一輪復習的研討課，談談自己的想法及做法，以供大家一起研討.

一、案例分析

1.課前憶學.

（1）思考：平面內有兩個點A、B，如何讓點A運動到點B處？

按一定的方法把一個圖形變成另一個圖形，叫作幾何變換.

問題1：初中階段我們學過哪幾類幾何變換？

問題2：教材是如何定義的？

問題3：它們有哪些性質？

請同學們完成下表1：

表1

課中追問：

（1）平移的性質梳理時，追問：為什么平移中對應點的連線平行（或共線）且相等呢？

（2）在三種變換共同點的梳理時，引導學生發現它們都是全等變換.追問：有沒有不全等的變換？將相似變換補充到知識體系中.

設計意圖：（1）通過提出圖形變換中最本質的問題——點的運動，讓學生回顧復習初中階段學習的變換.學生能夠想到按照平移、軸對稱、中心對稱及普通的旋轉達到運動的效果.為學生梳理這幾類變換都是按照一定的方法把一個圖形變成另一個圖形，也就是幾何變換，切入本節課的復習內容.

（2）回歸課本，梳理三類變換的概念及性質.引導學生梳理性質時從點、線、面的層面關注變換前后兩個圖形間的關系.同時在課中追問：為什么平移中對應點的連線平行（或共線）且相等呢？讓學生體會對應點的連線平行（或共線）是由于平移的方向一樣，對應點的連線相等是由于平移的距離一樣.也讓學生能夠體會幾何圖形間的關系包括數量關系和位置關系.

2.目標導學.

表2

設計意圖：讓學生能夠明確知道中考要求學生會利用圖形的變換作圖及利用圖形變換的性質進行應用.

3.集中研學.

復習平面圖形中最基本的元素——點在平面直角坐標系中的變化規律：

（1）點P（x，y）向右平移a個單位，再向上平移b個單位長度，得到的對應點P1的坐標為_____.

（2）點P（x，y）關于x軸的對稱點P2的坐標為____.

點P（x，y）關于y軸的對稱點P3的坐標為____.

（3）點P（x，y）關于原點的對稱點P4的坐標為____.

設計意圖：先從點的變化規律復習，再逐步發展到線（直線、曲線）、面（平面圖形）的運動變換.

例1如圖1，在直角坐標系中，A（0，4）、C（3，0）.

①畫出線段AC關于y軸的對稱線段AB.

②將線段CA繞點C順時針旋轉一個角，得到對應線段CD，使得AD∥x軸，請畫出線段CD.

③寫出從線段AB到線段DC的變換過程.

④寫出從線段AB到線段CD的變換過程.

課中追問：（1）在第①問完成后，追問學生：AC還可以怎樣變換到AB？

（2）在第②問中，追問學生：需要什么作圖工具？

（3）從線段AB到線段DC與到線段CD有何不同？

設計意圖：（1）本題為武漢市2014年與2015年中考題目的融合，考查學生的作圖能力.其中第一問考查學生的軸對稱變換，在追問①中讓學生用不同的變換視角看待問題，將靜態的平面圖形“動態”化，發展學生的空間想象能力.

（2）從線段AB到線段DC的過程可以是平移、也可以是先沿y軸軸對稱（或旋轉）再沿直線x=3軸對稱（或旋轉）得到，讓學生能夠體會到幾種運動變換之間的關聯.

（3）通過第③和④問的對比，讓學生能夠再次體會變換前后圖形的對應關系.

圖1

為曲線C1，將其向左平移2個單位長度，得到曲線C2，請在圖中畫出C2，并直接寫出C1平移至C2處所掃過的面積并思考：能求出C2的解析式嗎？

課中追問：除了將C1平移，我們還可能將C1進行什么樣的變換呢？請獨立思考，設計一種與變換相關的題目，課后與同學交流.

設計意圖：（1）本題選自2016年武漢市中考，讓學生通過中考來感受對圖形變換的考查.

（2）由例1直線型的變換過渡到曲線型的變換，讓學生體會運動變換的本質是點的變換.

（3）讓學生自己想象C1的運動變換，激發學生的空間想象能力，思考C2的解析式的求法，發展學生的推理能力.

圖2

圖3

解法1：解法2：

圖4

圖5

課中追問：

（1）線段AB和AC有什么關系？

（2）∠BAD與∠CAE有什么關系？

（3）我們如何將BD、CE以及相關信息合理利用呢？

設計意圖：（1）本題選自2017年武漢市中考，為學生提供最直接的中考考題方式.

（2）利用有公共端點的相等線段的信息，以及∠BAD+∠CAE＝60°這兩方面把關于線段和角的信息整合，引導學生用變換的角度思考問題.

（3）利用“合”的想法產生解法1，利用“分”的想法產生解法2，與證線段和與差中的“截長補短”的思想方法的內核相通.讓學生能夠體會運動變換后可以將圖形中的線段及角這些分散的信息集中.

練習2：如圖6，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°，若DF＝3，EF＝，則AD的長為________.

解法1：

圖7

圖6

解法2：（化歸為例2）

圖8

解法3：（相似）

圖9

課中追問：（1）目前可以挖掘一些什么信息？和例2比起來有什么區別呢？是否還是可以借助例2的想法呢？

（2）此題和例2的區別在于載體變成了四邊形，45°的角在∠DAB中，但∠DAB所在的不是三角形，你能夠化歸成與例2類似的情況嗎？

設計意圖：（1）發展學生的思維能力，讓學生活學活用，不拘泥于之前老師總結的解題規律，引導學生遇到新題目如何思考問題.

（2）引導學生抓住核心要素，思考需要集中的信息有哪些？我們如何進行集中？遇到新題目的呈現，我們如何化歸為已學過的知識.

二、課后思考

1.抓住本質，尋找知識的生長點.

第一輪復習起到了知識梳理與整合的作用，應以學生為知識梳理的主體，讓他們自主經歷題組解答和互動交流的過程，推動基礎知識的有效入網［2］.本節課著手于圖形的運動變化，以點、線、面的方式鋪開，用運動變化的觀點思考問題，讓學生體會學習運動變換的作用，為學生的中考復習備考提供有力支撐.

2.培養學生能力，讓學生學會如何思考.

在平時的教學中，教師常給學生總結各種幾何基本圖形的方法，學生機械化記憶或者訓練能夠讓學生形成條件反射，可是為什么我們要這樣作輔助線呢？學生可能并沒有理解.基于對知識本身的追溯，引導學生如何思考應成為教師教學中的著力點，引導學生通過觀察、聯想，形成自己的認知經驗.

如果教師能夠幫助學生在中考備考中梳理好知識脈絡，形成知識體系，打通各個知識板塊中的關聯，做到心中有教材，心中有學生，多引導學生思考問題的本源，可以提高學生在數學課堂中的成就感，實現有效中考復習備考，為考生助一臂之力.

參考文獻：

1.黃云興.圖形變換問題在中考中的應用探究［J］.新課程學習（上），2014（7）.

2.孫來扣.中考復習，從“起點”再出發——以“一次方程（組）”復習為例［J］.中學數學（下），2015（6）.