錯誤資源的實際利用和思考

☉江蘇省江陰初級中學 曾雪萍

源于學習活動本身的錯誤在學生的學習過程中是不可避免的現象.布魯納就曾經明確提出了“學生的錯誤都是有價值的”這一觀點.關鍵性的并具備普遍意義的錯誤如果能夠得到有效的利用，學生的思維定式也一定能夠得到很好的突破并使認識更加深刻.因此，教師在實際教學中應善于捕捉這一資源并加以妥善運用，使學生能夠在錯誤中進行再次的思考與探究并最終達到優化思維的目的.

一、捕捉錯誤并進行科學拓展

教師在實際教學中應關注學生的學習呈現并及時捕捉學生的學習錯誤，將這些錯誤巧妙地進行設計并引導學生對問題進行再一次的思考和探究.教師應引導學生發現或創造出自己要學的內容并幫助學生去實現這一再創造.

例1已知一直角三角形的兩邊邊長分別是3和4，則該直角三角形的第三條邊的邊長x是多少？

生1：根據勾股定理可知，x＝5.

學生在這類題中產生漏解的現象還是比較普遍的，因此，教師面對學生這一漏解的錯誤應該及時引導學生探尋漏解的原因并進行分類討論，學生一旦找到出錯原因，正確解題就沒有問題了.筆者在學生出錯、糾錯的探索過程中也抓住了學生思維拓展的這一良機并及時進行了“借錯變式”的教學.

師：如果銳角三角形或鈍角三角形的兩邊邊長分別是3和4，設第三邊是x，那么大家以為x的取值范圍應該是怎樣的呢？

（學生躍躍欲試但又覺得不知該從何入手）

生2（猶豫片刻）：該三角形在x＝5時是直角三角形，因此，當1＜x＜5時應為銳角三角形，當5＜x＜7時應為鈍角三角形.

教師面對生2的回答并沒有立即評價，而是立即引導學生對生2的思路進行了思考和探究.首先結合題意并利用幾何畫板進行了實驗：如圖1，首先從（1）開始拖動C點并使AC繞點A逆時針進行旋轉，則線段BC被逐漸拉長的同時也展示出了△ABC形狀上的動態變化.

引導學生在直觀的圖示變化中得出答案：

如圖1（4），當x＝5時，△ABC為直角三角形；

如圖1（5），當5＜x＜7時，△ABC為鈍角三角形.

圖1

評析：把握學生的探究需求與錯誤點并提出新的問題信息引導學生以此為新起點進行思維發散，使學生在錯誤的探尋中展開深層次的挖掘與思考并鍛煉創新思維.

二、探究錯誤并探觸知識本質

教師在發現學生錯誤時應該思考其錯誤中閃光或合理的因素并引導學生迎“錯”而上，使得學生在教師的巧妙點撥與引導中獲得有意義的思考.

例2 如圖2，已知點B、F、C、E共線，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，添加輔助線這一條件不作考慮，請你只添加一個條件使△ABC≌△DEF.該條件為____________，并請你在添加條件之后證明△ABC≌△DEF.

生1：可以添加AC＝DF.

（有學生在下面說“錯了”）

師：大家先聽一聽生1的思路再發表自己的看法.

生1：已知AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，添加AC＝DF后，根據SAS判定得△ABC≌△DEF.

有學生接上：你用的是SSA，不是SAS.

師：你發覺自己錯誤了嗎？

師：重新讓你添加條件，你覺得可以加上什么？

生1：BC＝EF，或∠A＝∠D（用ASA），或∠ACB＝∠DFE（用AAS），這次我說對了嗎？

圖2

師：很好，這幾種方法都可以證明△ABC≌△DEF，其實我們還可以……

評析：學生的錯誤回答得到了巧妙處理的同時還引燃了學生的答題熱情，不管學生的錯誤如何，體現出來的都是學生解題時候的真實思維.因此，教師應攫取學生錯解中的合理成分并積極引導學生進行更多的思考，使學生能夠在寬容與鼓勵的氛圍中收獲更多的知識與體驗.

三、整理錯誤并促動學生歸納

教學中，尤其是最后的復習階段，教師應將學生的典型錯誤進行分類整理并將其作為教學的重要素材進行剖析與講評，引導學生以糾錯為契機反思、完善自己的知識框架，并使學生在錯誤的整理與糾正中學會分類的方法、掌握知識的本質.

例3下列各題是同學們做的因式分解的練習，大家看一看是否有錯并說說自己的解題思路.

評析：學生平時在因式分解練習中的易犯錯誤得到了系統的整理和羅列，教師將學生錯誤思維一一模擬呈現并引導學生找出錯誤的根源與相應的防范措施，能夠幫助學生從根本上消除錯誤根源并避免后續學習中再出現類似的錯誤.

四、反思錯誤并徹底暴露錯誤思維過程

教師在實際教學中經常會對學生所犯典型錯誤進行反復的講評，但學生遇到類似的情況還是會犯相同的錯誤，這種收效甚微的反復講解并不能幫助學生徹底認識錯誤并及時修正.究其原因，主要是不管教師反復講解多少遍，都未能將學生引領下問題本質的探觸與研究，學生在書面知識不能轉化成自己知識的過程中也就無法對知識形成深刻的印象與理解.建構主義學習理論一直認為單純運用正面示范與反復練習對于學生錯誤的糾正來說是遠遠不夠的，學生的思維認知必須經歷“自我否定”的過程才能真正對發生錯誤的原因進行反思與探究，并因此在逐漸探觸問題的本質的過程中不斷改進、完善自己的認知結構.因此，教師在實際教學中如果遇到學生思維混亂、表達不清、以偏概全、忽略條件等現象時要為學生創造出發言、表達的機會，引導學生在不斷反思問題的過程中逐步內化知識并因此構建清晰、系統的知識結構.

例4如圖3，已知正方形ABCD的邊長是2，BE＝CE，MN＝1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動.當DM＝________時，△ABE和以D、M、N為頂點的三角形相似.

學生在此題的求解中最常見的錯誤就是漏解，因此，教師發現學生的這一錯誤現象時首先做的就是引導學生對自己漏解的原因進行反思和討論.

生1：從圖3直接聯想題中所給圖形確定相似三角形對應邊的關系導致我解題時漏解了，其他情況也就被忽視了.

師：像生1解題時漏解的這一因素應該怎樣預防呢？可否在題中條件中得到相關提示呢？

生2：題中“在CD、AD上滑動”這一條件告訴我們圖像是動態的，因此應伴隨△MDN的形狀變化進行分類討論.

生3：我把△ABE和以D、M、N為頂點的三角形相似這一條件理解成了△ABE∽△NDM，因此只考慮到了一種對應關系并解題漏解了.

生4：我知道應該要作分類討論，但另一種情況是怎樣的我無法畫出，所以解題出現了漏解.

生5：我的計算能力在涉及到根式與比例式的運算時有點不足導致計算發生了錯誤.

辨析：學生在理解題意時不能準確把握“動”和“靜”、“瞬間”和“過程”之間的辯證關系導致特殊情況被理解成了一般情況，漏解也就不足為奇了.因此，教師在實際教學中應使學生明白動態圖形的解決一般都會需要分類討論，動中取靜、以靜制動、動靜結合的方法是解決運動型問題的常用方法，要引導學生對自己出錯的原因進行探尋和表達，使學生能夠在回顧、分析、檢查自己思維的過程中不斷培養自己思維的嚴謹性.

學生所犯錯誤這一雙刃劍如果不能得到及時而恰當的處理往往會造成教育的失誤，但是，如果教師能夠將這些錯誤準確捕捉、激活并進行巧妙的運用，學生所犯錯誤就會變成課堂教學中具備獨特教育價值的有效資源.

學生在學習中犯錯是教學中再正常不過的現象，教師在實際教學中只要能夠及時發現學生的錯誤并將這些錯誤進行巧妙而靈活的設計，使得這些錯誤得到最合理的處理和利用，必然能使自己的教學機智不斷提升，充分利用這些錯誤資源為學生創造出更多反思的空間.學生的學習錯誤是其思維薄弱環節的暴露，教師針對性的糾錯引導能夠更好地對癥下藥并取得良好的效果.同時，學生在反思錯誤的過程中探尋錯誤根源也能使自己自診自治的學習能力、免疫能力、數學綜合能力與素養大大提升，只有這樣，數學課堂教學才會因此展現出越發精彩紛呈的高效與優質.H

圖3