強化概念教學 注重概念剖析 發(fā)展學生學力

☉江蘇張家港市港區(qū)初級中學 黃 亞

概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實踐，從數(shù)學所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的，是建立數(shù)學法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運算、推理、判斷和證明的依據(jù)，更是人們進行數(shù)學思維、交流的工具.由于數(shù)學概念具有高度的概括性、抽象性、發(fā)展性和生成性，初中學生認知的思維水平有限，他們在學習的過程中，對一些抽象的、不常接觸的概念會不容易理解，因此，在概念形成過程中，教師要積極引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，從而形成新的概念.然而，在平時的教學中，許多教師依然是“一個定義，幾項注意”或“機械性的記憶加大題量的鞏固練習”來應付概念教學，忽略了概念的導入、生成、理解、剖析，學生對數(shù)學概念理解膚淺，對建立在概念基礎(chǔ)上的知識、方法、思想沒有深刻感悟，制約了學生思維的發(fā)展.這種“概念教學輕描淡寫，題海戰(zhàn)術(shù)轟轟烈烈”的教學方式，值得我們?nèi)シ此?許多事實例證：只有讓學生真正掌握了數(shù)學概念的本質(zhì)，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象，高效的概念教學應該讓學生參與概念產(chǎn)生、發(fā)展、形成和應用的全過程，變成學生樂于探究的數(shù)學思維活動.

一、注重教學起點的設(shè)計，讓概念的形成過程直觀、自然，水到渠成

布魯納認為：“學習者在一定的問題情境中，經(jīng)歷對學習材料的親身體驗和發(fā)展過程，才是學習者最有價值的東西.”數(shù)學概念是實際問題的抽象和概括，在教學時，教師要選取一些與概念密切相關(guān)的、豐富的、學生熟悉的素材，設(shè)計好教學的起點，創(chuàng)設(shè)能夠體現(xiàn)數(shù)學概念及其思想方法產(chǎn)生和發(fā)展過程的學習情境，從而讓學生在情境中抽象、歸納、概括出概念，并能清晰、準確地表達概念.

教學案例1：“2.3確定圓的條件”（蘇科版九年級上冊）教學片段.

……

師：前面我們學習了圓的一些基本概念，如果給定了圓的圓心和半徑，能畫多少個圓？

生1：1個，利用圓規(guī)就可以把它作出來.

師：很好，請大家思考下面幾個問題：

問題1：怎樣作一個圓，使它經(jīng)過已知點A？這樣的圓可以作多少個？

生2：在平面內(nèi)取一點O，以這個點為圓心，AO的長為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過已知點A的.

師：這樣的圓可以作多少個呢？

生2：因為點O可以是平面內(nèi)的任意一點，所以這樣的圓可以作無數(shù)個.

師：回答非常完整.（PPT出示圖1）

問題2：怎樣作一個圓，使它經(jīng)過已知點A、B？

這樣的圓可以作多少個？

生3：先作出AB的垂直平分線l，再在直線l任意上取一點O，此時，OA=OB，以點O為圓心、OA長為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過已知點A、B兩點的.這樣的圓有無數(shù)個.

圖2

圖1

師：生3利用線段垂直平分線的性質(zhì)作了一個非常清晰的解釋，這樣的圓確實有無數(shù)個.（PPT出示圖2）

問題3：能否作一個圓，使它經(jīng)過A、B、C三點？如果能，這樣的圓可以作多少個？

生4：假如這樣的圓存在的話，設(shè)它的圓心是點O，那么，OA=OB=OC.由OA=OB，知點O在AB的垂直平分線上；由OB=OC，知點O在BC的垂直平分線上.我們可以這樣作圖，分別作出線段AB、BC的垂直平分線，設(shè)它們的交點為O，以點O為圓心，OA長為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過已知A、B、C三點的.

師：這樣的圓可以作多少個？

生4：因為兩條垂直平分線只有一個交點，所以這樣的圓只有一個.

師：這樣的圓一定存在嗎？

生5：那得看兩條垂直平分線有沒有交點了，如果它們平行就不存在交點，這樣的圓不存在.

師：能否作一個圓，使它經(jīng)過已知A、B、C三點，關(guān)鍵是要看線段AB、BC的垂直平分線是否有交點.那么，什么條件下這樣的圓存在，什么條件下這樣的圓不存在呢？

生6：如果A、B、C三點不在一條直線上，這樣的圓存在，并且只有一個；如果A、B、C三點在一條直線上，這樣的圓不存在.

師：經(jīng)過細致研究，我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過不在一條直線上的三點的圓有且只有一個.今后這個結(jié)論表述為：不在同一直線上的三點確定一個圓.（PPT出示圖3）

……

教學思考：上述教學片段中，“問題串”的設(shè)計讓學生經(jīng)歷了三種不同難度的探究活動，從猜想結(jié)論到畫圖驗證，實現(xiàn)了定理的“發(fā)現(xiàn)”“推理”都由“畫圖”演變而來.這樣的設(shè)計契合學生的認知水平，符合學生的認知規(guī)律，概念的形成過程直觀、自然，水到渠成.同時，在不同難度的探究活動中，也能充分體現(xiàn)學生探究能力的差異，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

圖3

二、注重教學內(nèi)容的剖析，讓概念的思辯過程清晰、明了、更有價值

數(shù)學概念是數(shù)學最基礎(chǔ)的知識，概念教學每章都有，其重要性不言而喻.只有讓學生真正熟悉并掌握了概念的本質(zhì)，才能正確、合理、迅速地應用概念去解決數(shù)學問題.因此，在平時教學中，首先，教師要創(chuàng)設(shè)好問題情境，設(shè)計好教學的起點，不斷引導學生對概念的內(nèi)涵進行分析、比較、歸納，對概念的特點有一個初步的理解.其次，教師要精心準備好與概念相關(guān)的教學內(nèi)容，從不同的角度輔助學生對概念進行剖析，精準地掌握概念的本質(zhì)屬性，

弄清概念的內(nèi)涵與外延，理清概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能熟練使用概念解決問題.

教學案例2：“3.4合并同類項”（蘇科版七年級上冊）教學片段.

……

師：通過前面的學習，我們知道，同類項必須具備兩個“相同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同.下面請大家思考以下幾個問題：

問題1：ab與－2ab是同類項嗎？如果是，你能不能再寫一個式子與這兩個式子是同類項呢？生1：ab與－2ab是同類項，與ab、－2ab都是同類項.

師：還有嗎？

師：還有嗎？有多少個？

眾生：還有無數(shù)個！

師：很好，實際上同類項是兩個或多個單項式之間的一種關(guān)系，并且同類項與它們的系數(shù)無關(guān).

問題2：2xy與－2yx是同類項嗎？

生2：2xy與－2yx所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，2xy與－2yx是同類項.

師：生2告訴我們一個結(jié)論：同類項與字母的順序無關(guān).那么，2πr2與4r2是不是同類項呢？

生3：不是的，它們所含字母不相同.

生4：π不是字母，是一個數(shù)，所以，πr2與4r2是同類項.

師：很好，π與4是不是同類項呢？（小組討論）

生5：我們小組討論的結(jié)果是同類項，因為，它們都不含字母.

師：我們規(guī)定：所有的常數(shù)都是同類項.例如：0、－1.5、10、2π等都是同類項.

……

教學思考：《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“教學中注重結(jié)合具體的學習內(nèi)容，設(shè)計有效的數(shù)學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展過程，這是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑.”上述教學片段中，通過兩個看似簡單問題的探討，加上教師的不斷追問，學生對同類項的概念有了非常深刻的理解，既突破了重點，又解決了難點，在參與舉例、觀察、類比、概括、歸納等數(shù)學活動中，學生從不同的角度深刻理解了概念，整體掌握了同類項的相關(guān)知識，積累了探究活動的基本經(jīng)驗，為后續(xù)的學習打下了堅實的基礎(chǔ).

三、注重教學例題的安排，讓概念的應用過程順暢、有效、富有內(nèi)涵

數(shù)學概念往往是判斷問題的基礎(chǔ)或解決問題的依據(jù)，所以，概念的應用是概念鞏固的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學知識的外化過程.通過應用概念，學生可建立知識與應用之間的橋梁，提高知識的應用能力；反過來，對概念的應用又促進了學生對概念的內(nèi)涵與外延的進一步理解.在概念的應用過程中，教師還要引導學生探索并總結(jié)數(shù)學學習的規(guī)律，歸納數(shù)學概念應用的方法，體會其中的數(shù)學思想，形成合理的解題技巧，積累解題經(jīng)驗，生成學習智慧.

教學案例3：“10.5分式方程（2）”（蘇科版八年級下冊）教學設(shè)計之典型例題.

設(shè)計意圖：通過簡單的解分式方程，讓學生進一步明確“增根”不是原分式方程的根，但它是去分母后的整式方程的解.

設(shè)計意圖：利用“增根”的概念解題是較為常見的題型，其方法是：（1）先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；（2）明確原方程的增根；（3）將“增根”代入轉(zhuǎn)化后的整式方程，解之就可以得到所求字母的值.

設(shè)計意圖：本題條件中雖然未涉及方程的“增根”問題，但是，題設(shè)條件“方程的根大于0”的等價條件是：“原方程轉(zhuǎn)化后的一元一次方程有大于0的解且這個解不能是增根.”解答此類問題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）根據(jù)題設(shè)條件建立關(guān)于字母的不等關(guān)系，求出字母系數(shù)的取值范圍，同時注意剔除使得分式方程有“增根”的字母系數(shù)的值.

這是學生容易發(fā)生錯誤的地方，教學時要注意強化.

教學思考：分式方程的“增根”問題，對于初學者來說確實是一個不太容易理解的概念，在教學過程中，教師應對教材中將要學習的內(nèi)容，進行創(chuàng)造性的加工處理，結(jié)合學生的認知水平、思維能力及學習實際，設(shè)計好體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性、示范性的例題，幫助學生理解、掌握這一概念，并能應用這一概念解決相關(guān)的問題.

數(shù)學概念的教學是一切數(shù)學知識教學、能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，教師一定要站在培養(yǎng)學生數(shù)學素質(zhì)的高度重視概念的教學，優(yōu)化概念教學設(shè)計，確保概念教學的有效性，讓學生在經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程中，通過獨立思考、主動探索、合作交流，理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.完善學生的思維品質(zhì)，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)展學生的學力.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.王飛兵.例談初中數(shù)學概念教學的基本步驟［J］.中國數(shù)學教育，2014（3）.