深刻理解教學內容：值得修煉的專業基本功
——基于“多元表征”理論

☉山東萊蕪市雪野旅游區雪野中心中學 錢加坤

我們知道，南京大學哲學系鄭毓信教授對數學教育，特別是中小學數學教育用力很深，推介了很多國外最新的教育理論，并進行比對、思辨，告誡我們廣大中小學數學教師在研習這些國外理論或觀點時，要深入思考.這些理論究竟有什么值得學習的地方，怎樣運用到自己的教育教學研究中，讓這些理論能更加接地氣，使我們的數學教學能走向“教活，教深”的境界？受鄭教授的影響，我們認真研習了“多元表征理論”，簡要來說，該理論是指人們關于數學概念（或數學問題）的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，而且這些成分對于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應高度重視這些成分之間的聯系.本文將結合新近教學過程中對一些數學問題（數學概念或經典習題）的教學，從“多元表征”的角度進行解讀，并給出一些教學建議，供研討.

一、從“多元表征”的角度看數學問題

話題1：相反數的深刻理解.

學生進入初中后，數系擴充為有理數，一個新的數系出來之后，通常需要研究這種數系的運算，而為了研究運算，需要定義一些相關的概念（比如相反數、倒數、數軸、絕對值等），其中相反數就是一類十分重要的數學概念.新授課教學時，教材上的描述性定義是“像2與-2，a與-a這樣只有符號不同的兩個數稱為相反數”.接下來就安排求一個數的相反數，訓練的目的是鞏固相反數的概念，然后是化簡符號的一些練習：

題組1：化簡下列各數：

應該說，新授課時這樣教學也是可行的，對于鞏固相反數概念，初步理解相反數是有好處的.然而，從深刻理解相反數的高要求出發，我們在有理數單元復習或期末復習時，應該以相反數為專題，開發一節與相反數相關的習題課進行主題復習.這里略提及一些相反數復習的要點：

（1）相反數的概念，a與-a.

（2）會化簡符號（如上“題組1”）.

（3）理解在數軸上，一對相反數所對應的點到原點距離相等.

（4）若數a、b互為相反數，則a+b＝0；反之，若a+b＝0，則a、b互為相反數.

（5）若a+b＝0，則對應到數軸上，數a、b所對應的點到原點的距離相等.

（6）將原點作為“基準”進行拓展，比如，數軸上從左往右依次有A、M、B三點，它們所對應的數分別為a、m、b.當M恰為AB的中點時，有b-m＝m-a，整理為a+b＝2m.

解讀：第（5）點引導學生重視數形結合理解相反數，事實上，“相反數和為0”的性質，也是有理數加法的基礎；第（6）點，則是將“基準為原點”拓展為任意一點作為基準，利用兩點間距離公式，分析出一個重要的關系式“a+b＝2m”，在以后學習平面直角坐標系時，縱軸上三個點如果具備中點性質，也有類似的性質；而在二次函數的圖像（拋物線）的研究中，從拋物線的對稱性質出發，也容易發現類似的性質，所以在初一對學生進行適度的拓展和小結a+b＝2m，對于后續學習十分有益，值得重視.順便提及，當前初一教學過程中，對數軸的考查與訓練，偏重以數軸為背景，引入多動點的運動背景，反復在相遇問題、追及問題上增加解題層次，用來實現所謂的區分功能，筆者認為，這種命題導向是值得商榷的.

話題2：經典幾何問題在不同章節中的關聯與互動.

在初一、初二學習幾何時，學生練習了大量的幾何題，但往往碰到稍加變式的幾何題仍然不適應，究其原因，與較難幾何題中往往需要添加輔助線，或者是繁雜線條中分離出基本圖形、凸顯圖形的能力不強有關.另外，當前幾何教學分成的各章之間缺少必要的聯系（或關聯）也是值得我們注意的.比如，三角形、全等三角形、平行四邊形、圓這些幾何的章節內部，還能基本保持一種研究的路徑（如從一般到特殊，按不同圖形的一些元素有序展開探究和歸納），但各章之間缺少更為廣泛或密切的關聯和呼應.以下列舉幾例：

經典問題1：如圖1，在△ABC中，CD為中線.當AB＝2CD時，求證：△ABC是直角三角形.

圖2

圖1

解讀：這道習題在三角形內角和性質及等腰三角形（等邊對等角）之后就可練習.然而從互為逆命題的觀點看，特殊平行四邊形（矩形）學習之后，證明了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這里就可以將上述問題“放到”一起，讓學生從互逆命題的角度理解，幫助他們想深、想透.更重要的是，到了圓的學習，我們還應該將上述兩個互逆命題，從“圓”的高觀點來理解（如圖2），就能把不同的習題在不同的學段都統一到圓的學習，“圓來如此”是不少學生常常發出的解題感慨.

經典問題2：（初二教材習題）如圖3，E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，作EF⊥AE交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖3

圖4

解讀：初二階段處理這類問題時可在AB上截取MB＝BE，構造出等腰直角三角形BEM，再證△AEM≌△EFC，從而獲得解決.這種方法也具有推廣性，比如等邊三角形、正方形都可提出類似的證明題.更進一步，在初三學過圓之后，如果能從圓的高觀點（如圖4，點A、E、C、F共圓）統領這類問題，就會給學生提供一種“居高臨下”的視角.

二、進一步的思考

1.基于多元表征理論，深刻理解數學概念.

結合鄭毓信教授的相關文獻，深刻理解數學概念至少有如下一些特征，比如,能將此概念放入不同的表征系統之中；在給定的表征系統內，必須能有彈性地處理這個概念；必須很精確地將此概念從一個表征轉換到另一個表征系統.以上文提及的相反數為例，不但將其放在有理數的幾個概念中來理解，還要能跳出狹小的范圍，從更廣的知識塊或不同知識塊之間理解思考相反數在有理數運算，與數軸對應之后的線段中點關系，以及與二次函數圖像對稱性之間的聯系，等等.可見深刻理解數學概念是十分不易的，而且對于教師來說，能否深刻理解，決定了能否為學生打開深刻理解的一扇窗.我們常常聽到有人說要所求所謂的深度教學，其中促進學生深刻理解數學概念應該也算深度教學的一種追求.

2.基于多元表征理論，跨年級甚至學段預設經典問題不同解法.

我們注意到，臺灣地區自2000年開始推行的“九年一貫課程”，其核心是：“在九年一貫課程數學領域中‘聯系’凸顯.‘聯系’這一主題包括：內部聯系和外部聯系……兩者均包含察覺、轉化、解題、溝通、評估等能力.”對應到我們一線教師的狹義理解，筆者認為重視跨年度甚至跨學段的研究經典問題的解法就是值得關注的一個好課題，比如，上文中我們提到的從圓的視角看一些之前學生已練習過的幾何題，就可以讓學生洞察問題的深層結構，感受到不同解法的和諧之美.事實上，這類問題還可列出很多，比如，在不同年級，方程的一般式與函數的一般式的對比理解；三角形中位線性質與三角形重心定理；特殊直角三角形與平行四邊形的關系；從數的乘方到數的開方；一元二次方程的不同解法之間的關系；定長線段圍成矩形的面積最大問題；等等，都是跨年級的好問題，值得大家關注.

三、結束語

數學教師的專業基本功有很多，不同的學者有不同的論述（比如鄭毓信教授在《人民教育》上曾連載文章提到三項專業基本功：善于提問，善于舉例，善于優化），本文只是從深刻理解教學內容的角度，基于多元表征理論，結合平時收集和關注到的一些案例進行了個性化的闡釋，既不一定準確，更不一定正確，歡迎專家同行批評指正.

參考文獻：

1.鄭毓信.教師專業成長的主要目標與重要內容（下）［J］.小學教學（數學版），2013（12）.

2.劉東升.關聯性：一個值得重視的研究領域［J］.中學數學（下），2013（12）.

3.馬立平，著.李士锜，吳穎康，等，譯.小學數學的掌握和教學［M］.上海：華東師范大學出版社，2011.

4.曹一鳴.為改進數學教育而共同努力——第12屆國際數學教育大會綜述［J］.人民教育，2012（17）.