關注基本圖形，滲透數學思想
——2017年浙江溫州中考第24題解法賞析與教學啟示

☉浙江省樂清市大荊鎮第一中學 俞衛勝

☉浙江省溫州市教研室 章才岔

一、寫在前面

2018年的中考已悄悄來臨，作為九年級的教師，研究歷年的中考題顯得非常重要，尤其是關鍵問題，如選擇題第10題，填空題第16題，綜合題第24題等.2017年溫州市中考數學壓軸題較往年有了新的變化，在動點問題中注重邏輯推理，考查學生在變化過程中對圖形的分析能力，提升數學活動經驗，同時在分類上難度降低了，讓更多的學生能正確分類，在解法上凸顯多樣性、層次性.試題內涵豐富，突出對基本圖形，數學思想方法的考查.本文從試題、解法賞析、點評，變式再探，教學啟示等幾方面嘗試研究，并整理成文，供分享與研討.

二、試題呈現

如圖1，已知線段AB=2，MN⊥AB于點M，且AM=BM，P是射線MN上一動點，E，D分別是PA，PB的中點，過點A，M，D的圓與BP的另一交點C（點C在線段BD上），連接AC，DE.

（1）當∠APB=28°時，求∠B和C（M的度數.

（2）求證：AC=AB.

（3）在點P的運動過程中，

（ⅰ）當MP=4時，取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點，求所有滿足條件的MQ的值；

（ⅱ）記AP與圓的另一個交點為F，將點F繞點D旋轉90°得到點G，當點G恰好落在MN上時，連接AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比.

點評：本題屬于動態探究綜合題，巧妙地將圓與三角形有機融合在一起，通過動點P的位置變化，帶動圓及整個圖形的相對運動，同時又隱含著圖形的形狀不變，結構簡潔，內涵豐富，考查了圓周角定理，直角三角形，等腰三角形的判定與性質，相似三角形等核心知識.解題的關鍵是能夠厘清題中隱含著的數量關系，通過添加輔助線構造基本圖形，滲透方程，數形結合，分類討論，對稱變換等數學思想方法.題中，以動點P為導火線，引起圖形形狀、數量的變化，但也蘊含著動中不變的量，隱含著許多經典的基本圖形.總體設計由易到難逐步推進，梯度合理.入口易，深入難，解題方法多樣.在整個圖形中雖然線條較多，但沒有重疊部分，總體上具有一定的關系，整體構思很嚴密，既注重邏輯推理，又凸顯數學本質.

圖1

三、解法賞析

（1）∠B=76°，C（M的度數56°.

點評：利用等腰三角形的三線合一的性質，并結合直角三角形兩銳角互余，容易得到∠B的度數.求C（M的度數，關鍵將弧的問題轉化為圓周角，此題結合D是中點，如圖2，添加MD這條中位線顯得比較自然，從而求出C（M的度數.

（2）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MDC=∠MAC.而∠MDC=∠APB，即 ∠MAC=∠APB，所以∠ACB=∠BAP=∠B，從而得到AB=AC.

點評：這題設置在第（2）小題，命題者的意圖是利用第（1）小題，引導學生積累解題經驗，凸顯從特殊到一般的思維方式，第（1）小題為第（2）小題的解決作了思維的鋪墊，但測試中發現大部分學生都是利用第（1）小題的28°，計算出兩個底角的度數，從而得到AB=AC.這說明學生審題不是很仔細，在平時教學中要引起重視.

（3）（ⅰ）根據四邊形ACDE一邊的兩端點及Q為銳角頂點這兩個條件，可以分四類進行分類討論.

①如圖3，以AE為一邊，只有∠PEQ1=90°.

圖2

圖3

②如圖4，以DE為一邊，這種情況不存在Q為銳角頂點的直角三角形.

③如圖5，以CD為一邊，只有∠PCQ2=90°及∠PDQ1=90°（由等腰三角形的軸對稱性可得這種情況與第1種情況一樣），所以只要探究∠PCQ2=90°即可.

圖4

圖5

由（2）知，△ABC∽△PAB，則AB2=BC·BP，

④以AC為一邊，只有∠ACQ3=90°，連接AQ3.

方法1：如圖6，因為∠ACQ3=∠AMP=90°，易得Q3就是MP與圓的交點.

圖6

圖7

圖8

方法3：如圖8，過C作CK∥MN交AB于點K，過Q3作Q3J⊥KJ交KC的延長線于點J.

點評：比較往年的溫州中考第24題，在分類上難度降低了，消除學生分類不知如何分，分不全的思維盲點，注重解法的多樣化，不同的分類在解法上都有所不同，每一類解法的思路形成需要心中有個基本圖形，能從復雜圖形中透視出最基本的圖形，從而實現各個量之間的聯系，通過設元，利用相似，勾股等建立方程，滲透了分類討論，數形結合，方程等數學思想方法.其中第4類我給出了3種方法，方法1凸顯巧法，若學生能看到Q就是MN與圓的交點，利用勾股定理就容易解決了，考查學生直觀想象的核心素養能力.但是在實際考試中，很多學生看不到這個特殊性，往往受很多因素影響.而方法2，方法3則能真正體現出通法.

（ⅱ）如圖9，過C作CR⊥AB交AB于點R，易得△DEG是等邊三角形，則DE=DG=DF， 結 合 ∠GDF=90°，得∠DEF=∠DFE=75°，則∠BAP=∠B=75°，易得∠BAC=∠BPA=30°，所以AC=2RC=2AM.連接MD，易得AM=DF，MD=DN=DB，所以∠DMP=∠DPM=15°，結合∠DGP=∠DGE=30°，易得GM=GD，所以GM=RC，即四邊形MRCG為矩形.

圖9

點評：要善于去挖掘AM＝MB＝MG＝DG＝CR＝GE＝DE＝DF這個重要的信息.連接它們之間的橋梁涉及到三角形的中位線、等腰三角形、矩形、直角三角形等知識，其中關鍵的地方在于圖中角的求出，這個看似沒有給予角的度數卻隱藏在圖形之中.

四、變式再探

（2018年溫州外國語學校一模第24題）如圖10，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，以BC為直徑為⊙O，交AB于點D，分別過點C，D作⊙O的切線交于點E，DE交AC于點F，連接AE，CD.

（1）當∠BCD＝25°時，求∠BAC的度數；

（2）求證：AE∥BC；

（3）當∠B＝60°時，取四邊形BCFD一邊的兩端點和射線OA上一點P，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且P為銳角頂點，求所有滿足條件的OP的值；

（4）連接EO，交AC于M，⊙O交射線OA于點N，連接DM，當DM過點N時，則AO的長為_____________（直接寫出答案）.

圖10

五、教學啟示

1.重視挖掘題中的基本圖形

經典試題常伴隨著基本圖形的痕跡，可見基本圖形非常重要，它是題中之源、之根，只有挖掘題根，才能從根本上解決問題.在平時學習中，若沒有很好地加以積累、總結、內化.遇到復雜的圖形，便會顯得無從下手，找不到解決問題的方法.如本題中，就包含這樣一些基本圖形，如圖11，圖12，圖13，圖14.

圖11

圖12

圖13

圖14

2.重視數學思想方法的滲透

數學思想是聯系知識和能力的紐帶，是形成數學能力，數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、技能、方法的靈活.本題通過設元，用未知數的代數式表示相關的線段，并利用勾股定理建立方程，這種設元建立方程的思想非常重要.另外題中還涉及到分類討論、數形結合等思想方法.在日常教學中，要加強數學思想方法的教學，對典型問題的分析不能就題論題，要有意識地引導學生追求解題成果的深化和擴大，培養學生舉一反三，提煉共性，真正內化為自身的數學能力.

3.提倡問題解法的多樣化

一題多解，可以開闊學生思路，發散學生思維，使學生學會多角度分析和解決問題.對同一道題多種解法的探究非常重要，在解題教學中，當呈現一種解法后，教師要及時追問一句：還有其他解法嗎？學生由此展開不同思路的探究與交流.教師的這種基于解法多樣性需求的追問，能在短暫時間內激活學生的求異思維，生成與已有解法不同的思路或方法，對學生思維訓練和能力提升是有利的.在多解之后教師要引導學生提煉各種解法的共性，進行多解歸一，這可以加深學生對數學理解，促進對通性通法的認識，提高解題技巧與能力.

4.關注數學問題的本質內涵

現行中考試題加大了對數學問題本質的探究，弱化了對特殊技巧的考查，這需要教師在平時的解題教學中善于就問題進行分析、挖掘，尋到隱含在其中的本質內涵，才能有效地形成解題思路.因此，在平時的教學中，我們要把數學本質性的問題滲透到教學的全過程，使學生不僅學好概念、定理、法則等內容，而且能體會數學知識的發生、發展過程，把握蘊含其中的數學本質，并通過不斷積累，逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識，提升數學素養.

參考文獻：

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3.齊欣.關注中考導向，培育核心素養——2017年聊城中考卷第25題評析及教學啟示［J］，中學數學（下），2017（8）.

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