巧用方法求平面圖形面積

☉北大培文晉中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 孫永清

平面圖形求面積在中考和競(jìng)賽中占據(jù)重要的地位，同時(shí)也有助于學(xué)生邏輯思維能力以及數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，但是現(xiàn)有的資料有關(guān)求平面圖形面積的方法不夠全面，例題不夠新穎，所以針對(duì)這些問(wèn)題.本文從以下方法淺談一些自己的看法.

一、公式法

圖1

公式法就是利用規(guī)則圖形的面積公式，分別求出公式中的相關(guān)的量，代入公式求解，比如三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形等，如果圖形有多個(gè)面積公式，根據(jù)已知條件，靈活選擇合適的公式，對(duì)于不規(guī)則圖形的面積，首先要轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形，然后根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算.

例1 如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，作正方形GHMN使得點(diǎn)G在AB上、點(diǎn)M在ED上，求正方形GHMN的面積最大值.

分析：由題可知，GM是正方形的對(duì)角線，根據(jù)正方形的面積公式所以要求正方形面積最大值，也即求GM的最大值，又因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A（或點(diǎn)B）重合，M與點(diǎn)D（或點(diǎn)E）重合時(shí)，GM取到最大值，所以正方形面積的最大值便可求出.

解：當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A（或點(diǎn)B）重合，M與點(diǎn)D（或點(diǎn)E）重合時(shí)，GM取到最大值，

根據(jù)已知條件可知，GM=2.11

則正方形GHMN的面積的最大值為2.

二、比值法（等積法）

在三角形或平行四邊形中，如果底相等，那么面積比等于高的比；如果高相等，那么面積比等于底的比，當(dāng)比值和其中一個(gè)圖形的面積已知或可求出時(shí)，所求圖形面積便可以得出.特殊地，同底等高時(shí)，面積比為1，這種求面積的方法也叫做等積法.

分析：由題意可知,△ADE與△ACE的面積已知，若△ADE與△ACE都以AE為底，則可求出過(guò)點(diǎn)D、C高線的比.又因?yàn)檫@兩條高線在以BE為底的△BDE和△BCE中，所以可以求出兩個(gè)三角形的面積比.在這兩個(gè)三角形中，又以BD和BC為底，因?yàn)閮扇切瓮?，則可以求出線段BD和BC的比，又因?yàn)锽D和CD在等高的△BDE與△CDE中，所以比值可以確定，而△CDE的面積已知，則△BDE的面積也迎刃而解，本題多次利用了比值法，需要靈活求出合適的比值.

圖2

三、和差法

幾何圖形的面積等于組成其圖形的各部分面積之和或者用該圖形所屬的整體圖形面積減去其他各部分圖形面積，即所求圖形的面積等于幾個(gè)圖形面積的和或差，這種方法叫做和差法.

例3如圖3，在△ABC中，∠A=90°，D、E、F分別在AB、BC、CA上，且ED⊥AB，BD=20，CF=18，求△BEF的面積.

分析：△BEF的面積等于△BCF的面積減去△EFC的面積，再根據(jù)公式法分別求出各部分圖形的面積.

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，

則四邊形ADEG為矩形，所以EG=AD.

圖3

四、割補(bǔ)法

對(duì)于不規(guī)則圖形或不容易求出面積的圖形，需要通過(guò)割或補(bǔ)，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或易于求解的問(wèn)題，這種求平面圖形面積的方法叫做割補(bǔ)法.

例4如圖4，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，AB=2cm.以B為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在邊CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A1，此時(shí)點(diǎn)C落到點(diǎn)C1，則在旋轉(zhuǎn)中，邊AC變到A1C1所掃過(guò)的面積為多少平方厘米（結(jié)果保留π）？

分析：因?yàn)榍吶切蜛1C1D1與曲邊三角形ACD全等，所以將圖中曲邊三角形A1C1D1“割”下來(lái)“補(bǔ)”到ACD的位置上，發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積正好等于部分環(huán)形CC1D1D面積，而部分環(huán)形CC1D1D面積又等于扇形DBD1的面積減去扇形CBC1的面積.

解：如圖4，將圖中曲邊三角形A1C1D1“割”下來(lái)“補(bǔ)”到曲邊三角形ACD的位置上.

在Rt△ABC中，因?yàn)锳B=2，AC=1，

圖4

五、覆蓋法

覆蓋法，即把所求圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求面積的規(guī)則圖形重疊部分面積的方法.通常所求面積的圖形一般由幾個(gè)圖形覆蓋而成，解題的時(shí)候要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，分清哪部分圖形被覆蓋，哪部分沒(méi)有被覆蓋，理順各部分圖形之間的數(shù)量關(guān)系.

例5如圖5,它是由4個(gè)面積為6平方厘米的等圓組成.外圍的3個(gè)圓都過(guò)中間的圓的圓心O，中間的圓過(guò)外圍任兩圓的交點(diǎn)，求陰影部分的面積總和.

分析：4個(gè)等圓覆蓋的面積就是外圍的三個(gè)等圓覆蓋的面積，從圖中發(fā)現(xiàn)外圍三個(gè)等圓的面積減去中間圓的面積等于3個(gè)S1和3個(gè)S2，所以陰影部分的面積等于外圍

圖5

六、代數(shù)法

對(duì)于不能直接求出面積的圖形，可以通過(guò)建立關(guān)于面積的方程（組）的思想，求出圖形面積，這種方法叫做代數(shù)法，這種方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

BQ與AP相交于點(diǎn)N，若△ABC的面積為12，求△ABN的面積.

分析：連接CN，設(shè)三角形CQN的面積為x，三角形CNP的面積為y，根據(jù)已知條件可以把組成三角形ABC的各部分圖形用未知數(shù)表示出來(lái)，從而建立關(guān)于x，y的方程組，再根據(jù)和差法，求出△ABN的面積，這道題綜合應(yīng)用了代數(shù)法和和差法.

圖6

掌握多種求平面圖形的方法有益于學(xué)生解題策略的積累，提高舉一反三、融會(huì)貫通的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，當(dāng)然以上幾個(gè)方法并不是獨(dú)立存在的，有時(shí)候需要根據(jù)條件，綜合應(yīng)用幾個(gè)方法，提高解題的效率，當(dāng)一道題可以運(yùn)用多種解題方法時(shí)，根據(jù)條件靈活選用簡(jiǎn)便、合適最優(yōu)的方法.H