破解一道被“秒殺”的中考選擇題

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

一、問題再現

題目：如圖1，已知凸五邊形ABCDE的邊長均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，則BD必定滿足（ ）.

A.BD＜2 B.BD=2

C.BD＞2 D.以上情況均有可能

這是2017年湖北省黃石市中考數學試卷選擇題的壓軸題，主要考查等腰三角形的性質、平行線的判定方法、平行四邊形的判定方法、三角形的兩邊之和大于第三邊、三角形的內角和定理

等數學知識和方法，可以說是命題者精心設置的一道有分量的考題，但不幸的是用選擇題的方式來考查，考生極易猜想到答案為A.筆者所在的學校在八年級學習“平行四邊形”檢測時選用此題，正確率就超過90%，可見題目被學生“秒殺”了，但事后追問學生怎樣求解的，能給出解題方法的寥寥無幾.如何深入研究和備課，挖掘問題的豐富內涵，使得難題在教學中不至于“輕輕滑過”，從而追求更有深度的講評效果？筆者引導學生借助“合情推理”的結果，跟著感覺探尋破解問題的方法，體現了“一題一課”簡約、自然的教學理念.

圖1

二、問題解決

根據圖形特點，合情猜想AB=BC=CD=DE=EA=AC=1，于是需證明四邊形ACDE為平行四邊形或三角形ABC為等邊三角形，只需證明AE∥CD或∠ABC=60°.為此，怎樣用好題設“∠DBE=∠ABE+∠CBD”成為解題的關鍵.

思路1：由AB=AE，BC=CD知，∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，所以∠DBE=∠AEB+∠CDB，從而聯想到一個與平行線相關的基本圖形“ ”，可證明AE∥CD，得到以下四種解法.

解法1：因為AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB.

因為∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.

因為∠DBE+∠BED+∠BDE=180°，

所以∠AEB+∠CDB+∠BED+∠BDE=180°，

即∠AED+∠CDE=180°，所以AE∥CD.

因為AE=CD，所以四邊形AEDC為平行四邊形.

所以ED=CD=1，所以BC=CD=1，

在△BCD中，因為BD＜BC+CD，所以BD＜2.故選A.

解法2：因為AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB.

因為∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.

如圖2，作BG∥AE，則∠AEB=∠EBG，

所以∠CDB=∠DBG，

所以BG∥CD，所以AE∥CD.

因為AE=CD，所以四邊形AEDC為平行四邊形.

所以ED=CD=1，

所以BC=CD=1.

在△BCD中，因為BD＜BC+CD，所以BD＜2.故選A.

解法3：因為AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB.

因為∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.A E

圖3

如圖3，延長EB、DC交于點G，則∠DBE=∠BGD+∠CDB，

所以∠AEB=∠BGD，

所以AE∥CD.因為AE=CD，

所以四邊形AEDC為平行四邊形.

所以ED=CD=1，所以BC=CD=1.

在△BCD中，因為BD＜BC+CD，

所以BD＜2.故選A.

解法4：因為AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB，

因為∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.

如圖4，過點B作FG⊥AE分別交EA、DC的延長線于點F、G，

則∠FBE+∠AEB=90°.

因為∠FBE+∠DBE+∠GBD=180°，

所以∠FBE+∠AEB+∠CDB+∠GBD=180°，

可得∠CDB+∠GBD=90°，

所以FG⊥CD，所以AE∥CD.

因為AE=CD，所以四邊形AEDC為平行四邊形.

所以ED=CD=1，所以BC=CD=1.

在△BCD中，因為BD＜BC+CD，所以BD＜2.故選A.

思路2：猜想AB=1，由AB=BC知，需證明∠ABC=60°，而∠DBE=∠ABE+∠CBD，可通過旋轉△ABE使BA與BC重合，構造等邊三角形，找到解題突破口.

圖2

圖4

解法5：如圖5，將△ABE繞點B順時針旋轉使得BA與BC重合得△BCG，連接GD，

則∠ABE=∠CBG，BE=BG，AE=CG.

因為∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠DBG.

又BD=BD，所以△BED≌△BGD（SAS），

所以DG=DE=DC=CG，故△CGD為等邊三角形，

可得∠DGC=∠CDG=60°，

所以∠CDB+∠CBD+∠CBG+∠CGB=60°，

所以∠DBG=30°，進而∠ABC=60°，△ABC為等邊三角形，故CD=BC=AC=1.在△BCD中，因為BD＜BC+CD，所以BD＜2.故選A.

圖5

三、問題聯想

從問題的解決得知BD＜2，能否進一步得到“BD＞？”.華羅庚先生曾說：“數學解題，要善于退，足夠的退，退到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅.”這里的“退”是“以退為進”的策略也就是退到特殊情形，思考問題的可能思路，或在特例情況下問題的答案有怎樣的特性，這種特性對于探究未知、探究一般是否有啟示作用，并讓這種啟示作為明燈，引導我們走上正確的解題方向.在本題的圖形中，顯然點D的一個極端位置是B、C、D三點共線，此時BD=2，BD最大；而點E的極端位置是B、A、E三點共線，進而可以確定點D的另一個極端位置，此時BD最小，在△BCD中，BC=CD=1，∠BCD=120°，不難求得，進而得知，因此BD的取值范圍為

四、寫在最后

從命題者的角度來說，精心設置的把關題要科學、合理，確保試題的信度和效度，謹防被考生“秒殺”；從教師的角度來說，遇到此類題，要用心揣摩命題者的意圖，挖掘題目的內涵，追求試題講評效益的最大化，讓試題變得簡約而不簡單；從學生來說，不能因“秒殺”而竊喜，而應關注試題的考點，領會解題的方法，逐步積累數學活動經驗.H