忽視“試錯”教學的原因及其對策
——基于初中數學解題教學實踐的思考

☉浙江省嘉興市南湖區教育研究培訓中心 顧建鋒

☉浙江省嘉興市南湖區大橋鎮中學 趙有紅

“試錯”即嘗試探究和清除錯誤，其思想是由英國哲學家卡爾·波普爾提出來的.波普爾認為對于一個理論上的問題，用來解答這一問題的方法，通常都是一樣的：這就是試探和清除錯誤的方法，簡稱為試錯法［1］.而初中數學解題事實上就是一個理論問題的解決過程，其首要任務是先確定問題所涉及的知識范圍，并提出可能的解決方向，再經過多次的調整和修改，從不正確到正確，從不適應到適應，逐步走向問題的解決.因此，初中數學解題教學的應然追求是“求真與試錯的恰當融合”，它需要在“試錯”的基礎上“求真”，從而形成正確的解題方法，積累相關的解題經驗.

然而，在實際解題教學時，一線教師往往重視“求真”，忽視“試錯”.例如對于問題：“如圖1，點A（-1，0），點C（0，3）是拋物線y=-x2+2x+3上的點，點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標.”多數教師在教學時，會選擇直接呈現“行得通”的解題方案（即先找到點P的位置，如圖2，再求點P的坐標），而對“行不通”的解題方案（構建函數模型）束之高閣.這種重“求真”，輕“試錯”的解題現象，在初中數學解題教學中大量存在.

圖1

圖2

當然，在初中數學解題教學中，“試錯”思想被忽視，有著比較復雜的原因.本文嘗試作一定的分析，進而提出改變這種狀況的若干對策.

一、忽視“試錯”教學的三種典型表現

數學解題的過程是一種漸進嘗試探究和消除錯誤的過程，在這個過程中，無關的錯誤反應逐漸減少，而正確的反應最終形成.可以說要真正學會和領悟數學解題的方法，不斷地經歷“試錯”過程不可或缺.然而，在初中數學解題教學中，許多一線教師往往注重解題策略的“求真”，對“試錯”的過程則不重視，甚至根本不去關注.具體可以歸納為三種典型表現.

1.無“錯”可試

我們知道，解題教學首先是一個教師“教”和學生“學”互動交流的過程.教師的“教”應該以揭開問題“條件”與“結論”之間的內在聯系，或者探索由“已知”可以導出怎樣的“未知”為出發點.學生的“學”則應該是一個主動的、基于問題思考、探究和感悟的過程，期間學生出現解題思路受阻、解題方向錯誤、解題策略不當在所難免.然而，現在仍有不少的初中數學教師為追求解題教學的“行云流水”，強勢地以“教師的思路”完全替代“學生的思路”，尤其是在對綜合程度較高的習題教學時，都是以教師的分析、講解為主，學生基本沒有探究的機會，所要做的事情只需被動地記住或理解教師講解的方法即可.這樣的解題教學，幾乎沒有“嘗試探究”的學習過程，出現無“錯”可試的局面也就不言而喻了.

2.有“錯”不試

這種狀況一般出現在新手教師的解題教學中.雖然這些教師在教學時，會有意識地創設學生嘗試探究的時間和空間，提供學生自主探索解決問題的機會，搭建學生展示個人觀點的舞臺.但當學生發表了自己的解題思路后，教師往往只對正確思路給予足夠的重視，而對錯誤想法則不予關注.如文章開頭的案例中提到的最值問題教學，教師會將教學注意力和著力點放在“先用作圖的方法找到點P的位置，再用“函數解析”的方法求出點P的坐標”這一正確的解題路徑上，而對“先設點P的坐標

“用函數模型為什么不能順利求解出該題最值”這樣有價值的問題“荒廢”，失去了引導學生體驗“試錯”過程的機會.這是有“錯”不試的典型體現.

3.試“錯”不實

這是“試錯”教學中比較常見的一種狀況.具體教學時，教師已經關注到“錯誤資源”的再利用，但在利用錯誤的過程中，又出現了試“錯”不實的情況.具體表現為兩種狀況：一是利用過程中，教師沒有將其擴展到全體學生中，把“試錯”過程的體驗，作為全體學生的學習資源；二是用其他學生的講解代替出錯學生的回答，從而剝奪了學生自己調整和修改的機會，讓“試錯”的學習價值大打折扣.

例如，有教師這樣進行解題教學：（1）呈現問題：“某次人與自然的知識競賽中共有20道題，對于每一道題，答對了得10分，答錯了或不答扣5分，小明至少要答對幾題，其得分才會不少于80分？”（2）學生自主探索，列不等式；（3）實物投影展示一位學生的解答：“設答對x道題，則答錯或不答（20-x）道題，根據題意可列不等式為10x+5（20-x）≥80”；（4）教師追問有無不同意見，有學生馬上指出“答錯了或不答扣5分”應該表示成“-5”，并將所列的不等式更正為10x-5（20-x）≥80.

上例中，對于學生出現的錯誤教師及時用其他學生的講解予以糾正，雖有“試錯”意識，但沒有讓出錯學生經歷自己發現錯誤，尋找錯因，并自覺地改正錯誤的過程，“試錯”的價值不大.若將上述教學過程修改為：“學生列出不等式10x+5（20-x）≥80后，請這位學生解這個不等式，當學生解出不等式的解為x≥-4時（讓學生自己看到錯誤），教師可以追問，根據你列出的不等式10x+5（20-x）≥80，得出的答案是至少答對“-4”題，小明的得分才不會少于80分，這樣的答案可以嗎（以錯治錯）？這時相信學生能馬上發現錯誤，并思考錯誤的根源是什么？同時促使學生去重新審視自己所列的不等式，去重新審題，去重新尋找題中關鍵的字詞，從而找到錯誤的本源（改正錯誤）.”這樣“試錯”教學才會真真落地生根.

二、忽視“試錯”教學的原因分析

數學解題教學中，“試錯”常被教師忽視，有著較為復雜的原因，且有些時候是多種因素相互結合造成的.那么，造成“試錯”教學被忽視的主要因素是什么呢？

1.“教為中心”的課堂：無“錯”可試的主因

無“錯”可試的主要問題是：解題教學為什么沒有“試錯”的機會？再深究下去，即為什么解題教學時只分析正確的思路，而不叩問錯誤的思路？這是數學解題的自然狀態嗎？顯然不是，那么是什么原因造成的？

當下，“學為中心”的教學理念遍地開花，但仍有不少教師在“教為中心”的道路上風雨兼程，這些教師為了追求所謂的“課堂效率”，仍然牢牢把持著課堂的主動權不放，將問題的提出與問題的最終解決獨攬一身.具體到解題教學，教師往往會慣性地將最簡捷的解法直接呈現給學生，而有意無意地回避解法背后艱難的思考歷程，這是“教為中心”理念的典型表現.在這樣的課堂上，教師不會讓錯誤的結論出現，也不會呈現錯誤的解題思路，更不會給學生在課堂里是“試錯”的機會.因為在這些教師看來，讓學生“試錯”的成本偏高，要占用去較多的課堂時間，減少教師較多的“講題時間”，很可能導致教師原定的教學計劃不能按時完成.于是，這些教師為了既定的程序不再去捕捉課堂上的生成性“錯誤”資源，就成了“教為中心”理念下教師的行動指南.

2.教學認識的封閉：有“錯”不試的主因

有“錯”不試的主要問題是：為什么解題中出現了“錯誤”后，教師不愿意引導學生花時間去探究“錯誤”“錯”在哪里？以及探究錯誤產生的原因之外，還有什么經驗教訓可以讓我們借鑒？

數學解題教學離不開學生做題，而做題時教師勢必要求學生獨立嘗試探究，因此便有可能產生錯誤的結論，即學生在解題過程中選擇了錯誤的思路或途徑，產生了不正確的結論.當這種不正確的結論出現后，教師不去組織學生“試錯”的主要原因是：教師認識不到“試錯”過程的教學價值，片面地認為數學解題應追求結論的正確性、方法的便捷性、以及過程的簡潔性，這種教學認識上的固步自封，讓他們固執地認為，學生在解題中出現的錯誤想法或結論只需點到為止，無需展開，只要引導學生把正確的解法與結論研究清楚即可.于是，解題教學時，即使學生中出現了錯誤的結論，教師也會刻意回避，不作探討.如在分式加減的習題教學中，因為解題前教師認為“異分母分式相加減時，分母不變分子相加”這樣的錯誤是非典型錯誤，沒有“試錯”的必要，所以

僅停留在指出錯誤、改正錯誤的層面，而不去作深入的探討，也就不足為奇了.

3.教學智慧的不足：試“錯”不實的主因

試“錯”不實的主要問題是：是不是所有的“錯誤”都有“試錯”的價值？又為什么對于解題中出現的有些“錯誤”，教師在教學時已經引起了注意，并已經組織學生去探究“錯誤”產生的原因及“錯誤”更正的方法，可收效卻甚微，有時甚至還干擾到學生對正確結論的認識與理解？

數學解題事實上就是尋找問題解答的活動過程，在這個過程中一個人的興趣、情緒、意志等起到了重要的作用.因此，在解題教學中，教師首先要挑起學生的好奇心，激起他的興趣，使他產生解題的愿望；其次是恰到好處的問題啟發或追問.這是解題教學是否有效的關鍵，它需要教師的教學智慧.同樣，組織學生“試錯”的過程，也離不開教師的教學智慧.當然，筆者認為，在引導學生進行“試錯”的過程中，教師的教學智慧主要是指：對“錯誤結論”或“錯誤解法”探討價值的判斷力與調控“試錯”過程的組織力.即在解題教學中，學生基于自主嘗試探究得到“錯誤結論”或“錯誤解法”后，教師需要判斷是否有必要對其進行“試錯”，即嘗試探討“錯誤”產生的原因，調整和修改原來解題方法，直至“錯誤”消除.然而實踐中，由于教師教學智慧的匱乏，往往讓有價值的“錯誤”教學資源發揮不出應有的“試錯”價值.

三、改變忽視“試錯”教學的對策

忽視“試錯”教學現狀的改變，需要有教學理念的改變與教學行為的改變兩個層面上的努力.針對以上問題，我們可以從以下三個方面進行嘗試.

1.變“教為中心”的課堂為“學為中心”的課堂，讓學生經歷自主解題過程，不必擔心“錯誤”產生

“學為中心”的課堂相對于“教為中心”的課堂最大的變化體現在學生的學習方式上，前者是主動學習，后者是被動學習.在“教為中心”的課堂上，教師把控一切，學生是被灌輸的對象，少有獨立思考的機會；而在“學為中心”的課堂上，學生真正邁向“前臺”，成為課堂學習的主人，教師則適當“后撤”，成為學生學習活動的組織者、引導者和幫助者，在這樣的課堂上，教師呈現學習任務之后，更多的是以“積極的旁觀者”出現，在學生自主解題時，積極地觀察和收集相關信息.當學生展示個人解題成果時，給學生充分暴露思維過程的機會，哪怕學生呈現的解題方法“不太完善”，甚至是錯誤解法，也要坦然面對，有時甚至還要故意放大學生的錯誤，以引發全體學生進行思考、探討，引導全體學生參與“試錯”過程，從而實現“去錯”基礎上的“求真”.

2.轉變教學認識上的固步自封，認識到“試錯”教學的價值，讓有價值的“試錯”過程成為提升學生解題素養的“催化劑”

受知識、經驗和方法的局限，學生在解題過程中難免會產生錯解.這些錯解是學生數學思維的本真表現，反映出學生的認知水平和行為習慣［4］.許多教學名家都認為，在學生的學習過程中，正確很可能只是一種模仿，可錯誤絕對是一種經歷，是通往正確和成功的必經之路.基于此，教師需突破自己教學上的固步自封，具體表現為：（1）在教學理念上，既要認識到錯誤在學生的學習中不可避免，又要認識到“試錯”的教學價值——學生的學習過程實質就是一個不斷修正錯誤的過程，更要認識到與其一直步步為營地預防學生出錯，不如讓學生錯一次，讓學生在嘗試中發現問題，在體驗中解決問題.（2）在教學行為上，積極踐行試錯教學，雖然課堂教學是一個動態生成的過程，學生的學習錯誤具有不可預見性，但是一旦錯誤產生，往往是學生思維的真實反映，包含著某種合理成分，甚至是蘊含著寶貴的“亮點”，此時要讓學生充分展示其思維過程，并由此針對性地展開教學，促使學生主動地對錯誤進行反思，突破性地認識到錯誤所在，進而在不知不覺中提升自己的解題素養.

3.提高教師對錯誤資源價值的鑒別力，有效組織“試錯”過程，充分發揮“試錯”的學習功能

“試錯”客觀地說是一種符合學生認知規律的解題方法.在初中數學課堂解題教學中，“試錯”教學的應用，需要教師對學生生成的錯誤資源有著較強的鑒別力，即能夠以有價值的錯誤資源為載體，通過設計問題，引領全體學生進行“試錯”活動，發揮“試錯”過程的學習功能，進而達到對“正確解法”的深刻理解.如“解方程：2x（x-5）=x-5”的教學，我們來看一位教師的“試錯”教學過程［5］.

（1）先“展錯”.教師有意識地讓學生展示錯誤解答：

（2）后“議錯”.當學生紛紛說“錯了”時，教師讓另外兩個學生板演正確的解題過程（一個用公式法，另一個用移項后因式分解的方法）.這時，教師話鋒一轉，說，“剛才出錯的同學的思考過程有無可取之處？”

（3）再“去錯”.出錯的學生自豪地展示了自己的“驚

和行為可以看出，他從自我改進中強烈體會到了從尷尬到被欣賞的喜悅.

通過“展錯”、“議錯”和“去錯”三個環節的教學，讓全體學生在對比中反思，在反思中改進，在改進中求真，最終收獲成功.

參考文獻：

［1］張軍.波普爾視野中的辯證法與試錯法［J］.遼寧行政學院報，2008（10）.

［2］余慧娟.十年課改的深思與隱憂［J］.人民教育，2012（2）.

［3］李東.基于理解教材的錯解反思與應對措施［J］.中學數學教學參考（中），2012（6）.

［4］顧建鋒.由“閱卷爭議”引發的思考——一道試題的商榷、完善與延伸［J］.中學數學（下），2017（8）.

［5］吳增生.合理運用課堂情緒 促進學生有效學習［J］.中學數學教學參考，2015（11）.H