函數視角下的面積問題求解策略

湯 雙

二次函數圖像中的三角形面積問題，是近幾年各地數學中考試卷中很常見的題型，并且大部分題目是作為壓軸題出現的.

一、將不規則圖形轉化為規則圖形求面積

例1如圖1，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到三角形A′B′O.

（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式.

（2）設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質.

圖1

【思路點撥】

1.四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍.

2.連接PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個三角形.

3.過點P向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形.

【解答過程】

（1）△AOB繞著原點O逆時針旋轉90°，點A′、B′的坐標分別為（-1，0）、（0，2）.

因為拋物線與x軸交于A′（-1，0）、B（2，0），設解析式為y=a（x+1）（x-2），代入B′（0，2），得a=-1.

所以該拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2.

（2）S△A′B′O=1.

如果S四邊形PB′A′B=4S△A′B′O=4，那么S四邊形PB′OB=3S△A′B′O=3.

如圖2，作PD⊥OB，垂足為D.

圖2

設點P的坐標為（x，-x2+x+2）.

所以S四邊形PB′OB=S梯形PB′OD+S△PDB=-x2+2x+2.

解方程-x2+2x+2=3，得x1=x2=1.

所以點P的坐標為（1，2）.

【面積另解】第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖3那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單.

圖3

所以S四邊形PB′OB=S△PB′O+S△PBO=-x2+2x+2.

甚至我們可以更大膽地根據拋物線的對稱性直接得到點P：

作△A′OB′關于拋物線的對稱軸對稱的△BDE，那么點E的坐標為（1，2）.

而矩形EB′OD與△A′OB′、△BDE是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍.因此點E就是要探求的點P.

圖4

【技巧點撥】如果所求的四邊形是一個不規則的圖形，其基本圖形如下：

圖5

面積計算方法是：

SABCO=S△BCD+SABDO或S△ABO+S△BCO.

而一邊在坐標軸上的三角形面積的求解公式為

圖6

圖7

二、運用“ S=水平線×鉛垂高”求面積

例2如圖8，已知拋物線（b、c是常數，且c＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（-1，0）.

圖8

（1）b=______，點B的橫坐標為______（上述結果均用含c的代數式表示）.

（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E.點D是x軸上一點，坐標為（2，0），當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式.

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB、PC.設△PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有________個.

【思路點撥】

1.用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發現OB=2OC.

2.如圖9，當C、D、E三點共線時，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD.

3.求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方.

4.求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經過C運動到B的過程中面積的正整數值，再數一數個數.注意排除點A、C、B三個時刻的值.

【解答過程】

（1），點B的橫坐標為-2c.

（2）由

過點E作EH⊥x軸于H.

圖9

由于OB=2OC，當AE∥BC時，AH=2EH.

所以x+1=（x+1）（x+2c），因此x=1-2c，所以E（1-2c，1-c）.

當C、D、E三點在同一直線上時，所以

整理，得2c2+3c-2=0.解得c=-2或（與c＜0矛盾，舍去）.

所以拋物線的解析式為

（3）①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F.

直線BC的解析式為

設那么

所以

因此當P在BC下方時，△PBC的最大值為4.

當P在BC上方時，因為S△ABC=5，所以S△PBC＜5.

綜上所述，0＜S＜5.

圖10

②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有11個.

【技巧點撥】當要求的三角形的三邊都與坐標軸不平行時（如圖11），我們有兩種解決問題的思路：

圖11

思路一：運用公式水平線×鉛垂高求面積

思路二：構造輔助線使S△ABO=SABDE-S△AOE-

S△BOD.