分析錯誤源頭設計有效教學

王瑞

摘要：學習數學，離不開解題，解題中學生出現的錯誤，教師該怎么辦？筆者結合學生在某次統考測試中出現的錯誤進行剖析，一方面尋找學生出錯的“癥結”所在，讓學生把自己的錯誤認識得更清楚，進一步發展學生的思維；另一方面從“設計”的角度，對學生思維障礙進行分析，把習題進行“重組”、“歸類”，針對日常教學中學生的錯題，探索試卷講評課有效教學的途徑。

關鍵詞：錯誤；設計；有效

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-096-2

試卷講評是教師針對學生測試結果進行分析講評的一種課堂教學形式。一堂優質“講評”課，不僅可以幫助學生了解本學科自己已掌握的基礎知識情況，發現存在的問題，找到需要攻堅的著力點，而且可以促使教師對教學過程進行反思，針對教學中存在的問題，不斷改進教學方法，提高教學質量。下面筆者就以數學試卷中的一題為例，談談如何設計有效的試卷講評課。

題目：據大數據統計顯示，某省2014年公民出境旅游人數約100萬人次，2015年與2016年兩年公民出境旅游總人數約264萬人次。若這兩年公民出境旅游總人數逐年遞增，求這兩年該省公民出境旅游人數的年平均增長率。

22.（8分）（1）解：設增長率為x

100（x+1）2=264

x+1=±20.66

x1=20.66-1x2=-20.66-1（舍）

∴增長率為20.66-1

一、錯誤源頭

學生之所以犯下這種錯誤，一是沒有認真審題，對題目中的“2015年與2016年兩年公民出境旅游總人數約264萬人次”這句話沒有足夠重視；二是思維定式，遇到增長率問題就是“基礎×（1+增長率）2”，導致所列方程錯誤，從而失分。

由此可見，學生在初學“用一元二次方程解決實際問題”時，對“增長率問題”理解并不到位，僅僅停留在“模仿、記憶”的階段，并沒有從本質上理解“增長率”的具體內涵，上題中學生所寫的“100（x+1）2”僅僅表示2016年的人數，還缺少2015年的人數。我們不妨從下面的一張表來看：

設平均增長的百分率為x。

2014年2015年2016年2017年

100100+100x或100·（1+x）100（1+x）·（1+x）=100（1+x）2100（1+x）2·（1+x）=100（1+x）3

通過這張表，不難發現后一年的人數都在前一年的基礎上乘以“1加增長率”，本題列出正確的方程也就非常簡單了。通過上題可進一步可以總結提煉為：

原來增長一次到增長2次到…增長n次到

aa（1+x）a（1+x）2…a（1+x）n

如果當初學生在學習新課過程中，對師生共同列出的表格真正理解并掌握的話，也不可能出現很多類似上面的錯誤。

二、變式提升

變式1：據大數據統計顯示，某省2014年公民出境旅游人數約100萬人次，經過兩年的增長，2016年出境旅游人數為168萬人次。若2016年的增長率是2015年增長率的2倍，求2015年的增長率。

分析：設2015年的增長率為x，則2016年的增長率為2x。

201420152016

100100（1+x）100（1+x）（1+2x）

根據題意得：100（1+x）·（1+2x）=168。

通過變式1的分析，可進一步小結，當每次增長率不相同時，可以得到下表中的關系：

設在a的基礎上增長，第1次增長率為x1，第2次增長率為x2，…，第n次增長率為xn。

原來增長1次到增長2次到…增長n次到

aa（1+x1）a（1+x1）·（1+x2）…a（1+x1）·（1+x2）·…·（1+xn）

變式2：大數據統計顯示，某省2014年公民出境旅游人數約100萬人次，2016年比2015年出境旅游人數多24萬人次。若這兩年公民出境旅游總人數逐年遞增，求這兩年該省公民出境旅游人數的年平均增長率。

分析：設年平均增長率為x。

設在a的基礎上增長，n次增長率均為x，

原來增長1次到增長2次到…增長n次到

aa（1+x）a（1+x）·（1+x）=a（1+x）2…a（1+x）n

第1次增長了：

a（1+x）-a或a·x

第2次增長了：

a（1+x）2-a（1+x）或a（1+x）·x

法1：根據題意得：100（1+x）2-100（1+x）=24；

法2：根據題意得：100（1+x）·x=24。

顯然，增長了多少就是在前面的“基礎”上乘以增長率更為簡便！

在復習課、試卷講評課中，如果就是公布一下本題的答案，或者就題論題，不對學生的思維障礙進行分析和點撥，讓學生形成思維策略，可能就喪失了一個很好的教學機會了。如果上復習課只是做習題，上試卷講評課就是對答案，那么學生的思維能力得不到提升，久而久之，學生成績肯定不會提高。

三、教學建議

1.指導學生反思

不難發現上面“錯解”中的答案明顯不符合實際情況，如果該名同學做完后能有回顧的習慣，再仔細品味一下原題的話，可能

就不會出現“常識性錯誤”了，因此課堂解題結束后，因教會學生自覺回顧與自主反思，其實就是一種自我批判意識。

2.分析學生的思維，“對癥下藥”

對于學生的解題失誤，多數閱卷老師都在感嘆“學生審題不行”、“太粗心了”等等，可以想象，試卷講評課上，教師必定會再一次向學生強調：“請仔細讀題！把題目讀清楚再寫！”事實上，學生在考試的時候，不知道把題目讀了多少遍，甚至可能逐字逐句的進行了勾畫，但還是沒能做對。因此，教師應當讓出現錯誤的考生敞開心扉的描述當時自己是怎么想的，有哪些思維困境，這樣才能更為準確有效的找到學生認知上的誤區和思維上的欠缺，再進行必要的點撥，使思維教學落到實處。

3.挖掘“錯題”，變式訓練

學生在學習數學的過程中，面臨大量的考試，有考試，必然會有錯題，如果教師一味自行其是，不厭其煩地“滿堂講評”，那么一節試卷講評課下來只會使老師受累，學生疲憊。因此教師必須改變做法，先對學生典型的錯誤進行分析，再讓學生說說自己當時的困惑，現在的體會，再對試題進行一個合理、恰當的變式訓練，這樣不僅能讓學生“聽懂”，還能讓學生經歷了分析問題、解決問題的全過程，達到對所學知識的再次內化，真正達到“會做”的目的，在“做”中達到“思維監控”的目的，有偏差就不斷調整，教師要有意識的讓學生經歷這樣的過程，讓學生在“游泳中”學會“游泳”，在解題中學會解題。

對于學生做題中產生的“錯誤”，要進行搜集整理，這是最好的備課素材，教師要有計劃、有目標地讓學生的思維經歷一次次洗禮。通過一題多變，一題多解，多解歸一的提升，讓“錯誤”變成學生思維的“出發點”，讓“糾錯”成為學生思維的“生長點”。