基于認知負荷理論的函數(shù)定義的教學設計*

☉四川省內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 趙思林 李雪梅

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是貫穿高中數(shù)學課程的主線.著名數(shù)學家克萊因認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂.”［1］函數(shù)定義深含數(shù)學文化底蘊，具有較高的立人樹人價值.但是，高中函數(shù)定義是公認的教學難點.有調查顯示，超過90%的中學生弄不清究竟函數(shù)是指f，是f（x），還是y=f（x）；高中學生很難接受“對應關系f是函數(shù)”的表述［2］.學生感到理解函數(shù)定義困難的重要原因是很難接受對應關系f，其根本原因是認知負荷的總量超過了工作記憶容量的上限［3］.關于高中函數(shù)定義已有一些教學設計，但尚未看到在初中函數(shù)定義基礎上直接建構高中函數(shù)定義的教學設計.對此，本文在初中函數(shù)學習基礎上基于認知負荷理論給出函數(shù)定義的“八步”教學設計.

一、認知負荷理論及相應的教學策略

米勒的組塊理論表明，成人工作記憶可以同時處理5至9個信息組塊（chunk）［4］.1988年澳大利亞教育心理學家斯威勒（J.Sweller）等人提出了認知負荷理論［5］.該理論認為認知資源（即工作記憶容量）是有限的［6］.認知負荷分為內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷，該理論認為這三種認知負荷的總量應限制在工作記憶容量的范圍之內.

內部認知負荷是指工作記憶對認知任務本身所包含的信息元素及其交互性進行認知加工活動所產生的負荷［7］.當學習材料的內部認知負荷高于工作記憶容量的上限時，可以將學習材料進行適當分解，采用“小步子”教學來降低內部認知負荷；也可以通過呈現(xiàn)一些與新知學習具有實質性聯(lián)系的引導性材料也就是所謂的“腳手架”，來降低內在認知負荷.對于新學習的高中函數(shù)定義而言，最好的“腳手架”就是初中學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體函數(shù)模型.下面將以學生熟知的二次函數(shù)y=x2-1作為新知識的“腳手架”，通過幾個引導性問題的思考與探究，最后師生協(xié)同完成用“集合”和“對應”概念給這個二次函數(shù)重新定義的任務，這里的重新定義，其實質就是用高中函數(shù)定義的方式重新來定義二次函數(shù)y=x2-1.這樣處理的意圖是分解和降低內部認知負荷.

外在認知負荷是添加給內部認知負荷的額外負荷，它是由學習材料的呈現(xiàn)方式及其所要求的學習活動所帶來的負荷，主要是由于不恰當?shù)慕虒W設計所致［8］.可通過優(yōu)化學習材料的呈現(xiàn)形式來控制或減少外在認知負荷.

相關認知負荷是在建構圖式時不是必須但投入后又有利于圖式建構的認知負荷，也與教學設計有關［8］.良好的教學設計雖然可能會適度增加學生的相關認知負荷，使之在圖式建構中投入更多的努力，但它有利于圖式建構和圖式自動化.

二、數(shù)學家對函數(shù)概念的認識

14世紀法國數(shù)學家奧萊斯姆使用了圖形表示依時間t而變的x.這可能是函數(shù)概念的萌芽.17世紀伽俐略、笛卡爾等注意到一個變量對于另一個變量的依賴關系.在牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時，數(shù)學家還沒有明確的函數(shù)概念，他們把函數(shù)當作曲線.1718年約翰·貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)”.18世紀歐拉給出了函數(shù)符號f（x）.歐拉的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和常數(shù)組成的解析式［9］.簡言之，函數(shù)即解析式（注：不嚴密）.1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示.1823年柯西認為函數(shù)不一定要有解析表達式.1837年狄利克雷指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的值x，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù).”［9］至此，傅里葉、柯西和狄利克雷等對函數(shù)的認識更全面、嚴密了，標志著函數(shù)概念的成熟.

由此可見，函數(shù)概念從萌芽到成熟經歷了300多年的時間，教師不能期望學生能在幾節(jié)課之內把函數(shù)理解得很準確、很到位.

三、基于認知負荷理論的高中函數(shù)定義的“八步”教學設計

基于認知負荷理論，高中函數(shù)定義的教學，需要分解和降低內在認知負荷，控制或減少外在認知負荷，適當增加相關認知負荷，以期促進學生提升復雜認知任務（高中函數(shù)定義學習）的完成水平.據此，筆者構建了高中函數(shù)定義的“八步”教學設計，即“憶”—“激”—“問”—“探”—“粗”（“粗定義”）—“定”—“化”—“用”. 下面對這“八步”的基本含義、實施建議、設計意圖作簡要說明.

第一步：“憶”

“憶”是指回憶，也即復習舊知.

初中定義（選自1989年人教版初中教材）：“設在某變化過程中有兩個變量x，y，如果對于變量x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.”

思考：x與y是怎樣對應的？對應關系（法則）是什么？怎樣理解對應關系（法則）？這幾個問題留到后面的問題2中解決.

設計意圖：復習初中函數(shù)定義的相關知識，一是為新知學習搭建腳手架，二是為同化學習創(chuàng)造條件.從而可降低新知學習的內在認知負荷.

第二步：“激”

“激”是指激發(fā)學習動機.

問題1：y=2是函數(shù)嗎？

分析：由于初中函數(shù)定義要求“有兩個變量”，但y=2中只有一個變量，因此，學生用初中函數(shù)定義來判斷就可能有三種（或兩種）意見：不是函數(shù)；不能判斷；搞不清楚.

設計意圖：問題1意在引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生學習高中函數(shù)定義的內在動機.這樣安排雖然會適度增加學生的相關認知負荷，但能夠激發(fā)學生的好奇心和求知欲，增加學習的內在動力.

第三步：“問”

“問”是指需要探究的問題.問題是探究的焦點.問題是激發(fā)思維的催化劑.任何探究（索）都基于問題.

問題2：已知二次函數(shù)y=x2-1，思考與探究下列問題：

（1）給定x的值，怎樣計算x對應的值呢？其算法是什么？

（2）x的取值范圍（集合）是什么？y的取值范圍（集合）是什么？

（3）這個函數(shù)的對應關系（法則）是什么？

（4）數(shù)學家用什么符號表示函數(shù)的對應關系（法則）？

（5）能否用“集合”和“對應”等概念給這個函數(shù)重新下一個定義？

讓學生先思考幾分鐘.

第四步：“探”

“探”是指問題的探究（索）.探究是解決問題的基本手段.探究源于問題，當面對的新問題不能用現(xiàn)成方法解決時，學生的探究意識就會自然產生.

探究：說明：教師和學生協(xié)同完成，盡量讓學生完成.若學生說不完整或說不準確，則教師可邊分析邊講解，教師補充完整或準確.

師：（1）這個問題有點抽象，可不可以先從具體化、特殊化著手，就是把x的值先取定，比如，我們不妨取幾個試試.（下面做法是，教師說出上句“取x=…”，讓學生說下句“則y=…”，不要求算出y的具體的值）

如果取x=3，那么y=32-1=…；

取x=x0，則y=（x0）2-1=x02-1.

師：現(xiàn)在，請回答這個二次函數(shù)的算法是什么？

生：“平方，減1”.

師：對.算法是“（對x）平方，再減1”.

師：由此，能不能看出一些規(guī)律？（學生講不出來時，教師自問自答）

首先，x和y有先后之分，即先給出x的值，再去算y的值；

其次，對于x取不同的值，算出y的值總是只有一個；

再次，對于x取不同的值，算出y的值雖然可能不同，但算法都是相同的.也就是說，算法是不變的.從運算的角度看，這個二次函數(shù)實質上是給了一個確定的算法，且該算法具有不變性.

（2）x的取值范圍（集合）是R，y的取值范圍（集合）是{y|y≥-1}.

在函數(shù)理論里，一般把x的取值范圍（集合）叫做定義域，把y的取值范圍（集合）叫做值域.也就是說，二次函數(shù)y=x2-1的定義域是R，值域是{y|y≥-1}.

（3）這個函數(shù)的對應關系（法則）是什么呢？

首先，要明確x和y有先后順序之分，就是用x去對應y.習慣上，一般把x叫做自變量（注：自變量的概念初中已學），y叫做因變量.

其次，在本問題中，對應關系（法則）就是“（對x）平方，減1”，即x→y=x2-1.

結論：在本問題中，對應關系（法則）可以理解為對x施加的一系列運算.簡言之，本問題的對應關系（法則）就是算法.

（4）由（2）知，x∈R，y∈{y|y≥-1}，或y∈［-1，+∞）.也就是，x在實數(shù)集R里變化，y在集合{y|y≥-1}里變化.由x到y(tǒng)的對應可以引出實數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對應，這個對應可記為：R→{y|y≥-1}.

“對應關系”是數(shù)學中的常用術語，說與寫都麻煩，數(shù)學家怎樣解決這個麻煩呢？

著名數(shù)學家歐拉最早想到用一個“符號”來表示“對應關系”，他于1734年首次使用符號f（x）表示x的函數(shù)［10］.從此，數(shù)學家也用符號“f”來表示“對應關系”.

因此，本題中“從實數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對應關系”可記為“f：R→{y|y≥-1}”，“從x到y(tǒng)的對應關系”可記為“f：x→y”.

（5）綜上可得下面的結論：

①在函數(shù)y=x2-1中，隱藏著一個對應關系f，這個f就是算法的意思，即“（對x）平方，減1”.

②f有三個作用：一是把x和y聯(lián)系起來；二是隱蔽地把數(shù)集R和數(shù)集{y|y≥-1}也聯(lián)系起來了，聯(lián)系的方式叫做“對應”，即f：R→{y|y≥-1}，f：x→y；三是在f的作用（即算法規(guī)則）下，使得R中的每一個數(shù)都對應著數(shù)集 {y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù).

③用“集合”和“對應”等概念給這個二次函數(shù)的新定義：設f是從R到{y|y≥-1}的一個對應關系，若實數(shù)集合R中的每一個數(shù)都對應著數(shù)集{y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù)，則稱f是一個函數(shù)，記為y=f（x）.

總結上述過程，可引出數(shù)學概念的抽象概括和形成的一般過程，即“問題→分析→概念→定義→應用”.

設計意圖：在問題2中，（1）的主要作用是讓學生復習并加深理解求函數(shù)值的算法.（2）的作用是幫助學生理解x和y的變化是有范圍的，另外自然地引出定義域和值域的概念，在這里給出定義域和值域的概念為后面學習函數(shù)定義可以減少內在認知負荷.（3）的作用是為學生提供一個理解“對應關系”并且學生很熟悉的模型即算法，算法對學生來說是非常熟悉的經驗，這里把抽象的“對應關系”理解為“算法”，雖然是不準確、不全面的，但這里的“算法”可以看成是“對應關系”的“腳手架”，對學生理解“對應關系”這個抽象、模糊的概念很有幫助.（4）的作用是讓學生認識函數(shù)中有兩個對應關系（數(shù)的集合到數(shù)的集合，實數(shù)到實數(shù)），認識表示對應關系的常用符號f，使學生經歷抽象化和符號化過程即“算法→對應關系→f”的抽象線路，反過來，就是理解f的（心理）線路即“f→對應關系→算法”.（5）的作用是得到這個二次函數(shù)的高中定義，并總結出數(shù)學概念的抽象概括和形成的一般過程，這對學生今后發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念或給概念下定義來說具有方法論的價值，真是“授人以漁”.

第五步：“粗”（即“粗定義”）

“粗定義”：設f是從數(shù)集A到數(shù)集B的一個對應關系，若數(shù)集A中的每一個數(shù)都對應著數(shù)集B的唯一確定的數(shù)，則稱f是一個函數(shù)，記為y=f（x）.

認知符號“f（x）”.給學生說明符號f（x）不是f與x相乘的意思，其中f叫做函數(shù)的對應關系，或對應法則.

設計意圖：學生通過對問題及其變式的思考與探究，已經對“函數(shù)”概念有了初步理解，加之“粗定義”比較簡短，所有理解“粗定義”就比較容易.函數(shù)的“粗定義”自然就成了函數(shù)（嚴格）定義的“引導性材料”.也可以說，此步的“粗定義”相當于是給第四步和第六步搭的一個“橋”.由于“粗定義”易于理解和接受，學生對“粗定義”的工作記憶的加工也不會發(fā)生困難.在講“粗定義”的同時，順便讓學生提前認知函數(shù)的符號，意在為下一步學習定義時減少工作記憶加工的組塊，也就是減少內在認知負荷，并有效控制外在認知負荷.

第六步：“定”（即定義）

“定”（即定義）是指函數(shù)的形式化定義，即“精定義”，或者說嚴格定義.概念教學的最終目標是達到定義的形式化標準，即達到定義的嚴密化、符號化、一般化等要求.

函數(shù)定義［11］：設A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種對應關系f，使A中的每一個數(shù)x都對應著B中唯一確定的數(shù)f（x），那么就稱f：A→B為一個一元函數(shù)，簡稱為函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.

設計意圖：給函數(shù)賦予形式化的定義與符號，使其形成一個具體的數(shù)學對象，不僅實現(xiàn)了定義的精致化，嚴密化，符號化，一般化，而且可有效促進學生將此數(shù)學對象融化到已有的認知圖式中.

第七步：“化”

“化”是指函數(shù)定義的內化.學習的本質在于認知，認知的目的在于內化.內化就是使知識圖式化、結構化、系統(tǒng)化和網絡化，達到“言有盡”、“意無窮”的境界［12］.定義的內化可以從概念域、函數(shù)符號的讀法、寫法，指數(shù)與函數(shù)的等價互化關系等方面分別去圖式化、系統(tǒng)化.

（1）概念域：自變量，因變量，定義域，對應關系，值域，函數(shù)，見表1.

表1 符號（字母）與名稱、意義的對應表

（2）符號“y=f（x）”的讀法：y是x的函數(shù).

設計意圖：通過對概念域的認識和熟悉，強調函數(shù)符號的規(guī)范讀法和寫法，起到示范作用的同時，增強學生對函數(shù)符號的熟悉程度.恰當使用表格來說明符號（字母）與名稱、意義的對應表，可以降低外在認知負荷.

第八步：“用”

“用”是指定義的應用，同時也兼鞏固練習之任務.

例1已知函數(shù)

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（3）當a＞0時，求f（a-1）的值.

設計意圖：練習的目的是使內化后得到的圖式更加清晰和牢固，最終達到思維模塊化、反應自動化的水平，這就可以為將來解決新的數(shù)學問題降低內在認知負荷.例1可讓學生理解求函數(shù)定義域的方法，讓學生掌握求函數(shù)值的方法.

例2 分析并解答問題1.

分析：把y換成f（x），則有f（x）=2.從而，f：R→{2}，且f：x→2.在f的作用下，集合R中的每一個數(shù)都對應著集合{2}中的數(shù)2，所以f是函數(shù).故y=2是函數(shù).

設計意圖：用高中定義分析并解決問題1，有釋疑解惑的作用，并再一次強調學習高中函數(shù)定義的必要性.

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