陳題改編教學的實踐性思考

☉安徽省太和縣第一中學 吳 振

科學合理的教學策略才能促進學生在真正獲得知識的同時發展智能、提高素質，學生充分發揮主體作用的情況下才能對數學學習展開理解性的學習，教師的知識與講解是無法代替學生的理解與主動思考的.筆者結合“數列極限”復習課中的一道“陳題”對如何提高學生課堂參與度展開了實踐性的思考與探索.

例題 已知一個等差數列和一個等比數列的首項都是1，等差數列的公差與前n項和分別是d和An；等比數列的公比與前n項和分別是r（|r|＜1）和Gn，記Sn=G1+G2+…

筆者讓學生進行了嘗試探究之后，結合自己的巡視組織了師生對此題的研討與分析.

一、培養興趣

師：字母眾多往往會給學生造成繁難的感覺，數學問題的良好結構與完整敘述需要題設條件、解題依據、解題方法、題目結論這四個要素組成.同學們，為了解題順利，請你們對這個例題改編一下試試看.

生1：已知一個等差數列的首項為1，公差為4，前n項和是An；一個等比數列的首項是1，公比是，前n項和是Gn，記Sn=G1+G2+…+Gn.

生2：把生1求極限的設計變成比較An和Sn的大小.師：生1的結論是顯而易見的，生2所設計的大小的比較應注意0是否恒成立.（n≥2時，恒成立）

生3：已知一個等差數列的首項為1，公差為4，前n項和是An；一個等比數列的首項是1，公比是，前n項和是

生4：條件減弱為一樣可以求出d.

師：生3和生4的結果相同，不過，生4將多余的條件刪除掉了.相信大家一定能夠運用類比的方法改編出有關求r的題目，這是給大家的課后作業.編題上大家可還有其他想法？

原命題中的條件與結論之間的邏輯關系在一定的改編之后能夠得出新的命題.常用方式有：（1）增加條件；（2）去掉一些條件；（3）條件與結論互換；（4）更換角度思考與原命題等價的新命題等.學生在課堂中的嘗試改編只是條件與結論的部分互換，引導學生進行命題的改編能為學生提出問題創造更多的機會.

二、縱深發展

生5：觀察例題以及前面四位同學對例題的改編發現例題中的3個“1”之間的關系，如果1變成a，其他不變，求r，d.

師：很好，生5發現了問題的本質使得本變式變得更有可操作性，生6的解題思路與結果也都是對的.還有其他的改編方法嗎？

生7：我考慮將3個“1”中的2個“1”變成a，把存在，探求d與r的關系.

生8：將等差數列、等比數列的首項“1”分別改成a、b，極限值）=1中的“1”也改成a，其他條件不變，求d與r.

生9：我把極限存在，求d與r滿足的關系式.

師：這三位同學在題目的改編上研究得更深，不過解題方法在實質上沒有多大區別，其實“3個1”可以變化的方式很多，大家課后好好思考.高考試題其實大多都是根據一些例題或習題改編的，因此，同學們在平時的學習中應重視問題中的“并”和“串”，并使其中問題的來龍去脈清晰地呈現出來，大家在弄明白這些問題的本質與聯系之后才能真正做到舉一反三.

對原命題進行改編必須建立在吃透原命題的解題過程這一基礎之上，在理順解題思路的過程中從整體上概括出一般性才有可能在一定范圍內達成知識的遷移與方法的運用，然后再根據一般性要素思考問題解決所需要的要素并設計出新的問題.

三、縱橫聯系

生10：記得之前我們做過這樣的題目：首項是1的等差數列{an}的前n項和是Sn，等比數列{bn}的前n項和是Tn，且=9，求an與bn.我認為今天的例題是此題改編得到的.

師：很好.數學問題都具有很多前后左右的聯系，我們在反思中要善于聯想.生10在這一點上做得很好.

生11：我覺得大家改編時都沒有涉及|r|＜1這一限制條件，如果去掉這一條件問題同樣可求.

師：怎么求？

生11：分類討論.

師：太棒了！我們應該從生11的思考中得到啟示：題中每個詞句及其含義都是審題中特別重要的，任何條件的存在自然都有一定的道理，下面請大家探究以下題為實數ai（i=1，2，…，n）與a的和方均值，對于集合A={-1，0，1}，若n=2013，ai∈A（i=1，2，…，2013），和方均值M=，a=1，且a+1a2+…+a2013=2，則a1，a2，…，a2013中零元素有______個.請大家看看此題可有矛盾？若有，在哪里？應該怎么糾正？

求證或求解的難度太大或過于抽象的原命題往往經過一定的特殊化處理更便于學生解決，有些原命題的解決并不是很難，但對其進行一定的改編能使學生對真命題的探索變得更有價值.

四、方法總結

數學教學離開例題教學是不完整的，教師應在傳統的陳題中精心挑選出有價值的題目作為例題進行教學并幫助學生對基礎知識、基本方法與技能的鞏固與掌握，就題論題的教學一般會令學生陷入題海而倍感壓抑，對原題進行深入的探究并進行題目價值與潛力的開發、挖掘與利用能使學生融會貫通地掌握知識，并在最短的時間內學會舉一反三.

陳題改編應在反思解題過程、總結數學思想方法與思維策略的基礎上進行適當的創新，這一教學行為能夠很好地激發學生學習、研究、發明、創造的一系列潛在意識，對原題進行改編其實就是對原題的開發與挖掘，學生往往能在充分開發與利用原題潛在價值的過程中提升自己的理解能力、想象能力、邏輯思維能力及創造能力，因此原題的改編這一舉措對于學生的發展是極有意義的.

陳題改編的過程對于學生來講雖有一定的難度，但也是學生基本都能勝任的，不過學生自主改編出的新命題的真假也就不得而知了.因此，教師在陳題改編的教學過程中應促進學生之間的交流討論與思想碰撞，不斷啟發學生的思想火花并體驗學習的信心、興趣與樂趣，這是改編陳題教學過程中最為重要的.

教學分層與教學個性化常常會在陳題改編的交流與討論中得以實現，層次性與遞進性是陳題改編教學過程中尤其應該體現的，那些能夠讓學生“跳一跳”都能夠得上的高度能夠促進全體學生的發展，同時，學生在改編陳題的過程中也能感悟數學問題的由來以及數學問題的解決方法，學生在數學知識間的聯想能力也能得到很好的培養，在陳題改編的過程中逐步樹立起自覺研究數學問題的意識.

教師在陳題改編之后還應該引導學生進行交流，這一過程可以簡單概括為“說數學”，說什么、怎么說以及為什么這么說都是這一過程中需要搞清楚的重要內容.教師在面對面的交流中能夠更好地了解學生對知識理解的差異、思維上的優勢以及認知方面的特點與不足，根據學生的表述作出及時的評價并對自己的教學實踐作出診斷與反思，從而形成一套更加符合學生個性發展與思維特點的教學方法.

陳題改編的成果也是需要教師與學生再次審視與思考的，學生在重新審視的過程中能夠更加深刻而清晰地理解原題中的條件和結論，從而修正他們“數學學習只是做數學”的錯誤認知.F