談數學中的“元”及其處理策略

☉浙江省三門縣三門中學 方勇兵

解決數學問題的關鍵在于解題突破口的準確攫取，著名專家羅增儒教授所提出的“問題結構差異分析”著眼于問題條件和結論在結構上的差異并探尋一定的手段進行問題的解決.本文將問題中的“元”作為問題分析和解決的突破口進行了數學解題教學的一些思考.

一、“元”的概念

數學問題中的研究對象所包含的某個未知數或已知量、式子、基本圖形單元等等是本文研究所特指的“元”.從其形式上來看，“元”有“數元”和“形元”之分，其中“數元”又包含未知“元”、常數“元”和式“元”這幾種，而“形元”又包含點、直線、三角形等基本的圖形.從“元”在問題中的地位來進行區分，“元”又有主元和非主元之分.本文所要研究的“元”主要是“數元”.

問題1 已知x∈［-1，1］時，x2+2a+1-a≤0，求a的取值范圍.

問題2 已知a∈［-1，1］時，x2+2a+1-a≤0，求x的取值范圍.

問題3 已知x、y為正數，x+y=xy，求xy的最大值.

x，y，a正是上述問題中的“數元”，其中，x和a分別是問題1中的“主元”和“非主元”，問題2相反.xy、x+y則是問題3中的“式元”.

二、“元”的常見分析與處理策略

如何對數學問題中的“元”進行分析和處理是解題的關鍵，其常見方法有以下幾種.

1.消元

解決多元問題時常用的“消元法”是最為常見的一種方式.

例1 已知x、y是正實數，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解：由2x+8y-xy=0知因為x，y是正實數，所以y-2＞0，則x+y=+10=18，當且僅當y-2＞0，即y=6，x=12時，x+y有最小值18.

評注：問題在消元之后轉化成了數學中的常見模型

例2 當S，t取遍所有實數時，求A=（S+5-3|cos t|）2+（S-2|sin t|）2的最小值.

評注：利用公式、定理等進行消元也是數學解題中常用的方法.

2.增元

尋找問題中量的本質聯系還可以通過增設變量來實現，問題本質得以揭示的同時還能使運算更加簡便.

例3 已知橢圓=1，直=1，點O為坐標原點，P為l上一點，射線OP交橢圓于點R，點Q在OP上并滿足|OQ|·|OP|=|OR|2.當點P在l移動時點Q的軌跡方程如何？其軌跡為什么曲線？

圖1

解：由已知|OQ|·|OP|=|OR|2，得（0，1），所以.由P、R位置關又點R在橢圓C上，點P在直線l上，將坐標代入橢圓和直線，得=λ，消去λ，化簡得=1（其中x、y不同時為零）.

故Q點軌跡為以（1，1）為中心、長短半軸分別為且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點.

評注：比值的引入使得二次運算簡化成了一次運算.

例4 已知x＜0，且

評注：未知數的值難求及形式復雜使得解方程與求值產生了困難，但問題中的關系因為增設元的行為得到了清晰的梳理.

3.換元

數學解題中最為常見的換元思想根據換元對象和方法的不同存在整體代換、三角代換、均值代換這幾種不同的方法，問題的本質及其轉化常常在換元中能夠得到很好的揭示.

例5 解方程

解：令則原方程即即A2+B2+2AB-2（A+B）=0，所以（A+B）（A+B-2）=0，因為A≥0，B≥0，且A、B不同時為0，所以A+B＞0，且A+B-2=0，即A+B=2. ①

又易知A2-B2=2， ②

由①②，得A-B=1， ③

評注：考慮題中是關鍵量，利用它們可以來表示其他的量，這種關系通過整體換元而表現得更為明確，問題解決起來更加順利.

例6 已知x、y、z為實數，且求證：x，y，z中必有兩個互相相等.解： 設x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，則已知等式即為0，即tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0.因為（β-γ）+（γ-α）+（α-β）=0，所以tan（β-γ）·tan（γ-α）·tan（α-β）=tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0，即tan（β-γ）=0，tan（γ-α）=0，tan（α-β）=0必有一個成立，即β-γ=k1π，γ-α=k2π，α-β=k3π（k1，k2，k3，∈Z）必有一個成立，即tanβ=tanγ，tanγ=tanα，tanα=tanβ必有一個成立，所以x，y，z中必有兩個相等.

評注：由題中式子特征與兩角和正切公式具備一定的相似性聯想三角代換法使得問題得以轉化是換元法中一個比較典型的用法.

4.主元轉換

解題過程中被予以特殊地位并被特別看重的某個“元”稱之為“主元”，“主元法”的運用往往能夠起到很好的解題效果.

例7 已知a，b，c，d滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：由已知兩式消去a，得（8-b-c-d-e）2+b2+c2+d2+e2=16，即2b2-2（8-c-d-e）b+（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16=0（以b為主元）.

因為b∈R，所以=（8-c-d-e）2-2［（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16］≥0，

即3c2-2（8-d-e）c+（8-d-e）2-2（16-d2-e2）≤0（以c為主元）.

因為c∈R，所以=（8-d-e）2-3［（8-d-e）2-2（16-d2-e2）］≥0，

即4d2-2（8-e）d+（8-e）2-3（16-e2）≤0（以d為主元）.

因為d∈R，所以=（8-e）2-4［（8-e）2-3（16-e2）］≥0，即5e2-16e≤0，所以0≤因此e的最大值為

評注：四個未知數在設定主元之前具有平等的地位，問題隨著主元設置的變化也轉變成了方程、不等式及函數等問題而得到有效解決.

5.非主元分離

“分離參數法”這一典型的非主元分離法在解題中的應用主要是為了將非主元的干擾進行一一的清除.

例8已知a＞0，且a≠1，0＜x＜1，判斷|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

故|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|.

評注：分離參數a的運用使得對a的討論得以規避.分離參數在解不等式恒成立等問題中也經常得到運用，此類問題往往因為構造函數并轉化為函數最值問題得到很好的解決.H