高考數學不等式試題分類與解析

☉安徽省臨泉第一中學 李曉燕

不等式是高考數學的重要考點，也是熱門考點，它具有較強的“連通性”，通過不等式能夠將高中數學中的很多知識聯合起來，然后以一種綜合性問題的方式出現在高考數學的壓軸題當中，對學生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求.研究高考數學不等式部分試題的種類和主要考點，對于提高學生的數學成績，幫助學生學好不等式部分的知識具有重要的意義.

一、高考數學不等式試題類型

通過對近10年全國各地的高考數學試卷的統計發現，高考數學對于不等式的考查主要分為兩個方面：一方面，是直接通過所學的知識來解不等式，另一方面，是借助不等式的工具性，結合其他部分的知識進行考查.對于不等式的考查很少是單純地解不等式或者證明不等式，更多地是與函數、數列、圓錐曲線、導數等部分的知識相結合，通過不等式的工具性來求定義域、單調性或取值范圍等.

（一）不等式的性質判斷及應用

高中數學不等式共有9條性質，分別是對稱性、傳遞性、加法單調性、同向不等式可加性、乘法單調性、同向正值不等式可乘方、正值不等式可乘方、正值不等式可開方和倒數法則.在高考試題中，我們很少發現會有題目單獨考查不等式的性質，它常常與其他知識結合來考查.常見的題型主要有以下幾種：

第一種，利用不等式的性質，就不等式變換中的條件和結論是否是充分、必要條件展開討論.該類題目主要結合實數和三角函數等部分知識來出題.考生在解決這類問題的時候不僅要準確掌握不等式的相關性質，還要對充分必要條件的相關知識也要準確把握，在解題的時候，重點要放在對原有不等試的靈活轉化上.

例1 在給定的下列四個條件中，能夠使a＞b成立的充分不必要條件是（ ）.

（A）a＞b+1 （B）a＞b-1 （C）a2＞b2（D）a3＞b3

對于這道題，不僅考查了學生對充要條件的把握，還考查了同向不等式的可加性和正值不等式的可乘方的性質，結合不等式的性質，可以非常容易地得出正確答案.另外，2016年和2017年上海卷；2015年天津卷和安徽卷；2017年浙江卷、天津卷、重慶卷都出現過類似的問題.

第二種，判斷數值的大小，這一類型的問題一般會與函數和代數式部分的知識相結合，考查學生根據已知條件，借助不等式的性質，將不等式進行轉化，最終求出實數值的能力.

例2 如果實數x，y同時滿足3≤xy2≤8，4的最大值是多少？

在解決這類問題的時候，首先通過設元的方式對原式進行變形，設，變形后得出的最大值就是要求出b2的最大值和a的最小值，這樣就可以根據原式中給出的定義域，結合不等式的倒數性質，求出原函數的最大值.

第三種，判斷不等式是否成立，這一類問題先給出一定的不等式條件，然后借助不等式的性質，結合函數和實數的相關知識，來判斷給出的不等式是否成立.

例3 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么下列不等式一定成立的是（ ）.

在解決這一類問題的時候，要先把握好要考查的內容，該題主要考查不等式同向同值不等式可乘性的性質，因此，可以根據題目中給定的在已知條件進行變形，由于c＜d＜0，a＞b＞0，那么就可以推出.2016年全國理科數學試卷第8題就是這一類型，它是結合實數取整的性質來進行求解.

（二）求解不等式

求解不等式除了直接求不等式以外，還會跟函數、導數等知識相結合來考查不等式的解法.因此，大體上可以分為兩類：直接解簡單不等式和其他知識背景下解不等式.直接解不等式類問題主要出現在試卷中的選擇題或填空題部分，可以通過同解變形的方式來完成.

例4 求不等式x2+x-2的解集是多少？

對于這一類問題，可以利用公式法或者圖像法來進行求解，是不等式求解中的基礎問題.另外，還有解分式不等式、解無理不等式、解函數不等式、解分段不等式、解絕對值不等式等，在解分式不等式的時候可以將原不等式轉化為同解變形式或不等式組來求解，在約分的過程中要注意變形的等價性；在解絕對值不等式的時候，去掉絕對值后要對原式進行分類討論，有其中含有參數的絕對值，一定要對參數進行分類討論.

其他背景下考不等式的解法主要有：函數、集合、導數、充要條件、方程、三角函數等知識背景下求解不等式.在解決這類問題時，需要借助不等式的相關知識，從這些背景中抽象出不等式模型，然后再進行求解.

例5函數f（x）=lg（x-2）的定義域是多少？

解決這類問題就要借助背景知識的相關性質，得出x-2＞0，最終求出函數f（x）=lg（x-2）的定義域.

（三）證明不等式

在高考數學中，證明不等式常常是以壓軸題的形式出現，一般主要有以下幾種形式：直接證明一般不等式；證明數列不等式；證明函數不等式.其中，出現頻率最多的就是證明數列不等式，下面就列舉證明數列不等式的例子.

例6 設數列{an}的前n項和為Sn，其中a1=1

（1）求a2的值是多少？

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）證明：一切正整數條件下，都有

在解決數列不等式的時候，要根據不同的數列不等式選擇不同的方法，其主要方法有：放縮法，就是根據不等式的性質，對不等式進行放縮，該題的第三問就需要使用放縮法進行求解；比較法、遞推法、構造函數法、歸納法、分類討論法、性質法、定積分法等.

（四）應用不等式

應用不等式主要包括線性規劃、不等式恒成立、最值和取值范圍類問題，其中線性規劃類問題是近幾年高考數學經常出現的考點.線性規劃類問題除了直接考查學生求目標函數的最值以外，還會結合數列、幾何問題來考察學生的綜合解題能力.

例7平面中有一點集B=（{x，y）|(x-1)2+(y-1)2≤1}，那么A∩B所表示的圖形的面積是（ ）.

通過對近幾年的高考數學試題統計來看，對于線性規劃問題解題的重點在于建立線性模型，尤其是當遇到那些不能夠直接給定約束條件的題目，要將它們進行轉化，建立起標準的線性規劃模型.

二、高中數學不等式復習建議

首先，要重視數學思想的應用.通過對近些年高考數學不等式部分的考題分析不難看出，每年的題目類型都是在不斷變化的，但是這些變化怎么變都離不開“數學思想”，只要理解了題目中蘊含的數學思想，就能夠很容易的解決這一問題.在教學中要重視劃歸與轉化思想、數形結合思想和分類討論的應用，在同解變形的過程中就是利用了劃歸與轉化這數學思想，將無理不等式、分式不等式轉化為一元二次不等式或一元一次不等式.借助數形結合的思想，能夠在解一元二次不等式時很快的求出解集，能夠在解絕對值不等式時避免數軸分類錯誤的產生.借助分類討論的思想，能夠縮小題目討論的范圍，簡化題目.

其次，要注重解題方法的掌握.在證明不等式時，可以采用歸納法、放縮法、分析法等，在解決恒成立問題時，可以采用分離參數法等，在平時的教學中就要注重這些方法的講授.H