高考數列問題的解題方法與技巧

☉江蘇省泰興中學 錢繼兵

數列是由一列有序的數組成的集合，其定義域為正整數集以及它的有限子集.在高中數學中，數列與其他知識點有很強的聯系性，例如函數、方程、簡易邏輯、幾何、不等式等內容.在大學學習的高等數學中，例如差分方程、級數等知識點也是建立在數列之上的.除此之外，數列還與我們的生活息息相關，在人口增長、分期付款等問題上都可以利用數列的知識進行解決.由此可見，數列既是學生數學學習中的重點，同時也是連接理論學習和生活實踐的紐帶，學好數列知識對學生有著非常重要的意義.

一、數列部分的高頻考點

筆者對近些年高考試題的分析后發現，數列知識的考查是高考中的一個重點，不僅涉及填空題，而且很多壓軸題的解題都與數列知識有關.數列分等差數列和等比數列.在等差數列中，學生應重點掌握等差數列的概念、等差數列的通項公式與求和公式、等差數列和一次函數之間的關系這些知識點并知道如何將等差數列和實際應用結合起來進行解題；在等比數列中，除了等比數列的概念、通項公式及求和公式這些基本概念之外，學生還應當熟悉等比數列和指數函數之間的關系并會運用等比數列解決實際問題.高考中常考的知識點有：（1）數列的通項公式.這個考點的考法主要是對公式的考查，可以給出遞推公式讓考生求通項公式，也可能給出第n項與前n項和讓考生求通項公式，通常這一類題目的難度設置為中等水平.（2）求數列的前n項和.這個考點主要是考查學生對求和公式的掌握程度.（3）數列的性質.這個考點難度的設置處于中等水平.（4）數列與函數、不等式的綜合問題.這一類題目的難度較高，同時分值較大，在壓軸題中比較常見.

二、數列問題的常見題型及解法

（一）數列通項公式的求法

通項公式是數列部分的基礎知識也是核心知識，數列許多性質的研究是建立在通項公式的基礎之上的.高中數學對數列通項公式的考查比較常見，主要是以已知第n項與前n項和之間的關系求通項公式和給出遞推關系求通項公式這兩種形式出題來考查學生.

1.觀察歸納法求通項公式

例1 寫出下列各個數列的一個通項公式：

（4）3，33，333，3333，….

解：（1）通過觀察發現這個數列各項是從4開始的偶數，因此通項公式為an=2n+2（.2）通過觀察可以發現，每一項的分母都是比分子大1，而分母是2的n次冪的形式，因此該數列的通項公式可以寫成3）該數列帶有交替的正負號，因此要在通項公式中加入（-1）n+1這個因式，再將原數列中的符號去掉，進行觀察.可以將第二這樣可以看出分母全部為正奇數：3，5，7，9，11，13…，分子可以寫成12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，…，因此該數列的通項公式為（4）這個數列可以寫成…，分子可以寫成（10-1），（102-1），（103-1），（104-1），…，而分母都是3.因此通項公式可以寫成的形式.

點評：在做這一類型的題目時，要仔細觀察數列的前幾項，把握好數列以下幾個方面的特點：（1）數列分式中分子、分母的變化規律；（2）相鄰項之間的相同點和不同點；（3）拆項之后相鄰項之間的變化規律；（4）正負號變化的的特點.對這些特點進行觀察并歸納總結對于掌握這一類型題目的解法非常有幫助.

2.遞推法求通項公式

例2 已知數列{an}滿足an=2an-1+3（n≥2）且a1=1，求數列{an}的通項公式.

解法1（遞推法）：an=2an-1+3=2（2an-2+3）+3=2［2（2an-3+3）+3］+3=…=2n-1+3（1+2+22+…+2n-2）2n+1-3.

解法2（構造法）：設an-1+c=2（an+c），即c=3.因此數列{an+3}的首項為a1+3=4，公比為2，則an+3=4·2n-1=2n+1，則an=2n+1-3.

點評：這種遞推法和構造法適合an+1=pan+q（p≠1）的類型.

（二）數列前n項和的求法

數列求和同時也是數列問題中常出的題型之一，對數列進行求和講究一定的方法和技巧，但這些技巧都是建立在求和公式的基礎之上的.

1.公式法

例3 已知的前n項和.

解：由已知條件l，從而解得x=由等比數列的求和公式得

2.錯位相減法

在求等比數列前n項和時，如遇到形如求{an·bn}這一類形式的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差數列和等比數列時可以運用錯位相減法進行靈活地化簡、簡便解題.

例4求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）.

解：由題意可知，{（2n-1）xn-1}的通項公式是由一個等差數列{2n-1}和一個等比數列{xn-1}相乘得到的.設xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn（設置錯位）.將Sn和xSn的求和式子相減能夠得到（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4…+2xn-1-（2n-1）xn（錯位相減）.由等比數列的求和公式得（1-x）Sn=1+

3.反序相加求和法

顧名思義，倒序相加求和法就是指將數列以相反的順序進行排列，并和原來的數列進行相加，從而可以得到n個（a1+an）.

例5 求Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：原式Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，并將該式以相反的順序進行排列：Sn=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°，又由三角函數的性質可知，sin x=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，從而將兩式相加，得到2Sn=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+cos289°）=1+1+1+…+1=89.因此解得Sn=44.5.

4.裂項相消法

裂項相消法是指在對數列進行求和的過程中，將數列的通項公式拆分成兩項差，這樣在計算的過程中能夠產生正負項的相互抵消，從而化簡計算，只需計算最終剩下的幾項便可以對整個復雜的數列進行求和.這種方法適用的范圍比較廣，但必須要保證將等差數列拆分后各個項都不是0，只有這樣才能利用等差數列公式d=an+1-an進行求和.裂項相消法能夠很好地體現出數學中分解與組合的數學思維.

在利用裂項相消法對數列進行求和時，可以按照下列步驟進行化簡和計算：（1）首先對數列的通項公式進行分析，然后有規律地將其分解成若干項，分解時一定要注意這些項能夠相互抵消.（2）對各個項進行通項，使得它們的值為1，2，3，…n，相加從而得到Sn.（3）將式子中相互抵消的項刪去，便可以通過剩下的幾項求得數列的和.在整個解題過程中要保持時刻清醒，要弄清哪些項是要消去的，哪些項是要保留的.

例6 已知數列{an}：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，求數列的前n項和.

三、逆向思維在數列問題中的應用

在高中數學中，逆向思維是非常重要的一種數學思維，當學生解不出一道題時可以運用逆向思維換一個角度進行思考，在數列部分知識的考查中也常用到逆向思維.

例7 已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3n+3，求{an}的通項公式.

解： 當n=1時，a1=S1=3，當n≥2時可以得到an=3n-1.

因此，當n=1時，a1=3；當n≥2時，an=3n-1.

點評：已知數列{an}的前n項和求通項公式，可以利用數列最基本的性質即an=Sn-Sn-1（n≥2）進行巧妙化簡，從而快速解出{an}的通項公式.

數列在高考中占有非常重要的地位.數列問題的解題方法和技巧還有很多，以上分析是筆者教學的一點心得，管窺之見，權作引玉之磚.H