反思結果，剖析過程，探求本質
——高中數學解題反思三部曲

☉浙江省慈溪赫威斯育才高級中學 胡海杰

數學解題是一種實踐性的技能，要在該過程中提高解題能力，依靠大量的機械化、重復性的練習往往是不夠的，忽略問題本質，忽視問題的內在聯系很難取得學習成效.而圍繞問題開展反思是一種十分有效的學習方式，分析結果，深入過程，探求本質，可以充分挖掘知識精髓，優化學生的學習方法和思維過程.

一、反思解題結果

學生在解題時不可避免地會因忽略一些關鍵條件而導致錯解，錯解的出現并不可怕，引導學生反思錯誤，理解錯誤出現的原因，幫助學生從根本上強化知識即可利用錯誤收獲常規教學中難以獲得的意外之喜.

例1 已知拋物線C：x2=4y，其上存在一長度為3的動弦AB，求AB的中點Q到準線l的最小距離.

錯解：兩點之間線段最短，則過點A，B，Q作準線l的垂線，設垂足分別為M，N，P，則AB的中點Q到準線l的距離應為|當且僅當A、B、F共線的時候，距離取得最小值|PQ|min=，所以AB的中點Q到準線l的最小距離為

反思：學生簡單地認為依據“兩點之間線段最短”建立關于距離的關系式求解的想法是錯誤的，題設條件中A，B，F三點共線的情形不存在，即距離關系不等式的等號不具備成立的條件，拋物線通徑2p=4，|AB|=3＜2p，動弦不會通過焦點F.如若將弦AB改為6，上述解題思路則正確，因此時|AB|=6≥2p，動弦具備通過的條件.利用“兩點之間距離最短”的性質來進行解題，需要保證動弦的取值不小于通徑，即存在三點共線的情形.

事實上，對于該題的正確解法，需要設出動弦AB所在的直線方程y=kx+b，與拋物線方程聯立，根據Δ＞0來取得限制條件，k2+b＞0，然后利用韋達定理建立求解弦長|AB|的關系式，從中轉化出b與k的關系，即k2，與限制條件聯合可得由此可得動弦AB的中點到準線的距離為求導分析可知其在區間［1，+∞）上單調遞增，則k=1時，取得最小值

造成上述錯解的主要原因是忽視關鍵信息，思維邏輯有缺陷，利用三點共線求距離最短的策略本質上沒有問題，但實現的條件沒有經過嚴謹的論證，即討論弦長是否大于通徑.對錯誤的透徹剖析，正解引導不僅可以提升學生解題能力，而且引導糾錯的過程可以幫助學生形成正確的思維過程，這才是反思解題結果的關鍵.

二、反思解題過程

學習解題是學生鞏固知識技能的一種重要方式，對學生解題的過程進行反思是解題反思教學的關鍵環節，反思內容可以包括以下幾點：1.評估現有解題方法的優缺點；2.圍繞問題進行思路探究，思考是否存在更好的解題策略；3.反思解題過程中用到了哪些推理依據，涉及哪些數學思想.

分析：常規的思路是將已知cos進行展開，可得，然后結合sin2α+cos2α=1即可獲得cosα和sinα的值，利用二倍角公式可求出sin2α和cos2α，最后代入可求解.

反思：上述常規方法學生很容易想到，但是計算量較大，尤其是求解二元一次方程組時會有些復雜，容易出錯，對解題過程進行反思，可以轉化解題思路，優化解題過程.

思路1：同樣是從已知條件出發來考慮，但是不再直接展開，而是觀察目標角比對已知角，分析兩者之間存在的聯系，通過拼湊的方式即可建立聯系，即2，然后借助二倍組合運用的三角公式可最終求解，求解過程中對于一些已知角的三角函數值可以直接代入.

思路2： 對于展開的已知條件，如注意到sinα和cosα前面的系數相同，則可以進一步將其整理為從整體思想來思考，將其遷移到求解sinα-cosα的值上，從而聯立方程即可分別求出sinα和cosα的值，最后與常規方法一樣，先利用二倍角公式求出sin2α和cos2α，最后再將其代入展開的co中即可.該種方式與常規解法相比，雖然都需要求解二元一次方程組，但極大地減小了計算量，更為簡捷.

上述案例是在學生完成常規解題后開展的過程反思，反思已知條件與目標問題之間的關系，從不同的角度來思考題干信息，嘗試利用不同的數學思想來解決問題，并對方法的優劣進行了比較，最終找到更為簡捷的解題思路.通過對問題的分析反思，有效拓寬了學生的解題思維，促進知識之間的聯系重組，反思的過程同樣可以調動學生探究的主動性.

三、反思問題本質

高中數學問題形式多樣、千變萬化，反思問題的本質就顯得尤為重要，尤其是在反思中深入了解問題產生的實質，從中概括出問題存在的一般形式，總結解決問題的通性通法或實質結論，反思問題的另一個重要意義是基于現有問題進行的拓展抽象，從中衍生出形異而質同的問題，加深對于問題本質的認識.

例3 已知橢圓E：=1（a＞b＞0），其長軸長為4，離心率為0.5，直線l經過點（0，-2），與橢圓E交于A，B兩點，與x軸交于點P，其中點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q，如圖1所示.

（1）試求橢圓E的方程.

（2） 探究是否為定值，如果是求出定值；若不是，請說明理由.

圖1

解：（1）易求橢圓的方程（過程略）

（2）由意題可知，直線l的斜率存在且不為零，設l的方程為y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），則，令y=0可得Q的橫坐標聯立直線l與橢圓的方程整理可得（3+4k）2x2-16kx+4=0，則x1+x2=帶入xQ中，解得xQ=2k，·（2k，0）=4，所以的定值為4.

反思：一般解析幾何題存在一些問題和解法上的通性，在解決問題后開展深層次的反思，反思問題的本質是十分必要的.

結合問題條件和結論的數量特征、關系特征，定點坐標為（0，-2），結論定值為4，半長軸a=2，其中可能存在一定的聯系，可嘗試從以下幾點進行猜想，探究問題本質：1.結論一般化后是否依然成立；2.條件和定點一般化后是否依然成立.依據上述猜想可設計如下問題：

問題1：已知橢圓E（a＞b＞0），如果直線l經過點（0，-a），與橢圓E交于A，B兩點，與x軸交于點P，其中點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q，探究是否為定值.

問題2：已知橢圓E（a＞b＞0），如果直線l與橢圓E交于A，B兩點，與x軸交于點P，其中點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q，探究O—→P·O—→Q是否為定值a2.

另外對于問題可以進行拓展性反思，其他條件不改變，將橢圓換為雙曲線，探究其結論是否依然成立.

問題3：如圖2，已知雙曲線（a＞0，b＞0），如果直線l與雙曲線E交于A，B兩點，與x軸交于點P，其中點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q，探究是否為定值a2.

基于問題本質開展的反思可以幫助學生深刻理解問題實質.上述從定點問題入手，反思已知條件與待求結論之間存在某種聯系，將特殊問題向一般化轉變，從而得出具有普遍適用的結論，并且對問題進行了拓展，由橢圓結論推廣到雙曲線上，完成了知識的重要遷移.

圖2

四、反思中的思考

中學生具有很強的學習能力和創造能力，單純的題海戰術并不能顯著提高學生的解題能力，引導學生開展解題反思是十分必要的教學活動，上述講到的解題反思三部曲，即反思解題結果、解題過程、問題本質，不應該單獨開展，三者之間存在著緊密的聯系，結合使用往往可以取得成倍的學習效果.另外，學生的學習過程是一個逐步深入的過程，在開展反思時應從問題的簡單表象入手、遞進到思維過程，深入到其中的本質，從問題的不同角度、不同解題策略來引導學生開展全方面的思考，可以結合一題多解、多題一解的模式來反思問題，在反思中培養學生思維的發散性和創造性.

解題反思過程中需要注意的是不能采取灌輸式的講法，不顧及學生的思維過程，忽略學生在解題反思中的主體地位.教師應給學生留足思考的空間，結合學生的實際情況，來設計相應的反思環節，既要注重問題的優解方法，又要合理把握對問題的實質拓展.

五、結束語

中學時期正是培養學生自主能力、數學思維能力、空間想象能力的重要階段，提升學生能力需要與解題反思充分結合.從解題結果、解題過程、問題本質三方面來開展學習反思，借助反思的學習手段，幫助學生解決問題，優化方法，把握知識本質，在反思中培養學生的思維品質，提升學生的核心素養.需要注意的是解題反思的過程中要給學生留足思考的空間，尊重學生的主體地位，讓學生充分享受學習的快樂.

1.陳墨迪.反思本質，追根溯源——談一道題的延伸拓展［J］.中學數學（上），2017（8）.

2.朱利鋒.反思解題方法，提升思維靈活性——以反思三角函數解題方法為例［J］.中學數學（上），2018（1）.

3.郎建林.探究題目“錯解”，發現動弦“性質”［J］.中學數學教學參考，2017（9）.

4.孫世林.一道高考題的解法探究、孌式及反思［J］.中學數學教學參考，2017（3）.H