同底數的指數函數和對數函數圖像位置關系探究

☉湖北省武漢市武漢中學 劉志江

三個函數y=ax、y=x和y=logax有哪些位置關系？當a＞1時，函數y=ax的圖像恒在直線y=x的上方嗎？答案是否定的.事實上，對于y=2x，y=3x的圖像來說，它們在直線y=x的上方，但是，像y=1.2x，當x=2時，y=1.22=1.44＜2，即可知f（x）=1.2x不是恒在直線y=x的上方.下面我們利用對函數y=ax、y=logax與y=x的圖像之間的位置關系進行探討.

一、函數y=ax與y=x的圖像的位置關系

令f（x）=ax-x，則f′（x）=axln a-1.

當0＜a＜1時，f′（x）=axln a-1＜0，函數f（x）=ax-x在（-∞，+∞）上是單調減函數，因為f（0）=a0-0=1＞0，f（1）=a-1＜0，所以f（0）f（1）＜0，故在區間（0，1）上有且僅有一個零點，即函數y=ax與函數y=x在區間（0，1）有且僅有一個交點.當a＞1時，若f′（x）=axln a-1=0，則x=-loga（ln a）存在，此時f（-loga（ln a））=a-loga（lna）+loga（ln a）=logae+loga（ln a）=loga（eln a）.

當a＞1時，列表如下：

x（-∞，-log a（ln a））-log a（ln a）（-log a（ln a），+∞）f′（x）=ax ln a-1-0+f（x）=ax-x減函數最小值log a（eln a）增函數

若最小值log（aeln a）＞0，即eln a＞1，得這就是說時，函數（fx）=ax-x沒有零點，即y=ax與y=x相離；

若最大值log（aeln a）=0，即eln a=1，得，這就是說當時，函數（fx）=ax-x只有一個零點，即y=ax與y=x相切，此時x=-log（aln a）=e，即切點為點（e，e）；

若最大值log（aeln a）＜0，即eln a＜1，得這就是說當時，函數（fx）=ax-x有兩個零點，即y=ax與y=x相交.

二、函數y=log ax與y=x圖像的位置關系

令g（x）=logax-x，其中x∈（0，+∞）.

因為g（′x），所以討論如下：

1.當0＜a＜1時，＜0，函數g（x）=logx-x在a（0，+∞）上是單調減函數，由于g1-a＞0，所以g，故在區間）上有且僅有一個零點，即函數y=logax與y=x在區間有且僅有一個交點.

2.當a＞1時，則x=log e＞0存在，a

當a＞1時，列表如下：

x （0，log a e） log a e （log a e，+∞）g′（x）=log a e x-1 + 0 -g（x）=log ax-x 增函數最大值log a（ ）1 e log a e 減函數

（1）若最大值這就是說當時，函數g（x）=logax-x沒有零點，即函數y=logax與y=x的圖像相離；

（2）若最大值這就是說當時，函數g（x）=logax-x有一個零點，即函數y=logax與y=x的圖像相切，此時x=logae=e，切點為點（e，e）；

（3）若最大值，這就是說當時，函數g（x）=logax-x有兩個零點，即函數y=logax與y=x的圖像相交.

三、函數y=ax與y=log ax的圖像之間的位置關系

由于函數y=ax與y=logax互為反函數，所以由以上的討論可知：

2.當時，函數y=ax與y=logax的圖像都和直線y=x相切于點（e，e）.

3.當，由以上討論可知，函數y=ax與y=logax的圖像有兩個交點，并且這兩個交點都在直線y=x上.

4.當0＜a＜1時，函數y=ax與y=logax的圖像之間有怎樣的位置關系？它們有且僅有一個交點嗎？為此，我們構造函數如下：

令h（x）=ax-logax，其中x∈（0，+∞）.

即xax-（logae）2=0.

為了判斷上式根的個數，即判斷出方程logax+x=loga（logae）2根的個數，為此再次構造函數k（x）=logax+x-

當0＜a＜1時，列表如下：

x （0，-log a e） -log a e （-log a e，+∞）k′（x）=log a e x +1 - 0 +k（x）=log ax+x-log a（log a e）2減函數最小值-log a（-elog a e）增函數

所以h（x）=ax-logax在x∈（0，+∞）上是增函數.

因為h（a）=aa-logaa=aa-1=aa-a0＜0，h（1）=a-loga1=a＞0，所以h（a）h（1）＜0.

因此，時，函數h（x）=ax-logx在x∈（0，+∞）a上有且僅有一個零點，即函數y=ax與函數y=logax在區間（a，1）內有一個交點.

5.下面討論當0＜時y=ax與函數y=logx交點情況：a

函數k（x）=logax+x-log（alogae）2與x軸有兩個交點，設兩個交點分別為A（x1，0）與B（x2，0），0＜x1＜-logae＜x2，所以h（x）=ax-logax在x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）上是增函數，在（x1，x2）上是減函數，所以在x=x1處，函數h（x）=ax-logax有極大值，在x=x2處，函數h（x）=ax-logax有極小值.

由于x→0，h（x）=ax-logax＜0，x→+∞，h（x）=ax-logax→+∞；

由于函數h（x）在（x1，x2）上是減函數，

所以h（x1）＞h（-logae）＞h（x2），

即h（x1）＞0＞h（x2），因此函數y=h（x）在x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）上各有一個零點，在區間（x1，x2）也有一個零點，從而得到：

當時，在區間（0，x），區間（x，x）和（x，+∞）1122上各有一個交點，這就是說函數y=ax與函數y=logax在區間（0，x1），區間（x1，x2）和（x2，+∞）各有一個交點，其中在區間（x1，x2）內它們的交點在直線y=x上，因此0＜函數y=ax與函數y=logax有三個不同的交點.

綜上所述，我們有如下結論：

a的范圍 0＜a＜1 111 1＜a＜e e a=e e a＞e e y=ax與y=x 一個交點 兩個交點 一個交點 沒有交點y=log ax與y=x 一個交點 兩個交點 一個交點 沒有交點

a的范圍 0＜a＜ 1 e 1 1 1 e 1 ee≤a＜1 1＜a＜e e a=e e a＞e e y=ax與y=log ax 三個交點 一個交點 兩個交點 一個交點 沒有交點

1.錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學.北京師范大學出版社，2000（3）.

2.宗敏，對數函數與指數函數的圖像的交點個數的再探討.考試周刊，2010（3）.H