解極值點問題巧設構 覓新函數性質問題破

☉四川省巴中中學 涂盛剛

一、極值點偏移的含義

我們知道，若函數（fx）對定義域內任意自變量x都有（fx）=（f2m-x），則函數（fx）關于直線x=m對稱，且x=m必為單峰函數（fx）的極值點.如二次函數（fx）為單峰函數，其頂點就是極值點x0，若（fx）=C的兩根的中點為則剛好有即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.

若等變為不等，則極值點偏移：若單峰函數（fx）的極值點為m，且函數（fx）滿足定義域內x=m左側的任意自變量x都有（fx）＞（f2m-x）或（fx）＜（f2m-x），則函數（fx）極值點m左右側變化快慢不同.故單峰函數（fx）定義域內任意不同的實數x1，x2滿足（fx1）=（fx2），則與極值點m必有確定的大小關系：

若m＜，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如圖1，函數g（x）的極值點x=1剛好在方程g（x）=e的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.

圖1

二、例題分析

例1已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明x1+x2＜2.

點撥：本題是典型的極值點偏移問題，需先分析出原函數的極值點，找到兩個根的大致取值范圍，再將其中一個根進行對稱的轉化變形，使得x與2-x在同一單調區間內，進而利用函數的單調性分析.

解：（1）（0，+∞）（略）.

（2）由（1）知，f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

由f（x1）=f（x2）=0，可設x1＜1＜x2.

構造輔助函數F（x）=f（x）-f（2-x），則

F′（x）=f′（x）+f′（2-x）=（x-1）（ex+2a）+（1-x）（e2-x+2a）=（x-1）（ex-e2-x）.

當x＜1時，x-1＜0，ex-e2-x＜0，則F′（x）＞0，得F（x）在（1，+∞）上單調遞增.

又F（1）=0，故F（x）＜0，（x＜1）.

即f（x）＜f（2-x），（x＜1）.

將x1代入上述不等式中得f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

故x2＜1，2-x1，x1+x2＜2.

歸納小結：用對稱化構造的方法解極值點偏移問題一般情況下可分為以下三步.

第一步：求導，獲得函數f（x）的單調性、極值情況，作出函數f（x）的大致圖像.由f（x1）=f（x2）得到x1，x2的取值范圍（用到數形結合的思想方法）.

第二步：構造輔助函數，當結論為x1+x2＞（＜）2x0時，構造函數F（x）=（fx）-（f2x0-x）；當結論為x1·x2＞（＜）時，構造函數F（x）=（fx）；然后對F（x）求導，限定范圍（x1或x2的范圍），判定符合，得不等式.

第三步：代入x1或x2，利用f（x1）=f（x2）與f（x）的單調性證明最終結論.

口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓單調，單調產生不等式，賦值其中得結論.

例2已知函數f（x）=x e-x（x∈R），如果x1≠x2且f（x1）=f（x2），求證x1+x2＞2.

證明：第一步：因為f′（x）=（1-x）e-x.

令f′（x）=（1-x）e-x=0，得x=1.

所以f（x）在區間（-∞，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減.

函數（fx）在x=1處取得極大值

設0＜x1＜x2，于是數形結合根據f（x）的圖像可得0＜x1＜1＜x2.

當x2≥2時，不等式x1+x2＞2顯然成立.

當x2＜2時，欲證明x1+x2＞2即證x1＞2-x2.

因為1＜x2＜2，所以0＜2-x2＜1.

第二步：構造輔助函數F（x）=（fx）-（f2-x），x∈（1，2），則F（′x）=f（′x）-f（′2-x）=（1-x）（

當1＜x＜2時，F′（x）＞0，即F（x）在（1，2）上單調遞增.

所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）-f（2-x）＞0，x∈（1，2）.

第三步：由于1

又因為f（x1）=f（x2），所以f（x1）＞f（2-x2）.

又因為f（x）在（-∞，1）上單調遞增，

所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2.

例3 已知函數f（x）=x ln x的圖像與直線y=m交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），求證：

證明：第一步：由f（′x）=ln x+1易知，（fx）在）上單調遞增.

當0＜x＜1時，f（x）＜0；當x＞1時，f（x）＞0.

設0＜x1＜x2，于是數形結合根據（fx）圖像可得

圖2

（1）當a=2時，求過點P（0，2）與y=（fx）相切的直線方程；

（2）當y=（fx）存在兩個不同零點x1，x（2x1＜x2）時，求證：x1x2＜x1+x2.

解：（1）（待定切點法）易得切點為（1，e），過點P的切線方程為y=（e-2）x+1.

（2）巧構造，構造非對稱函數證明.

f（′x）=ex-a，若a≤0，則f（′x）＞0，單調增函數不可能有兩個不同零點.

當a＞0時，令f（′x）=0，得x=ln a.

于是f（′x）＜0，x∈（ln a，+∞）時f（′x）＞0.

所以（fx）在（0，ln a）上單調遞減，在（ln a，+∞）上單調遞增，x=ln a處取極小值（fln a）=a（2-ln a），要使（fx）存在兩個不同的零點，需且只須（fln a）＜0，即ln a＞2，亦即a＞e2，結合（fx）的圖像可得x1＜ln a＜x2.

欲證x1x2＜x1+x2.

只需證ex1+x2≤a2，即需證明x1+x2≤2ln a即可.

令F（x）=（fx）-（f2ln a-x）（1＜x＜ln a），

故F（x）在（1，ln a）上單調遞增.

所以F（x）＜F（ln a）=0，

即f（x）＜f（2ln a-x）在x∈（1，ln a）上成立.

令x=x1，得f（x1）＜f（2ln a-x1）.

又f（x1）=f（x2），所以f（x2）＜f（2ln a-x1）.

結合f（x）在（ln a，+∞）上遞增，故x2＜2ln a-x1.

即x1+x2＜2ln a，原命題得證可得x1x2＜x1+x2.

構造函數，借助其單調性、對稱性等性質和極值、最值等特點解決原問題，是解決函數與導數綜合問題的常用方法.概括地講“尋覓函數性質特征，巧設構造突破難點”，是解決極值點偏移問題的有效方法.H