直觀中積累經(jīng)驗 無形中涵養(yǎng)素養(yǎng)
——例談借助“幾何直觀”落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

江蘇揚州市三元橋小學(xué) 李冬芳

新課程標(biāo)準(zhǔn)新增添了“幾何直觀”這個核心概念。關(guān)于“幾何直觀”，新課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象。史寧中教授認(rèn)為：幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。我國心理學(xué)家朱志賢認(rèn)為，小學(xué)生思維的基本特點是：從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，這時的抽象思維很大程度上仍有具體形象性。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要在內(nèi)容和形式的組織上進(jìn)行具象的支持，借助幾何直觀可使學(xué)生更有品質(zhì)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、借助“幾何直觀”支持概念表征

康德說：人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。教學(xué)中可以借助幾何直觀描述生活中紛繁復(fù)雜的問題及事物之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀背后隱藏的抽象意義，并通過操作直觀圖形的經(jīng)驗，抽象出相同的結(jié)構(gòu)形式，即數(shù)學(xué)概念。抽象和概括是密不可分的，是思維過程的核心。由于小學(xué)生知識經(jīng)驗的限制，他們的抽象概括能力還不強，對這一能力的培養(yǎng)需要遵循他們的認(rèn)知規(guī)律，由形象入手，逐層地抽象概括，獲得正確的概念表征。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊 “認(rèn)識幾分之一”，學(xué)生首先從分蛋糕入手，由問題：一個蛋糕的一半可以用哪個數(shù)表示，過渡到用圓形代替蛋糕分出。然后，用自己喜歡的方法表示，當(dāng)學(xué)生用三角形、長方形、正方形、圓形折出，有的甚至畫線段表示時，教師提出核心問題：為什么同樣是卻會有這么多形狀、大小不一樣的方法？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)概念的核心：都是表示把一個物體平均分成4份，表示其中的一份，就是。接著出示反例和正例，然后把其中一個正例圖形放大，放大后的圖形還能表示嗎？發(fā)現(xiàn)：圖形無論怎么放大和縮小，部分與整體的關(guān)系不變，還是表示。在自主操作中分?jǐn)?shù)的概念在具體、半具體、半抽象和抽象之間鋪排，從而獲得正確的概念表征。

上述教學(xué)中，教師在組織學(xué)生概括“分?jǐn)?shù)”這一數(shù)學(xué)概念時，就給學(xué)生提供了長方形、正方形、圓形、三角形等豐富的感性材料，并且引導(dǎo)他們親自參與抽象概括的過程，借助“幾何直觀”在頭腦中抽象出分?jǐn)?shù)的概念表征，再用數(shù)學(xué)語言表述。這樣，學(xué)生頭腦中分?jǐn)?shù)概念的獲得就是有意義的，概念的保持會更加持久。

二、借助“幾何直觀”豐盈算理表述

計算教學(xué)中借助“幾何直觀”幫助學(xué)生理解算理，最常用的思想方法就是數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合可以把數(shù)字、圖形、算理自然溝通，使抽象的算理有了生命，變得直觀生動。學(xué)生借助直觀圖形并越過圖形，學(xué)會用“圖形語言”來思考問題，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，由此積累“幾何直觀”經(jīng)驗，發(fā)展直觀思維能力。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法豎式”，先讓學(xué)生在小方塊圖上涂一涂，分別表示個位2×14，十位上1×14的結(jié)果。 再剪一剪，按數(shù)位對齊擺放，說一說計算步驟。然后，借助課件演示平移、旋轉(zhuǎn)一個百和4個十，讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識動態(tài)化，抽象的算理形象化、具體化。最后，讓學(xué)生說一說算理。（如圖1）

圖1

上述教學(xué)中，通過涂一涂、剪一剪、說一說以及課件演示等多形式、多感官參與感知，運用觀察、操作、演示等方法，把視覺、運動覺等協(xié)同起來充分感知，并滲入抽象思維成分，將抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換，將看不見的抽象算理變得直觀形象，直觀圖形與數(shù)學(xué)語言、符號語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，豐盈了學(xué)生表述算理的經(jīng)驗，從而解決了數(shù)學(xué)問題。

三、借助“幾何直觀”拓展解題思路

徐利治先生提出，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。由此，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，對拓展解決問題的思路有益。

如蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊第45頁思考題：兩個長5厘米、寬2厘米的長方形，重疊成右邊的圖形，你能算出這個圖形的周長嗎？（如圖2）

圖2

學(xué)生用兩張長方形紙重疊操作，發(fā)現(xiàn)重合了4條2厘米的寬，只要計算出兩個長方形的周長，再減去重疊的部分。 得出解法一：5＋2=7（厘米），7×2=14（厘米），14×2=28 （厘米），2×4=8 （厘米），28-8=20（厘米）。畫出直觀圖，學(xué)生會把6條邊的長加起來。得出解法二：5-2=3 （厘米），5＋2＋3＋3＋2＋5=20 （厘米）。如果平移兩條邊，圖形就轉(zhuǎn)化成規(guī)則的正方形，得出解法三：5×4=20（厘米）。 通過對比，可以發(fā)現(xiàn)在頭腦中把圖形動起來的解法三，更巧妙、簡潔。

在這個案例中，教會學(xué)生合理運用直觀圖，分析題意時把抽象的數(shù)學(xué)語言與形象的直觀圖形結(jié)合起來，加上想象，把圖形動起來，抽象思維與形象思維相結(jié)合，思維超越圖形，逐漸靈動起來，問題便迎刃而解，且解法更簡捷。

四、借助“幾何直觀”探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律

借助“幾何直觀”，學(xué)生會把自己觀察到的和學(xué)過的知識相互聯(lián)系起來，通過思考、想象等思維活動，猜出可能的結(jié)果和論證思路，這是合情推理。研究現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)問題，通常需要把抽象的研究對象形象化，借助圖形把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化、簡單化和條理化，觀察、思考、分析之后，產(chǎn)生合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊《和的奇偶性》一課，學(xué)生可以舉例子，計算發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。但讓五年級學(xué)生發(fā)現(xiàn)“奇數(shù)個奇數(shù)相加的和是奇數(shù)”這個規(guī)律，非常難，舉例計算歸納，耗時多，加之不完全歸納法的結(jié)果有時不一定正確。這時數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過演繹推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生更信服。先把每兩個小方塊圈起來，沒有剩余，表示是2的倍數(shù)，即偶數(shù)。發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+奇數(shù)時，可以把剩下的一個小方塊移動，和另一個奇數(shù)中剩下的合起來，正好也是2的倍數(shù)，結(jié)果還是偶數(shù)。通過第二次圈方塊，發(fā)現(xiàn)加數(shù)是偶數(shù)時，圈出的一定是偶數(shù)，中間無論加幾個偶數(shù)都與和的奇偶性沒有關(guān)系，可以把偶數(shù)劃去不考慮。因此，推理出和的奇偶性只與奇數(shù)個數(shù)有關(guān)。最后一次圈方塊，推理出：奇數(shù)個奇數(shù)的和，圈剩下的小方塊的個數(shù)一定是奇數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)相加的和，圈剩下的小方塊的個數(shù)一定是偶數(shù)。發(fā)現(xiàn)：和的奇偶性取決于奇數(shù)的個數(shù)，“奇數(shù)個奇數(shù)相加的和一定是奇數(shù)”。m個奇數(shù)相加，當(dāng)m是奇數(shù)時和一定是奇數(shù)，當(dāng)m是偶數(shù)時和一定是偶數(shù)。（見圖3）

圖3

教學(xué)實踐表明，學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)知識的理解和接受往往是感到困難的。這當(dāng)中，常常需要圖式表象作為橋梁，發(fā)揮了圖形的中介作用，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形。學(xué)生腦中有了清晰的圖式表象，借助圖形推理，學(xué)生能順利地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

在課堂教學(xué)中，學(xué)習(xí)活動基于經(jīng)驗而發(fā)生，不管是表征數(shù)學(xué)概念、豐盈計算算理、拓展解題思路還是探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，“幾何直觀”的介入都是在為積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、滲透數(shù)學(xué)思想方法做準(zhǔn)備。學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中積累“幾何直觀”經(jīng)驗，同時也會引發(fā)思維、行為甚至心理上穩(wěn)定而持久的變化，導(dǎo)致一種隱性的心理品質(zhì)的產(chǎn)生，這種隱性的心理品質(zhì)就是素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的涵養(yǎng)是無形的，正如老子在《道德經(jīng)》中“大象無形”的說法，是說至美的形象已經(jīng)到了和自然融為一體的境界，沒有任何人工雕琢的痕跡，無法用語言描述，卻令人回味無窮，這也是學(xué)生體悟數(shù)學(xué)基本思想的最高境界。?

[1]史寧中.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]康德.純粹理性批判[M].鄧小芒，譯.陶祖德，校.北京：人民出版社，2004.

[3]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J].數(shù)學(xué)通報，2000（5）.