走出直線與圓錐曲線位置關系的教學困境

福建省閩清教師進修學校 (350800) 黃如炎

1 教學現狀

直線與圓錐曲線位置關系向來是解析幾何的教學難點，高考的重點、熱點與難點．對直線與圓錐曲線位置關系問題，教師們增加了教學課時，設計了復習專題，強化了練習考試．學生們投入了成倍學時，經歷了艱難思路，進行了大量運算，但教學卻毫無成效．2017年高考理科全國I卷直線與圓錐曲線位置關系的解答題是道尋常題，第二步滿分7分，絕大多數考生不能得分，只有極少數考生能得1至2分[1]．勞而無功的教學使教師對解幾失去信心，學生對解幾產生恐懼．當教學投入與產出總不成正比時，不少教師認為直線與圓錐曲線位置關系是不可教，許多學生(包括優等生)認為直線與圓錐曲線關系是不可學．有些教師在考試策略上指導學生對直線與圓錐曲線位置關系要舍得放棄，實施“第一步確保，第二步列式”的戰術，錯失了解析幾何承載的直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養的教育價值．本文從解析幾何本質、圓錐曲線屬性、平面幾何性質和直線方程選擇的視角，旨在讓教師走出直線與圓錐曲線位置關系的教學困境，使直線與圓錐曲線位置關系變得教師可教，學生可學，考試可得．

2 基本思路

解析幾何是把幾何問題代數化，即解析法的本質是坐標法．研究直線與圓錐曲線位置關系的基本思路為：引入相關點坐標→把幾何問題用坐標表示→由點所在的直線、曲線方程求出坐標或坐標關系式→通過代數運算解決問題．

3 研究經驗

研究直線與圓錐曲線位置關系，除了遵循解析法的基本思路外，還要從圓錐曲線屬性、平面幾何性質和直線方程選擇的視覺，優化研究過程．圓錐曲線定義是圓錐曲線的本源，涉及焦半徑的問題利用定義直截了當．在坐標化前要考慮能否利用平幾、三角、向量、定義等知識簡化幾何關系，坐標化過程要注意每個式子的幾何意義．數與形密不可分，數形結合是優化思維性，減少運算量的利器．直線和圓錐曲線方程問題中，圓錐曲線方程相對單一，但直線方程形式多樣，選擇哪條直線，選擇哪種形式，對計算量有很大關系，因此要根據題情判斷如何優選直線方程．此外，坐標化后代數運算要遵循數式運算法則，先細致觀察數式表征后實施相應運算．對同類項要展開合并，多項式要因式分解，公因式要提取，分式要通分(或去分母)，多元要消元，同一個式子要視為一個整體，去括號要注意是否變號．教師對運算要言傳身教，全程示范，不能用“化簡為”、“整理得”省略學生可能犯錯的步驟，在板演中強調思維點、切入點、易錯點、得分點．

“回歸定義不可忘，數形結合成習慣，選擇直線要判斷，數式先看后運算”應成為研究直線與圓錐曲線位置關系的基本經驗．

(1)求C的方程;

(2)直線l與C相交于P、Q兩點，A為C的右頂點，若直線PA與直線QA斜率的倒數的和為-1，求證：l過定點．(2017年高考全國I卷理科第20題改編)

研究方法分析如下．

(1)方法1：與焦點有關的問題自然想到定義，設另一焦點為F′，四邊形MFNF′對角線互相平分，故MFNF′為平行四邊形，由橢圓定義知|MF′|+|MF|=|NF|+|MF|=2a，所以△MNF周長為|MN|+2a，當MN為短軸時|MN|最小，所以

2.2.2 食品防腐劑 目前，大多食品防腐劑也可用于楊梅采后病害的防治。王益光等[21]采用蔗糖酯、尼泊金乙酯、山梨酸鉀和苯甲酸鈉對楊梅果實進行處理，發現蔗糖酯防腐效果最好，其次是尼泊金乙酯，而苯甲酸鈉和山梨酸鉀的防腐效果不明顯。柴春燕等[22]比較了CAP-10、山梨酸鉀、尼泊金乙酯處理楊梅果實的效果，發現這些防腐劑都對楊梅采后病原菌都有不同程度的抑制作用，其中CAP-10的抑菌效果最佳，并且相比山梨酸鉀和尼泊金乙酯，藥液味較淡。

圖1

方法2：三角形MNF周長由M、N、F三點坐標決定，可得研究思路：

引入點M，N，F坐標→把幾何問題“△MNF周長”用坐標表示→由點M所在的橢圓方程求出坐標關系→通過代數運算解決問題．

設M(x0,y0)，N(-x0,-y0)，F(c，0),則

圖2

(2)直線PA與直線QA斜率由點P，Q，A決定，可得研究思路：引入點P，Q坐標→把幾何問題“直線PA與直線QA斜率的倒數的和”用坐標表示→由點P，Q所在的直線l(或直線PA、QA)和橢圓C方程求出坐標或坐標關系式→通過代數運算解決問題．

方法2：選取直線l：y=kx+t．當l斜率不存在即l垂直x軸時，kPA+kQA=0，不合題意．

圖3

4 方法評價

第(1)步的方法1注意回歸定義和數形結合，無需運算．第(2)步從直線方程不同的選取視角展開思維．方法1至方法4把P、Q看成直線l和橢圓的交點，故選擇直線l，但在直線l的形式選取上決定了計算量．方法2選取l:y=kx+t，是學生的普遍做法，但消元時分母變為多項式，增加了計算量．方法3選取l:x=m(1-y0)+x0，此方程比x=my+n復雜(多一個字母和項數)，計算量明顯大于方法1．方法4通過平移，轉化為齊次方程，選取直線l:mx′+ny′=1，計算量雖小，但技巧性太強．方法5把P看成直線PA和橢圓交點，選取直線PA方程為x=my+2(比選取y=k(x-2)簡單)，聯合直線PA和橢圓C方程求出P點坐標，由對稱性得出Q點坐標．由于P，Q坐標是含有字母的形式，用兩點式求直線l方程時，產生了極大的計算量．方法6把P看成直線PA和直線l的交點，聯合直線PA、l方程求出P點坐標，再把P坐標代入橢圓方程整理成關于m1的一元二次方程，由對稱性和韋達定理得出m，n關系式，此法運算量適中但也頗具技巧性．

綜上可見，方法1最適合學生，思路樸實，運算順暢，計算量小，能限時完成．教師要善于尋找適合學生的方法，創造適合學生的教育，落實以學生發展為本的新課程理念．

[1]匡大章，呂小東．由2017年安徽省高考數學閱卷引發的教學思考[j]．中學數學教學參考：上旬，2017(11)：44-46．

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017.