第五個優美不等式的一種簡潔證法

安徽省蕪湖市沈巷中學 (241012) 何業亮

安振平老師在文[1]提出二十六個優美不等式，其中第五個為：

彭代元老師在文[2]中利用Schur不等式證明了該不等式，筆者認為此法有兩大弊端：一是證明過程相當復雜，對思維能力和運算能力要求極高；二是條件x+y+z=1的使用，不僅給人一種“太突然”的感覺，也讓人無法從中提煉出一般性的方法或技巧.本文給出第五個優美不等式問題的一種簡潔證法，僅供大家參考.

證明：∵x，y，z為正實數，且x+y+z=1,

注意到安振平老師在文[3]中提出的恒等式：

評述：利用條件1=x+y+z，在(甲)、(乙)兩處實現齊次化，是此種證法的關鍵.筆者認為：齊次化是證明不等式的一種技巧，更是一種方法.下面給出幾道題，供大家應驗.

1.(第29屆俄羅斯數學奧林匹克)設a，b，c∈

[1]安振平．二十六個優美不等式[J]．中學數學教學參考(上旬)，2010，1～2.

[2]彭代元．利用Schur不等式證明兩個“優美不等式”[J]．數學教學通訊，2011(7).

[3]安振平．三個無理不等式之間的鏈接[J]．中學數學月刊，2011(7).