基于應用能力提高的概率論案例教學法的研究與實踐

梁 瑛，吳宏鍔

（南陽理工學院，河南 南陽 473004）

隨著地方本科高校轉型的發展，教學改革也勢在必行.數學的教學已經不單單是數學理論的學習，而應該以應用為目的，突出思想性，強調應用性，重點放在培養學生應用數學的意識和應用數學知識解決實際問題的能力這個目標上.要實現這個目標，案例教學法就顯得非常重要.概率論是數學的一個有特色且又十分活躍的分支，該課程應用性強，許多專業都會用到.概率論與我們生活息息相關，可以說許多定義概念都源于生活又服務于生活.根據多年的教學實踐，發現在概率論課程的教學中運用案例教學法對于培養學生學習的興趣、提高學生學習的積極性、提高學生的應用能力和創新意識有著很大的促進作用.

1 案例的實施

傳統的數學教學，教師更多地偏重于概率論課程理論的嚴密性、邏輯性、完整性，局限于所使用的教材，缺乏一些相應知識點的案例聯系和應用案例，對它在實際生活中的應用重視不夠，使得概率論的教學效果不是很理想，概率論與其它數學分支不同的是概率論的產生與發展完全源自生活[1].可以說問題的出現和解決促進了概率論的發展，因此實際問題是概率論的源頭，又是概率論的歸宿.通過案例教學法，不僅能加強相關的理論、方法與思想的可視性，使學生掌握概率論基本理論的來源，而且可以培養和提高學生運用概率論的原理和方法解決實際問題的能力.在概率論的課堂中改變以往數學教學以理論計算為重的方式，利用案例教學法，提高教學內容的使用性，可以增強概率論教學的效果，有助于教學目標的實現.實施案例教學在教學方法和教學手段上應該配套，主要采用“三融入“和”一結合“的教學方法和手段來實現.

1.1 案例在基本理論引入時的融入

在教學中應盡可能地把基本概念和方法回歸到實際背景，這樣可以加強理論的可視性，有助于激發學生學習興趣和提高學生應用能力.如可通過生活中常見的轉盤抽獎案例來引入幾何概型.（案例1）.

案例1 在彩票開獎的現場有一個互動節目，其規則是抽取一名幸運觀眾，上臺隨機轉一下右圖所示的轉盤，轉盤停下時，指針會指向一個標著某數字的扇形，這個數字就是該參與者當場可得到的獎金（單位：元）．若轉盤的周長是，兩個標著“2000”的扇形的弧長分別為a和b，那么該幸運觀眾能得到2000元獎金的可能性是多少呢？[2]

上述隨機試驗的所有可能結果，一是指針指向轉盤圓周上的某個點（有無數個）；二是指向每個點的可能性相等，具有這兩個特點的隨機試驗即為幾何概型.通過分析該試驗的特點，引出幾何概型的定義.本例中該幸運觀眾能得到2000元獎金的可能性是P(指針指向標有“2000”扇形)=a+b/L.進而自然而然地給出幾何概型的概率計算公式.一般地，設幾何概型樣本空間對應的幾何區域為Ω，事件A對應Ω 的一個子區域，則有 P(A)=m(A)/m(Ω).其中 m(A)、m(Ω)表示樣本空間Ω和事件A對應的幾何測度.

再如，在講隨機變量的數學期望概念時，可先引入歷史上著名的分賭注案例（案例2）.

案例2 十七世紀中葉，賭徒梅爾向法國數學家帕斯卡提出一個使他苦惱已久的分賭本問題：他和保羅兩人擲硬幣賭錢，事先每人各拿出6枚金幣.約定先勝三局者便贏得全部金幣.比賽進行到保羅勝一局，梅爾勝兩局時中斷了賭局.他們商量分配這12枚金幣，保羅認為，根據已勝的局數，他應得總數的三分之一，即4枚金幣，梅爾應得總數的三分之二，即8枚金幣.但梅爾認為這樣分他有點“虧”，那么到底怎樣分才合理呢？

在給出這樣案例后，學生十分感興趣，課堂氣氛很活躍，學生眾說紛紜.教師可引導學生思考分析.設想再賭下去，梅爾最終所得金幣是一個隨機變量X，可能取值為0、12.再賭兩局必可結束.對于梅爾來說可能出現的結果有以下四種：（勝，勝），（勝，負），（負，勝），（負，負）.其中前有三種情形有利于梅爾得到12枚金幣，故梅爾所得金幣X的分布律為

由上述分析，梅爾期望所得金幣為0×1/4+12×3/4=9枚，于是保羅應分得3枚金幣.這種分法的合理之處在于不但考慮了已賭局數，而且也包含了對再賭下去的一種“期望”，由此案例給出離散型隨機變量數學期望的定義，這樣使學生明白隨機變量的數學期望實質內涵.通過該案例的引入，使學生在愉快的學習氛圍中了解到概率論的起源和期望概念的來由，同時也加深了對數學期望概念的理解，更為重要的是掌握了利用期望解決生活中類似問題的方法.

在概率論的教學中，選取合適的生活案例或者概率論發展史上典型案例融入相關理論的教學中，有助于增強概念的可視性與應用性，有利于教學目標的完成.

1.2 案例在理論知識應用中的融入

在概率論的學習過程中為加強理論的應用，在講完理論后，教師應引導學生運用所學的概率論知識來解決實際問題.如利用相關的知識解釋生活中俗語諺語、解釋身邊的事物或熱點問題.比如在學習概率性質以及事件的獨立時，可讓學生解釋生活中的一些諺語俗語，如“常在河邊走，哪能不濕鞋？”“三個臭皮匠，抵個諸葛亮”“先下手為強，后下手遭殃”等等.雖然有些諺語不是絕對正確的，但其中也包含了樸素的唯物論，具有一定的合理性.

案例3 某油田指揮部要選擇在A區域或B區域試鉆一口油井，A區域油井鉆探費為60萬元，出油概率為0.3，若出油則有1000萬元的收入；B區域油井鉆探費為20萬元，出油概率為0.8，若出油則有200萬元的收入.指揮部將如何進行決策？[3]

實施案例教學多采用講授和討論相結合的教學方式，討論為主，講授為輔，逐步引導學生掌握解決問題的方法.通過對案例的討論解決，學生可以體驗使用所學知識解決實際問題的全過程，進一步增強他們的學習興趣和提高應用能力.實踐表明這種教學方法能真正達到“學以致用”的目的.

1.3 案例在課下練習中的融入

針對概率論知識實用性強的特點，可以精心選擇一些代表性強的綜合案例.以豐富的網絡為資源，引導學生自學，3-5人為一組，讓學生課下分成小組完成.通過這種方式不但可以檢驗學生知識掌握的程度以及實際應用的能力，并且還可以培養學生查閱文獻、團隊合作、寫作表達和勇于創新的能力，為參加全國大學生數學建模競賽奠定基礎.該項練習可以納入平時成績的考核中.如隨機變量數字特征的綜合應用案例（案例4）.

案例4 萬德隆超市進行有獎銷售，投放100張獎券，其中只有一張有獎，問：

（1）第一個人中獎的概率是多少？

（2）第二個人、第三個人中獎的概率是多少？

（3）第k(1≤k≤100)個人中獎的概率呢？中獎的概率與k是否有關，即中獎的概率與抽取的次序是否有關？

（4）若其中2張有獎，則第k(1≤k≤100)個人中獎的概率是多少？若n張獎券，其中m張有獎，則每位顧客中獎的概率是多少？

該教學案例設計時為了突出教學的重點，抽象數字可先設計為具體數字，先計算第一個人中獎的概率，然后在計算第二個人、第三個人、第k(1≤k≤100)個人中獎的概率.該案例的設計緊扣教學內容，又體現了循序漸進的思想.最終啟發學生得到，中獎的概率僅與獎券所含的比例有關.

在教學的過程中會發現學生對于第一個人中獎的概率會很快地算出，而在計算第二個人中獎的概率往往考慮到第一個人可能中獎，也可能沒有中獎.基于這種思想，正是后面全概率公式解決的方法，因此在后面可用全概率公式講解.

2 案例實施的注意事項

編寫案例要難易程度適中，難點要分散.在教學過程中，對課程的教學內容以及知識點應有整體的把握，對要實施案例教學的內容有一個統籌的規劃，課堂案例不能設計的太難，否則課堂無法完成，還會給學生平添一種不知所云的感覺，教學效果可想而知.而課下案例作業可設計一些綜合性的案例，讓學生課下查閱資料完成，以拓寬學生的視野，提高學生解決實際問題的能力.

3 課程考核評價指標多元化

根據概率論課程的特點，課程成績考核可加大過程考核.平時考核中注重檢驗學生應用能力和創新能力的形成，注重考核學生撰寫的學習心得或小論文.課程期末總評成績，采用將平時成績（30%）和考試相結合（70%）的方式.平時成績主要包括考勤、課后習題作業、課外案例作業、小測驗等評價指標，如設置出勤及課堂討論占40%，課后習題作業、單元測試占30%，課外案例作業占30%.課外作業按小組進行，老師給出成績后，再依據每組組長給出的組成員做題時貢獻大小作為權重算出每個學生的得分.這種方式不僅可以促進團隊合作、交流，而且可以督促學生從多個角度、多個方面去分析問題和解決問題的.

課程考核評價指標的多元化可以引導學生從注重“考試結果”向注重“學習過程”轉變，對于調動學生學習的積極主動性，培養學生良好學習習慣，培養學生的創新意識，提高學生的實踐能力有重要的意義.這種評價模式使得評價結果更客觀、更全面.

鑒于概率論課程的特點，采用案例教學可以使學生更好地理解概念、公式以及掌握它們的應用.本文對概率論教學過程中案例如何實施以及實施時的注意事項進行了探索研究.實踐表明案例教學法對于提高學生學習的積極性，提高學生的應用能力和培養學生的創新意識大有裨益.

〔1〕 梁瑛，吳宏鍔.轉型背景下《概率論與數理統計》教學的改革與實現[J].高教學刊，2016（21）：160—163.

〔2〕 馬戈.概率論與數理統計[M].科學出版社，2012.

〔3〕 唐國興.概率統計[M].武漢大學出版社，1991.