配極理論在圓錐曲線中的應用

劉 悅

（黑龍江省綏化市青岡縣永豐鎮中學校 黑龍江綏化 151600）

配極理論是以二次曲線性質為基礎，逐步形成的理論體系.其系統歸納總結的二次曲線各類性質定理，為中學幾何的相關證明，提供了重要理論基礎，在解決實際問題上有很好的指導作用，配極理論在二次曲線的學習研究中，系統的闡述了二次曲線一些點和線的關系，以定理的形式歸納得出。

眾所周知點共線和線共點問題在中學幾何中的常見問題.將配極理論反作用于圓錐曲線，解決中學幾何圓錐曲線中的點共線和線共點問題。

一、橢圓中的點共線和線共點A

例1 已知橢圓 的內接三角形△ABC，過，B，C三點分別作橢圓的切線得?A′B′C′，取任一點S，連結AS，BS，CS，其與對邊交點分別是A1，B1，C1.證明 三直線A′A1，B′B1，C′C1交于一點

證 如圖1-1所示

∵點S三角形頂點的連線AA1，BB1，CC1交的交點

由題意知u、v、w三點共線

又因為u在A′的極線BC上

∴點A′與點u共軛；

在完全四點形中∵R（b，c；a1u）=-1，

∴A1與u共軛，從而A1A′是u的極線

由共點線的極點必共線，共線點極線必共點可知：A1A′，B′B1，C′C1共點

二、拋物線中的點共線和線共點

例2 證明拋物線的任何方向的平行弦的重點在一直線上，并由此推出這些直線是平行的。

證 設無窮遠直線ξ∞與拋物線Γ相切于點O∞，取過點u∞的一組平行弦分別為ab，a′b′...弦的中點分別是m，m′...

由題可知，R（a，b；m，u∞）-1，R（a’，b’:m;，u∞）

∴m，m′在u∞的極線η上，根據配極原則知η必過O∞點

同理，過點V∞的一組平行弦，則V∞的極線T為它的中點軌跡，并有T也過O∞點

∴η∥T

從上述各例可以看出，把配極變換應用于圓錐曲線有關的問題是方便的，當然配極變換的應用并不僅僅限于上述幾個方面，有待我們繼續探討?！?br>