研究解題方法 揭示問題真諦
——初中數學商品銷售問題研究

湖南省衡陽市衡陽師范學院南岳學院 張 琴

“問題是數學的心臟，解決問題是數學的真諦”。近年來中考題考查商品的銷售問題成為中考的一大熱點，這種類型題目對初中數學中的方程、不等式、函數內容等都有涉及，既考查學生基礎知識的掌握，又考查了學生的綜合運用能力。此類問題題目信息量大，條件相對隱含，數量關系復雜，知識點廣，綜合性較強，學生容易混淆，甚至都讀不懂題，往往成了學生解題的難點，從而使學生對此類問題產生畏懼感。筆者已整理好解決此類問題時， 只需弄清單件利潤公式和總利潤公式兩種大類型，從而可以減輕學生的負擔，取得了良好的效果。

一、模型研究

此類問題包含兩種大類型：

類型一：用單件利潤公式

所有的數學中的商品銷售問題都可用利潤公式：利潤=售價-進價，利潤=進價×利潤率，用這一個或兩個公式聯合運用。

類型二：用總利潤公式

（一）當有價格發生變化時，從整體思想考慮總利潤：總利潤=總售價-總進價。

（二）當價格規律不變時，用公式：總利潤=（售價-進價）×銷售量。

二、模型應用

類型一：用單件利潤公式

例1衡陽市紅星大市場某種品牌保溫杯以相同的價格售出C、D兩種型號，D型每件進價比C型多30元，若售出D型虧損20%，C型盈利30%。求C、D型號保溫杯每件的進價分別是多少元？

解析：設C型保溫杯進價為x元，則D型保溫杯進價為（x+30）元，C、D售價為y元，則有：

解得x=48，y=62.4。即C每件進價48元，D每件進價78元。

點撥:售價-進價=利潤=進價×利潤率，將兩個公式聯合運用，把利潤作為等量關系。

類型二：用總利潤公式

例2山地自行車在中學生中受到較為普遍的歡迎，店家用132000元購進了一批山地自行車，結果供不應求，店家又用288000元購進了第二批山地自行車，所購數量是第一批購進量的2倍，但每輛貴了50元。

（1）該店家購進第一批山地自行車多少輛？

（2）若以相同標價銷售購進的兩批山地自行車，因為銷量逐漸下降，店家則以八折優惠銷售最后100件，若兩批山地自行車全部售完，且利潤率不高于40%（不考慮其他因素），那么每輛山地自行車標價至多是多少元？

解析：（1）設第一批是x輛，則第二批是 輛，由題意得解得x=240。

（2）設每輛山地自行車標價是a元，則有620輛按標價銷售，100輛按標價的八折銷售，總售價為：620a+100×0.8a；

總進價為：132000+288000。

由兩批山地自行車售完利潤率不高于40%，得：

（620a+100×0.8a）-（132000+288000）≤40%×（132000+288000），解得a≤840，

故每輛山地自行車標價至多為840元。

點撥:①當商品價格發生變化時，以整體思想考慮，總利潤=總售價-總進價。

②當價格規律不變時，用公式：總利潤=（售價-進價）×銷售量。

例3深圳某企業從國外引進一批新型節能燈，其中一盞F型節能燈的進價比一盞E型節能燈的進價少20元。企業花160000元購買E型節能燈的數量是花75000元購買F型節能燈的數量的2倍。

（1）求E，F型節能燈的進價分別為多少元？

（2）已知該企業以售價為400元/盞賣出E型節能燈，以售價為410元/盞賣出F型節能燈，若該企業購進共250件E，F型節能燈且全部售出，其中E型的數量不大于F型的數量，且不小于80盞，設購進E型節能燈n盞，求該企業銷售這批節能燈的利潤f與n之間的函數關系式，并寫出n的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，該企業決定每售出一盞E型節能燈，就拿利潤中的b元捐贈給湖南某地區留守兒童，求該企業售完所有節能燈并捐獻資金后獲得的最大收益。

解析：（1）E型節能燈的進價320元，F型節能燈的進價340元。

（2）設E型商品n盞，則F型商品為（250-n）盞，

則f=（400-320）n+（410-340）（250-n），化簡得：f=10n+17500，

又n≤250-n，80≤n，則80≤n≤125，

所以f=10n+175000（80≤n≤125）。

（3）f=10n+175000-nb=（10-b）n+17500（80≤n≤125）。

當0＜b＜10時，當n=125時利潤最大，f=18750-125b；

當b=10時，利潤最大f=17500；

當a＞10時，當n=80時利潤最大，f=18300-80b。

點撥:①屬于總利潤中價格規律不變，則有：總利潤=（售價-進價）×銷售量。

②將利潤部分減去捐贈留守兒童的總額bn，即結合一次函數的增減性，得最大收益。

因此，筆者把商品利潤問題解題方法歸納為求單件利潤或總利潤兩種大類型，讓學生領會到解決所有利潤問題的真諦不過只是這兩種類型的變式，其本質還是不變的。題型的歸納使學生從“變”的題型中發現它的實質是“不變”的，從實質是“不變”的探究“變”的規律。其中，把同類型題方法歸納整合，這樣能將學生帶出題海戰術和應試教育，不但為學生省下遇到新題時的重復精力，而且在老題型的思維發現上鍛煉了學生的數學思維。

[1]趙連杰．銷售問題中的“雷區”[J]．中學生數理化（七年級數學）（配合人教社教材），2017（11）．

[2]陳楊．關于數學思想方法教學的探討[J]．數學通報，2000（03）．