數學建模中常用數據處理方法總結

大連理工大學 王子雄

數學建模的大致思路為：用數學的語言描述、簡化、抽象實際問題，運用計算機分析得出模型結果，再回到實際中檢驗模型的效果，通過靈敏度檢驗觀察模型的穩定性，在確定模型的可行性后對未來情況進行預判，或者給出相對于現狀更優化的解決方案。數學建模的一般步驟為：情景分析→模型假設→模型求解→模型分析→模型檢驗等。

在數學建模過程中經常會遇到大量數據需要整理、分析，即數據處理。在建立模型的初始階段，對數據的分析有助于我們尋求變量間的關系，形成初步想法；有些模型還可以從大量觀測數據中，利用統計的方法直接建立，如回歸分析法、時序分析法等；還經常利用數據來估計模型中出現的參數值，甚至還利用數據進行模型檢驗，比較模型運算出的理論值與相應實際數據的大小。由此數據處理非常重要，下面介紹數據處理常用的方法和使用的軟件。

一、基本的數據處理

在數學建模過程中，需要計算數據的平均值、中位數、標準差、方差、最大值、最小值、置信度等。事實證明，只需要Excel，就可以解決這些基本的數據處理問題。Excel可以實現對數據的分類、篩選、排序等操作，讓我們對數據有一個初步的認知。我們還可以用Excel繪制直方圖、散點圖、折線圖，從而反映數據的分布信息，隨時間的走勢以及不同數據所占比等信息。

二、回歸分析

回歸分析是一種常用的數據分析方法，用來尋找自變量和因變量之間的關系，包括線性回歸和 Logistic 回歸。它從一組數據出發，確定多個變量之間的具體函數關系之后，再對這些數據之間關系的可信度進行檢驗。在具體問題中，我們經常會遇到一件事情受到多個因素影響的情況，回歸分析的原則是保留產生主要影響的變量，剔除影響不顯著的變量，從而減小誤差，使結果更貼合實際情況。回歸分析一般用來觀察未來數據的走勢，作出預判，從而為決策者提供一些建議或解決方案。Matlab中的regress（），polyval（）等函數都能進行回歸分析。

三、插值與擬合

在建模比賽中，經常會遇到一類問題：尋找自變量x與因變量y的函數關系，這時候我們就需要采用插值與擬合的分析方法。插值是指在平面內有一些離散的點，通過規定格式的函數曲線將這些點連起來，進而尋找離散點之外的其他地方的數值。常見的插值方法有Lagrange多項式插值、Hermite插值、分段線性插值和三次樣條插值等。擬合也是已知一些離散點（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），不同于插值的是，擬合不要求所得函數經過全部點，只要求在某種意義下在這些點處的偏差最小。最常用的方法是最小二乘法。具體操作為：先選定一組函數r1（x），r2（x），…rn（x），它們是擬合函數的組成部分，函數f（x）=a1r1（x）+a2r2（x）+…+anrn（x），其中，系數a1，…，an為待定系數，再利用最小二乘法確定系數，即：

求出a1，a2，…an使得J（a1，a2，…an）最小。特別的，如果是多項式擬合，matlab提供命令polymit（x，y，n），n為最高次數，xy為擬合數據，a為所求的多項式系數。

四、主成分分析

該方法應對的是高維數據問題。已知數據一共有n維指標：x1，x2…xn，變量之間存在一定的相關性，信息有重疊。因此要通過主成分分析方法克服相關性與重疊，通過原指標的一些線性組合：

反應原指標的大部分信息，從而達到降維的目的。Matlab中的pcacov函數即可實現主成分分析的功能。該函數的調用方法如下：[vec1，lamda，rate]=pcacov（temp），temp為相關系數矩陣，vec1為主成分的系數矩陣，lamda為特征值矩陣，rate為特征值各自的貢獻率。

數據處理在數學建模中起著極其重要的作用，采用準確合理的數據處理方法能夠完成看似復雜的實際問題，化繁為簡，將定性分析變為定量分析，更科學可靠。上述方法均為作者在參加數學建模比賽中用到的方法，易于理解且實用性強。掌握了Matlab的這些功能，可以大大提高數學建模的效率。

[1]施吉林，張宏偉，金光日．計算機科學計算[M]．北京:高等教育出版社，2013（8）．

[2]司守奎，孫兆亮．數學建模算法與應用[M]．北京:國防工業出版社，2015（4）．