深入概念本質，提升思辨能力

吳文卿

【摘要】本文運用行動研究的研究方法，對于APOS理論應用于小學數學概念教學進行研究，探索其中的活動階段，精心設計各層次的活動和環環相扣的問題鏈，豐富表象，有效增強學生的思辨、推理能力。

【關鍵詞】APOS理論 概念本質 追問 推理 思辨

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0136-02

美國數學教育學家杜賓斯基的APOS理論指出學習數學概念的過程要經歷活動、過程、對象、圖式等四個階段。APOS理論當中的活動階段相當于對概念屬性的具體操作、觀察，呈現數學概念的具體實例階段。這一階段其實就是學生表象形成階段，變換概念的非本質屬性特征，突出本質屬性，從而使概念的表征達到一個較高水平的概括。基于學生認知起點，如何在活動階段層層推進，深挖概念的本質？如何引領學生主動探究，使學生在比較中，思維碰撞中，語言交流中深化對概念本質的理解，提升思辨能力？結合教學課例談談一些思考和見解。

一、追問中理清本質。

皮亞杰認為“智慧源自動作”，動手操作是學生學習數學的有效手段。為了形成“反省”，學生必須把自己的實踐操作變成思考的對象，這是認知概念的必要條件和前提。如何在直觀操作與抽象概括之間建立橋梁？

《軸對稱圖形》【教學回放】

怎樣剪出一個軸對稱圖形呢？

1.教師邊示范邊引導學生觀察。

教師對折一張純色的折紙，思考：為什么要對折？

生：對折后剪出來的兩邊圖形就能完全重合。

接著學生指導老師畫一半圖形。

師追問：為什么只畫一半圖形？

生：因為剛才對折，剪出來的兩部分是同樣的。

接著老師畫圖、剪、打開，舉著圖形問：是一個對稱圖形嗎？怎樣證明？

學生提出對折的方法，老師依言對折圖形，指著問：對折后，這是圖形的一半，另一半呢？（學生指出反過來。）

觀察思考：對折后兩邊圖形的大小怎樣？形狀怎樣？圖案怎樣？

生：對折后兩邊圖形無論是大小、還是形狀、圖案都是完全重合的。

2.PPT呈現樣例，學生操作。

展示匯報，追問：為什么剪的是對稱圖形？

認知確定對折后完全重合才是軸對稱圖形，這是學生認知的難點，教學中要給予特別關注，操作的目的是通過折紙片、畫圖和剪紙片的過程，展現了形成一個軸對稱圖形的過程。引導學生在剪紙活動中認識軸對稱圖形，如果學生對軸對稱圖形的理解只停留在怎樣剪，沒有從概念的本質去認識，那么這節課更像手工課。“為什么要對折？”“為什么只畫一半圖形？”“為什么剪的是對稱圖形？”操作的目的是為了數學抽象，只有通過步步深入追問操作背后的原理，才能“褪去”一切無關的非本質屬性，讓操作回歸到數學本質的內涵，才能讓學生站在數學的高度去學習數學。

二、推理中扣問本質。

《標準（2011版）》指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理能從深度和廣度兩方面解釋隱藏在表面現象后面的客觀規律和思想要素。在概念教學中，將各種直觀模型和驗證方法之間的聯系加以溝通，引導學生體會概念的內在核心，同時把推理能力的培養有機融合其中，幫助學生形成研究論證數學問題的科學方法。

《小數的性質》【教學回放】

1.創設情境，引發沖突。導入：由金箍棒能變長變短引出在整數末尾添上“0”或去掉“0”，學生直觀感受變化。在0.1米的末尾試著添上“0”時，金箍棒的長度卻沒有發生變化。

思考：為什么“0.1米=0.10米=0.100米”？

2.操作觀察，初步感知

師：能不能用學過的知識來解決？

（1）學生自由選擇材料操作驗證。

①在米尺圖找一找0.1米、0.10米、0.100米的實際長度，比一比；②在方格圖上涂色表示這三個小數，比一比；③在數位順序表填這三個小數，比一比。

（2）學生匯報

①米尺圖組

生：在米尺圖指著10cm的距離，這是1dm，也是10cm，也是100mm，對應的小數分別是0.1m、0.10m、0.100m，所以：0.1m=0.10m=0.100m

追問：結合0.1m、0.10m、0.100m的具體含義，說明它們是如何相等的？

結合學生匯報出示：

0.1m →■m 1dm=10cm

■m=1cm，0.10m 10個■m→10cm

■m=1mm，0.100m 100個■m→100mm=10cm

因為： 1dm=10cm=100mm

所以：0.1m=0.10m=0.100m

師：運用單位間換算把用米作單位的小數改寫成較小單位的整數比較大小，也就是把小數轉化為整數比較。

②方格圖組

生：通過重合發現這三個小數表示的涂色部分是相等的，所以這三個小數是相等的。

追問：它們的意義相同嗎？大小怎么就相等了呢？

③數位順序表組

生：這三個小數個位都是0，1都在十分位上，而且0.10、0.100末尾的“0”都表示這個數位上什么也沒有，所以這三個小數的大小相等。

追問：它們的意義不同，大小怎么就相等了呢？

結合方格圖組和數位順序表組的匯報，PPT出示

0.1→1個■

0.10→10個■→1個■

0.100→100個■→1個■

所以：0.1m=0.10m=0.100m

師：根據小數的意義推導出這3個小數是相等的。

小數意義的掌握是本節課知識的支撐點，小數的性質是對小數意義的進一步認識。通過前測可知，68%的學生盡管知道小數的末尾添上“0”或者去掉“0”，小數的大小不變，但小數的形式發生變化后為什么大小不變？大部分學生未能說清楚。因此本課的難點是理解在小數部分什么位置添“0”去“0”，小數大小不變。在大問題“能不能用學過的知識來解決？”統領下，提供數學學習工具學生自由選擇操作驗證。學生都圍繞大問題經歷用轉換單位比較、利用小數意義等值推導等數學工具證明小數性質的過程，在推理論證中扣問小數意義的本質，同時增強邏輯推理能力。

三、思辨中深入本質。

學生學習概念要經歷一個復雜的認知過程才能實現從感性向理性的過渡，教師除了要提供典型、豐富的實例豐富學生的感知，同時還要引導學生進行多層次的辨析，層層深入本質，使學生對概念內涵的理解從文字層面進入實質層面。

《用字母表示數》【教學回放】

1.感知用字母來表示不確定的數。

（用字母a來表示吳老師的年齡）。

2.感知同一事件，不同的字母表示不同的數。

辨析：用a表示周老師的年齡可以嗎？

學生都明確不可以。

師：在同一問題中，通常用不同的字母表示不同的數，在這里用除a外的字母表示更合適（板：y）。

思考：如果a和y比較大小會怎樣？它們之間的關系確定嗎？

學生匯報3種情況并表示關系不確定。

3.具體情境中字母式。

（1）補充信息，明析歲數之間的關系。

（2）師生共同舉例，從個別到一般概括所有的情況。（吳老師a歲，周老師（a+7）歲）

追問：為什么a+7能表示周老師的歲數？

生：a是吳老師的歲數，加上她們的年齡差7歲就等于周老師的歲數。

師：哦，是因為根據她們的數量關系“吳老師的歲數+吳老師與周老師相差的歲數=周老師的歲數”得來的。

（3）辨析中明確字母式的優勢。

思考討論：用字母a表示吳老師的年齡，在增加了一個信息后也增加了一種表達方式，字母式a+7。比較y和a+7，有什么不同？你更喜歡哪種表達方式？為什么？

生各執一詞，有的喜歡y，因為看起來簡潔；有的喜歡a+7，因為更具體。

小結：a+7不僅表示了周老師的年齡，還能表示兩位老師之間的年齡關系。

4.理解升華。

（1）遷移解讀神秘人的年齡信息（神秘人的年齡是（a-14）歲）。

思考：從a-14你讀懂了什么？你能像剛才那樣用數量關系式表述神秘人的年齡嗎？

生：吳老師的歲數-14=神秘人的歲數

（2）師生共同舉例，以表格形式羅列吳老師和神秘人的具體年齡。

（3）觀察思考：吳老師的年齡在變，神秘人的年齡在變，但什么不變？

生：神秘人和吳老師的年齡差不變。

（4）變換方式

如果用y表示神秘人的年齡，吳老師和周老師的年齡怎么表示？

吳老師的年齡是（y+14）歲，周老師的年齡是（y+21）歲。

追問：為什么可以這樣表示？

生：因為吳老師比神秘人大14歲，所以用神秘人的歲數+14=吳老師的歲數；周老師比神秘人大21歲，所以用神秘人的歲數+21=周老師的歲數。

追問：周老師的年齡為什么一會兒加7，一會兒加21啊？

生：因為加7是跟吳老師的年齡a歲比的，加21是跟神秘人的年齡y歲比的。

師：說得真好！字母表示的數量發生了變化，字母式也會發生相應的變化。有什么是始終不變的？

生：他們之間的年齡差始終不變。

《用字母表示數（一）》的教學難點是結合具體情境，理解含有字母的式子不僅能表示數量，還能表示數量關系。其核心本質是表示數量關系。在這一環節中筆者安排了三次思辨，在思辨中層層遞進加深對用字母表示數的本質理解。

1.兩位老師的年齡問題呈現同一問題情境，學生在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的數，而且之間存在不確定的比較關系。

2.比較y和a+7。這沖突問題是學生認知的生長點，首次嘗試了用字母表示數過渡到用字母式表示數。體會兩者之間的區別，字母式既可表示數量，又可以表示數量間的關系，因此，在同一事件中兩個數若有聯系，盡量用字母式表示比較方便。

3.變換表示方式。在系列化的年齡問題情境中，學生重復多次根據兩人之間的年齡關系式寫出對應的字母式并對這一活動進行反省，都是在同一思維水平下的操作活動，“周老師的年齡為什么一會兒加7，一會兒加21啊？”這樣的思辨是對用字母式表示數的深入探究，促使學生更靈活地理解函數思想和對應思想視角下的用字母式表示數的本質。

綜上所述，APOS理論應用于概念教學，將數學知識和探究活動有效結合，更能深入概念形成過程的內部本質，更能反映學生認知數學概念的思維過程。在活動階段基于學生的認知起點，精心設計各層次的活動和環環相扣的問題鏈，引導學生把操作、思維、語言三者有機結合起來，不斷積累活動經驗，豐富表象，為數學概念的形成提供反省抽象的對象，有效增強學生的思辨、推理能力。

參考文獻：

[1]《小學數學概念教學：行與思》林武著 —北京：教育科學出版社2014.3

[2]義務教育數學課程標準（2011年版）.北京：北京師范大學出版社，2012.