試析幾何直觀的教學價值

摘 要：幾何直觀是數學核心素養的重要組成部分，也是重要的數學思想方法。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。利用幾何直觀產生直接認識，進行分析和推理，展開想象，從而促進學生思維的發展，提升學生的數學素養。

關鍵詞：幾何直觀；數學概念；數學模型；計算能力；推理能力

作者簡介：董玫玲，江蘇省揚州市廣陵區湯汪小學教師。（江蘇 揚州 225000）

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）10-0011-02

新課標明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”可見，幾何直觀的實質就是利用圖形產生直接認識，或者借助圖形進行分析、推理和展開想象，其在小學數學學習中發揮著舉足輕重的作用。

一、運用幾何直觀，幫助學生理解數學概念

數學概念是反映客觀世界中數量關系和空間形式的本質屬性的思維形式，其本身是精確的、抽象的。而小學生的思維處在由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡階段，并且抽象思維常常需要直觀形象的支撐。因此，在概念教學中，老師可以引導學生借助幾何圖形，由直觀形象逐步理解抽象概念的本質。

教學“蘇教版”三年級（上冊）“分數的初步認識（一）”時，在學生將長方形紙分別折一折、涂一涂表示出它的之后，教師引導學生通過觀察和比較，認識的本質屬性。（如圖1）

師：三張長方形紙中，涂色部分的形狀不同，為什么都能用表示呢？

生：因為三張長方形紙都是被平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都可以用表示。

分數是抽象的，理解必須是具體的。上述教學環節中，借助圖形直觀，并通過比較剝離出圖形的非本質屬性，抽象出“都是平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都用表示”的本質屬性。學生基于自己動手操作的經歷和體驗，借助對圖形的觀察和比較，從感性認識中進一步歸納和概括出的內涵。

二、運用幾何直觀，幫助學生建立數學模型

數學模型是對客觀事物的一般關系的反映，也是人們以數學方式認識具體事物、描述客觀現象的最基本的形式。在小學階段，數學模型的表現形式為一系列的概念系統、算法系統、關系、定律、公理系統等，這些都是學生學習的重要內容。學生學習數學知識的過程，實際上是對一系列數學模型的理解、把握過程。而一些數學模型的建立，如能結合幾何直觀，學生的理解會更深刻。

如教學乘法結合律時，筆者創設了數小正方體的學習活動。（如圖2）

通過交流不同的數法：從上面看，每一層有3×5個，有4層，共有（3×5）×4個；從前面看，一層有5×4個，有3層，共有3×（5×4）個。學生很容易理解（3×5）×4=3×（5×4）。再通過舉例驗證、類比歸納，從而建立（a×b）×c=a×（b×c），即乘法結合律的計算模型。

乘法分配律的代數模型是（a+b）×c=a×c+b×c，為了能讓學生更直觀地認識理解它，筆者出示了下面的圖，要求學生說一說大長方形的面積可以怎么求。學生想出兩種方法，恰好反映了乘法分配律的本質，同時這個長方形也成了乘法分配律的幾何模型。（如圖3）

三、運用幾何直觀，幫助學生提高計算能力

在數學運算教學中，提高學生計算能力，不僅是提高學生計算的熟練程度，更重要的是讓學生理解算理，將計算的方法融會貫通于數學的其他方面，提高學生的數學素養。算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。在加、減、乘、除四則運算教學時我們不妨將幾何直觀融入其中，發揮幾何直觀對理解算理的作用。在運算教學中，也可以有效地借助幾何圖形讓學生理解算理。例如，在教學分數乘法中，分數與分數相乘的算理顯得比較復雜且抽象，如果簡單采取示范告知的方式，不僅不利于學生對算理的理解，也無法促進學生數學思維的發展。因此，在教學中需要借助幾何圖形表示分數，從而讓學生理解分數乘分數的算理。

出示：用長方形表示單位“1”，師生合作涂色表示出長方形的。

師：怎樣理解×？

生：×表示把平均分成4份，取其中的1份。

師：你能在圖中表示出來嗎？

學生獨立思考后，教師點名板演，如圖4。

師：你能根據圖示，寫出

×的結果嗎？說明理由。

生：× = 。從圖上看，畫虛線的部分相當于把長方形平均分成8份，取其中1份，所以 的 占長方形的。

上述教學片段中，教師注意引導學生利用幾何圖形表示分數乘分數的意義，進而直接得出分數乘分數的結果。同時，圖形的直觀便于學生確認和相乘時，把分子和分子相乘，分母和分母相乘的合理性。在此基礎上，借助更多的實例以及幾何直觀，學生不僅可以順利地認識分數乘分數的算理，而且能夠逐步歸納概括分數乘分數的計算方法。

四、運用幾何直觀，促進學生推理能力的發展

皮亞杰在認知發展階段論中指出，具體運算階段的兒童雖然不能進行抽象的邏輯推理，但可以憑借具體形象的支撐進行直觀推理。例如，三年級“分數的初步認識”教學后，在比較和的大小時，有的學生會受到整數大小比較的負遷移，認為>。為此，教師可以充分利用幾何直觀，讓學生在兩個同樣大小的圓中分一分，涂色表示出這兩個分數（如圖5）。這樣，學生可以根據兩幅圖中涂色部分的大小進行直接判斷，還能夠聯系分數的含義進行分析和推理。借助幾何圖形，使學生能夠更清晰地解釋比較這兩個分數大小的方法，發展學生的數學推理能力。

又如，在教學三年級“生活中的推理”時，引導學生通過列表畫“√”“×”等方式進行推理，不僅使推理過程更直觀、簡潔，也促使學生的思維在短時間內得到了有效提高。生活中很多推理問題通過幾何直觀的方式都能有效解決。如A、B、C、D、E、F六支球隊，每兩個隊伍比賽一場，當A、B、C、D、E分別賽了5、4、3、2、1場時，F賽了幾場？學生根據條件，通過畫圖連線的方法進行推理很容易看出F隊賽了3場。（如圖所示）

總之，借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，在有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。我國著名數學家華羅庚用一首七言絕句描述了數學中的一種非常重要的思想方法：“數形本是相依偎，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”用圖形說話，用圖形描述問題、討論問題，這是一種基本的數學素養。教師要從小培養學生幾何直觀的思考能力，使之在以后的數學學習中獲得更大的進步和發展。

責任編輯 黃 晶