抓住課堂意外 促進本質理解

周發勇

摘 要：在數學教學過程中，教師應激發學生自由思考，鼓勵學生自信表達，讓學生淋漓盡致地展現智慧和激情；教師應該用心去聆聽，觸摸教學，透視課堂，捕捉學生“意外”的思維和解法，讓學生有更多的探索時間和空間，讓“意外”生成更多的教學價值。

關鍵詞：課堂“意外”；生成性；本質

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-071-2

課堂是一個動態的發展過程，具有生成性和不可預測性。無論課前預設怎么充分，課堂中難免會出現各種“意外”。但對待“意外”的發生，有的教師卻因課堂時間倉促為借口放棄深入探究。殊不知，這些“意外”的產生正是學生獨立思考后靈感的萌發，瞬間的創造。因此，對待這些“意外”，我們應該耐心聆聽，進而靈活運用，激發學生數學學習激情，讓“意外”演繹出獨特的價值，提升學生創新思維能力，促進學生對知識本質的理解。筆者在蘇科版七（下）《數學》第一章75節“多邊形內角和和外角和”教學時，曾與學生共同面對一次課堂中的“意外”生成，現將具體過程闡述如下。

一、問題及其說明

問題：如圖1，n邊形可以分成多少個三角形？它的內角和是多少度？填表：

說明：學生在探究出“三角形內角和是180°”的基礎上，進一步探究了四邊形、五邊形的內角和，學生已經掌握把多邊形轉化成三角形的方法，按照規律已能得出n邊形內角和。教材為提高學生思維的靈活性、創新性，給出了另外兩種計算方法。如圖2，圖3。（學生獨立思考，再合作交流之后，展示學生的計算方法）

學生1：如圖2（用實物投影儀展示）。

當公共頂點P點在n邊形A1A2A3…An內時，連接A1P，A2P，…，AnP，共分成n個三角形，由于多計算了以點P為頂點的周角，所以多邊形內角和應該是180°n-360°，可化為（n-2）·180°，結論相同。

學生2：如圖3（用實物投影儀展示）。

當公共頂點P點在n邊形A1A2A3…An的邊A2A3上時，連接A1P，A4P，…，AnP，共分成（n-1）個三角形，由于多計算了以點P為頂點的平角，所以多邊形內角和應該是180°（n-1）-180°，可化為（n-2）·180°，結論仍然相同。

接下來，師生共同分析學生1和學生2的思路，并結合原來的思路，共同概括出兩種方案的本質是把多邊形轉化成三角形內角和問題，但區別在于所有分成的三角形的公共頂點的位置不同。

二、學生的“意外”生成

教師：結合以上思路，你還有別的方法嗎？（教師試探性追問）

學生3：如圖4（用實物投影儀展示）

當公共頂點P點在n邊形A1A2A3…An外時，連接A1P，A2P，…，AnP，共分成（n-1）個三角形，由于多計算了△PA2A3的內角和，所以多邊形內角和應該是180°（n-1）-180°，可化為（n-2）·180°，結論仍然相同。

（其他學生們都很佩服學生3，開始主動思考其它方法）

學生4：如圖5（用實物投影儀展示）

當公共頂點P點在n邊形A1A2A3…An外且在邊A1A2的延長線上時，連接A3P，A4P，…，AnP，共分成（n-2）個三角形。此時，少計算多邊形內角∠A1A2A3，同時多計算∠A2A3P和∠A2PA3，由三角形外角和得：∠A1A2A3=∠A3A2P+∠A2PA3，所以仍得多邊形內角和為（n-2）·180°。

（學生爭先恐后發言，課堂氣氛異常活躍）

學生5：如圖6（用實物投影儀展示）

當點P點在n邊形A1A2A3…An外且在邊A3A4延長線的交點，同理圖5，易得多邊形內角和為（n-2）·180°。

（陷入冷靜思考中）

學生6：如圖7（用實物投影儀展示）

當公共頂點P點在n邊形A1A2A3…An外且是邊A1A2、A1A2的延長線交點時，連接A2P，A3P，A5P，…，AnP，共分成（n-3）個三角形。此時，少計算多邊形內角∠A1A2A3和∠A2A3A4，多計算∠A2PA3，由三角形外角和易得：∠A1A2A3+ ∠A2A3A4=∠A2PA3+180°，所以仍得多邊形內角和為（n-2）·180°。

學生7：圖8、圖9、圖10、圖11、圖12都同理圖7，易得多邊形內角和為（n-2）·180°。

（此時，班級掌聲雷動，學生激情高漲）

教師：二十世紀英國哲學家、數理邏輯學家伯特蘭·羅素說：在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。經過大家不懈的努力，找到了更多的新方法，掌聲是送給我們每個人。

三、教學啟示

一道原本平淡的課本結論的證明，卻引發了一次激情高漲，卓有成效的課堂研討，的確讓筆者感到“意外”。教學過程中，筆者沒有花大量時間讓學生對練習題進行機械重復的訓練，而是注重知識的發生、形成和發展過程，讓學生做到“知其然，知其所以然”，促進學生對知識本質的探究和理解，發揮教師的主導和學生的主體作用，筆者在教學過程中盡可能激發學生自由思考，鼓勵學生自信表達，讓學生淋漓盡致地展現了智慧和激情，也為他們今后進行創新思維活動注入了良好的情感體驗。高效而精彩的課堂，在于教師能否喚起學生強烈的求知欲望，點燃學生思維的火花。總之，教師應該用心去聆聽，觸摸教學，透視課堂，捕捉學生“意外”的思維和解法，有效利用生成資源，靈活重組教學思路，讓學生有更多的探索時間和空間，讓“意外”生成更多的教學價值。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教學教學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]陳方勇.一道作圖題引發的意外[J].中學數學參考，2016（12）.