分段Filipp ov系統的簇發振蕩及擦邊運動機理?

張正娣 劉亞楠 李靜 畢勤勝

1 引 言

實際工程系統中存在著大量的諸如干摩擦[1]、碰撞[2]、開關[3]等非光滑因素,導致相應的數學模型產生向量場的非光滑特性.而根據向量場光滑性程度的不同,非光滑系統一般可以被分為三類:1)非光滑連續系統,系統的向量場連續,而Jacobian矩陣不連續,如蔡氏電路系統[4];2)Filippov系統,系統的向量場和Jacobian矩陣不連續,而狀態空間連續,如干摩擦系統[5];3)非光滑脈沖系統,系統的向量場、Jacobian矩陣和狀態空間均不連續,如碰撞系統[6].

由于非光滑向量場存在著各種類型的非光滑分界面,使得軌跡產生了一些特殊的穿越分界面模式[7],從而導致整個系統出現復雜的動力學特性,而傳統的非線性分析方法無法解釋這些行為的產生機理[8].長期以來,非光滑系統復雜性及其機理分析一直是非線性動力學領域內的熱點和前沿課題之一[9].圍繞非光滑系統,國內外學者開展了大量的研究工作,相關結果大都是基于數值仿真得到的,如Kahan和Sicardi-Schifi no[10]討論了非光滑電路中的同宿分岔行為,Baptista[11]給出了雙渦卷系統中間歇現象等.而由于分析方法的不足,相關理論研究大都停留在平衡點和極限環的穩定性及其余維一分岔上.如對于穿越分界面的平衡點,以Leine為代表的學者們將微分包含理論[12]引入到其穩定性分析中,通過引入輔助參數,得到形式上光滑的平衡點穿越分界面時的向量場,根據其廣義Jacobian矩陣特征值隨輔助參數變化時穿越零值及純虛軸的情況,給出平衡點的不同非光滑分岔的形式及其分岔結構和行為[13];而對于極限環,則通過引入非光滑映射,得到相應的Floquet乘子,按照其穿越單位圓的形式,給出相應的非光滑分岔結構和行為[14].由于實際非光滑向量場特性的復雜性,加上高余維分岔及高維系統的復雜性,相關理論分析大都局限在低維系統的低余維非光滑分岔上[15].

同時,在實際工程中經常會涉及不同尺度的耦合,這些不同尺度可以是時間上的,如催化反應中存在著兩種不同反應速率之間的耦合[16],航空航天器中存在著快速的旋轉運動與相對較慢的平動之間的耦合[17];也可以是空間上的,如繩系衛星[18]和輸電塔線體系[19]中存在著剛柔耦合.不同尺度之間的耦合,使得無量綱模型出現不同量級向量場分量之間的耦合,導致系統產生特殊的動力學特性,通常表現為大幅振蕩與微幅振蕩之間的耦合[20].對不同尺度之間耦合導致的復雜行為的研究,最早可以追溯到Cardin等[21]在探索行星軌跡時建立的奇異攝動方程,但是,直到諾貝爾獎獲得者Hodgkin和Huxley[22]建立了兩快一慢的神經元模型,成功地再現了神經元的簇發放電行為以后,不同尺度耦合才引起了國內外學者的高度關注[23].但是,由于缺乏有效的分析方法,相關工作大都局限在現象報道和數值仿真上[24].直到Izhikevich[25]引入Rinzel的快慢分析法,才將相關研究提升到機理分析的層次.從那時起,大量的不同簇發振蕩及其機理分析的結果見諸報道,但大部分工作都是針對自治系統即時域上的不同尺度耦合開展的[26].

由于周期激勵會引起不同頻率參與系統的振蕩,而當周期激勵頻率與系統的固有頻率之間存在著量級差距,即存在頻域上的不同尺度耦合時,會導致系統產生類似的簇發振蕩行為[27],而頻域上的不同尺度耦合系統不存在明顯的快慢子系統.為此,本課題組提出了一系列相關的分析方法[28],得到了各種激勵模式下的簇發振蕩現象及其產生機理.

而對于周期激勵下的非光滑Filippov系統,當周期激勵頻率遠小于系統的固有頻率時,不同尺度耦合效應的研究工作尚不多見,不僅是由于Filippov系統本身的復雜性[29],同時,也是因為頻域上不同尺度耦合簇發振蕩的特殊性[30].因此,有必要開展相關的研究工作,探討非光滑Filippov系統的各種復雜運動及其產生機理.

為深入揭示非光滑Filippov系統的尺度效應,本文以相對簡單但非常經典的Duffi ng振子為例,通過引入對狀態變量的分段控制,適當選取參數,建立了頻域上兩尺度耦合的非光滑Filippov系統.考慮當周期激勵頻率遠小于系統的固有頻率的情形,將整個周期激勵項視為慢變參數,分析不同區域內及分界面上廣義自治系統的平衡點及其分岔,結合轉換相圖,得到了兩種典型參數條件下的不同簇發振蕩及相應的分岔機理.

2 數學模型

為便于說明非光滑系統中的尺度效應,現以經典的Duffi ng振子為例,引入對狀態變量的分段控制,可以建立如下的非光滑動力學模型

其中ω=A sin(?t),對應于周期激勵項,A表示振幅,g(x)=[sgn(x?1)?1]/2對應于分段控制項.顯然,系統的狀態相平面由非光滑分界面(記為Σ:={(x,y)|x=1})分為兩個光滑子區域,即區域D+:={(x,y)|x>1}和區域D?:={(x,y)|x<1},分別對應著不同的子系統.系統的軌跡在不同的區域內受不同子系統的控制,從而導致系統產生復雜的動力學特性,同時,當周期激勵頻率?遠小于系統的固有頻率ωN時,即??ωN,由于存在頻域上的不同尺度耦合,會導致諸如簇發振蕩等特殊的非線性行為.在此必須指出的是,與線性系統不同,非線性系統的固有頻率與系統的狀態相關,如對于系統(1),其固有頻率可以由設定A=0時相平面上平衡點相應一對共軛特征值的虛部決定,并隨著狀態變量x的變化而變化.

3 含慢變參數廣義自治系統的平衡點及其分岔分析

當?? ωN,也即周期激勵頻率與系統固有頻率之間存在量級差距時,相應狀態變量主要按照固有頻率振蕩.在固有頻率對應的任一周期t∈ [t0,t0+2π/ωN]內,周期激勵項ω =A sin(?t)在ωA=A sin(?t0)和ωB=A sin(?t0+2π?/ωN)之間變化,可見ωA≈ωB,這說明ω在固有頻率的任一周期內變化很小.因此,可以把整個周期激勵項ω看作慢變參數,進而得到含慢變參數的廣義自治系統.從另外的角度,若把整個周期激勵項視為慢子系統,而把含慢變參數的廣義自治系統視為快子系統,快慢兩子系統的耦合構成兩尺度耦合系統(1).快子系統將決定系統的沉寂態和激發態的形式,而慢子系統則會對系統的軌跡起到調節作用.因此,首先需要分析快子系統即含慢變參數廣義自治系統的分岔特性.

由于非光滑分界面的存在,含慢變參數廣義自治系統在不同區域內表現為不同的形式.下面分析在不同區域中及非光滑分界面上該系統的分岔特性.

3.1 區域D±內的平衡點穩定性及分岔分析

在區域D±中,含慢變參數廣義自治系統的平衡點可以表示為E±=(x0±,0),其中x0±滿足

其穩定性由如下特征方程決定:

由(3)式可知,當μ >0,?α +3β[x0±+g(x0±)]2>0時,E±為穩定的平衡點.由于無量綱阻尼系數μ>0,不會產生Hopf分岔,而當滿足條件

相應特征值穿越零值時,平衡點失穩.由(2)式可知,系統的平衡線為典型的S形曲線,故系統可能會產生fold分岔,導致跳躍現象.

3.2 分界面上的非光滑分岔分析

由于系統向量場在分界面Σ:={(x,y)|x=1}上不連續,因此,軌線穿越分界面Σ :={(x,y)|x=1}時可能出現非光滑分岔,可以通過微分包含理論[12]來分析.引入輔助參數q,利用Clarke導數得到廣義Jacobian矩陣

其中J+,J?分別對應于區域D+和區域D?內平衡點相應的Jacobian矩陣,其廣義特征方程可以表示為

進而可知相應的特征根為:

同樣可知,在非光滑分界面上,不會產生Hopf分岔,而當

相應特征根穿越零值,在分界面可能會產生非光滑fold分岔,導致軌跡在非光滑分界面上的跳躍現象.

在區域D±內及分界面上的這些分岔行為將直接影響到系統的動力學特性,而這些分岔的產生與否和系統參數存在著密切的關系,為進一步說明相關的分岔特性,圖1給出了μ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01,β分別為β=0.5和β=2.0時,快子系統隨慢變參數ω變化的平衡曲線及其分岔特性,其中實線表示穩定解,虛線代表不穩定解.同時,紅色曲線表示該解雖然存在,但由于分界面所對應的子系統的限制,其解不可能實現,而藍色表示該解與相應子系統在同一定義域,是真實存在的.

圖1 μ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01時的平衡曲線及其分岔 (a)β=0.5;(b)β=2.0Fig.1.Equilibrium branches as well as bifurcation points forμ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01:(a)β=0.5;(b)β=2.0.

從圖1中可以看出,兩子系統所對應的平衡曲線均存在兩個fold分岔點,加上平衡曲線與分界面的交點,從而導致相應平衡曲線被分為性質不同的四段.如對于β=0.5時的E?曲線,可以分為四段,其中EB?1穩定,EB?2不穩定,且均能實現;而EB?3不穩定,EB?4穩定,但均不能實現.

在非光滑分界面Σ與平衡曲線的交點上,其相應的廣義Jacobian矩陣所對應的特征值分布定性相同,當平衡點穿越分界面時,在β=0.5時,q=2/3,而在β=2.0時,q=1/6,廣義特征值穿越零值,可能會產生非光滑fold分岔.

雖然表面上圖1(a)和圖1(b)兩種情形相似,但進一步分析可以發現,兩者存在著明顯的區別,在β=0.5時,隨著慢變參數ω的增加,相應的位于D?區域內的子系統存在著可以實現的穩定平衡曲線EB?1,該平衡曲線直到抵達Π2時才會產生fold分岔,而在D+區域內的穩定平衡曲線EB+4從ω變化到Π1時就會產生失穩,隨著ω的減小一直保持穩定.而當β=2.0時,在D?區域內的穩定平衡曲線EB?1當ω增加到Π1時就會失穩,而EB+4從ω變化到Π2時才會產生失穩.也就是說,當β =0.5時,在ω ∈ (?∞;+∞)區間內,存在著EB?1和EB+4之間變化的穩定平衡曲線,而當β=2.0時,在ω∈(?∞;WP1]區間內存在穩定的平衡曲線EB?1,而在ω∈[WP2,+∞)區間內存在穩定的EB+4,其中WP1和WP2分別對應于截面Π1和Π2時相應的ω值,滿足WP1

由于兩種情形下系統平衡曲線的性質在ω∈(WP1;WP2)區間上存在著本質的不同,從而導致系統可能會產生不同的尺度效應,下面分別探討這兩種情形下系統的不同振蕩行為及其產生機理.

4 簇發振蕩及其機理分析

為進一步揭示上述兩種情形下振蕩行為之間的本質區別,在此引入轉換相圖的概念[28].由于上述平衡曲線及其分岔分析都是基于將慢變量ω作為參數得到的,即給出了平衡曲線及分岔行為與ω之間的關系,而傳統的相圖給出的是不同狀態變量之間的關系,無法反映這些平衡曲線及其分岔對其振蕩行為的影響規律.因此,有必要引入能夠反映狀態變量與慢變量之間關系的轉換相圖.

傳統的相圖反映的是隨時間變化不同變量之間的關系,對于本文的系統模型而言,傳統相圖可以表示為Γ:≡{[x(t),y(t)],?t∈R},在此基礎之上,定義

為轉換相圖,即將ω視為廣義狀態變量,能夠描述狀態變量與慢變量ω之間的相互關系.

4.1 β=0.5

圖2 β=0.5時系統振蕩行為 (a)(x,y)平面上的相圖;(b)x的時間歷程Fig.2.Oscillatory behavior of system forβ=0.5:(a)Phase portrait on the(x,y)plan;(b)the time history of x.

圖2 給出了β=0.5時系統在(x,y)平面上的相圖及其相應的狀態變量x的時間歷程.從圖2(a)中可以發現,系統軌跡可以分為位于D±區域中的兩個部分,表現為分別趨于穩定焦點E±的逐漸收斂過程.當軌跡抵達E±時,由于慢變量的作用,軌跡產生跳躍現象而趨向分界面Σ,同時,在軌跡穿越分界面Σ時,存在非光滑行為.

從圖2(b)中相應的時間歷程可以發現,狀態變量x在大幅振蕩和微幅振蕩之間來回變化,分別對應于SP±和QS±,表現為典型的周期簇發振蕩特性,其振蕩周期與ω完全一致,也即T=2π/?.

為揭示這一簇發振蕩的產生機理,圖3給出了相應的轉換相圖及其與平衡曲線之間的疊加圖.從圖3(a)中可以非常清楚地看出,按照分界面的劃分,系統軌跡可以分為分別位于區域D±的兩部分,不同區域中的軌線隨著慢變量ω的變化,又分別存在著趨于穩定平衡點的漸進過程和從平衡點產生跳躍的過程.

圖3 β=0.5時簇發振蕩 (a)(ω,x)平面上的轉換相圖;(b)轉換相圖與平衡曲線的疊加圖Fig.3.Bursting oscillatory forβ=0.5:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane.

為說明其振蕩機理,下面分析轉換相圖與平衡曲線的疊加圖(圖3(b)).假設軌跡從M1點出發,對應于慢變量ω取最小值ω=?5.0,由于M1位于區域D?內,因而軌跡受D?內子系統控制,而該子系統存在穩定的平衡曲線EB?1,因此軌跡幾乎嚴格沿EB?1運動,表現為沉寂態QS?,直到軌跡抵達分岔點FB?2,產生跳躍現象.由于此時軌跡依然受D?內子系統控制,軌跡將跳向D+區域內的穩定平衡曲線EB?4.在該跳躍過程中,當軌跡穿越分界面Σ后,軌跡轉為受D+內子系統控制,而該子系統在D+區域內存在穩定的平衡曲線EB+4,因而軌跡將逐漸振蕩趨于穩定平衡曲線EB+4.由于從分界面到EB+4之間存在一定的距離,而EB+4為焦點型平衡曲線,因此存在著振蕩趨于該穩定平衡曲線的過程,導致大幅振蕩,對應于激發態SP+.隨著ω的繼續增加,激發態的振蕩幅值逐漸減小,直至軌跡穩定于平衡曲線EB+4上,進而幾乎嚴格沿該平衡曲線運動,進入沉寂態QS+.

當軌跡運動到M2點,也即ω增大到最大至ω=+5.0時,隨著時間的增加,ω將逐漸減小,使得軌跡掉頭,此時軌跡受D+區域內子系統控制,因此幾乎嚴格沿EB+4反向運動.當軌跡穿越分界面Σ進入D?區域時,軌跡轉而受D?區域內子系統控制,因此軌跡將趨向焦點型平衡曲線EB?1,導致大幅振蕩,對應于激發態SP?.隨著ω的繼續減小,其激發態的振蕩幅值也逐漸減小,直至軌跡穩定到平衡曲線EB?1上,進入沉寂態QS?,并幾乎嚴格沿EB?1運動,直到軌跡抵達出發點M1,完成一個周期的振蕩.

必須指出的是,軌跡兩次穿越分界面的性質不同,在ω增加過程中的穿越,是由于D?區域中平衡曲線的光滑fold分岔引起的,而在ω減少過程中的穿越,是由于軌跡抵達平衡曲線與分界面交點時產生非光滑fold分岔引起的,這不僅可以從上述的微分包含理論說明,也可以從軌跡的跳躍過程得到證實.這也導致在兩區域D±內,產生激發態的機理是不一樣的.在D?區域內,由于fold分岔,使得軌跡跳向D+區域內的另一穩定平衡曲線,而在這一過程中,一旦軌跡穿越分界面,就會產生趨向D+區域內子系統的穩定平衡曲線.而在D+區域內,當軌跡沿穩定平衡曲線運動到分界面時,由于控制系統發生突變,導致軌跡跳向D?區域內子系統的穩定平衡曲線.同為跳躍現象,一種是由光滑fold分岔引起的,而另一種是由非光滑fold分岔引起的.另外,兩激發態分別對應于從軌跡和分界面交點處向不同區域內子系統的穩定平衡點的收斂的暫態過程,因此其相應簇發振蕩的頻率可以由焦點型平衡點特征值的一對共軛復根的虛部決定.

另外,當非光滑分界面為快子系統的平衡曲線時,在其相應的簇發振蕩中存在著擦邊運動行為[31],非光滑分岔決定著擦邊運動的開始和終結及軌跡穿越分界面的模式[32].而在本文中,由于子系統的平衡曲線直接穿越非光滑分界面,兩子系統的穩定平衡曲線及其相應吸引域分別存在于不同的區域中,導致了其簇發振蕩中的擦邊運動,并直接決定著擦邊運動的開始和結束.

從幾何結構上,該簇發振蕩表現為圍繞不同平衡點的振蕩,因此,可以稱為周期非光滑點-點型簇發振蕩.而從分岔形式上,其沉寂態向激發態的轉換分別由光滑fold分岔和非光滑fold分岔引起,因此,該簇發振蕩也可以稱為周期光滑fold/非光滑fold簇發.

4.2 β=2.0

由上述分析可知,增加參數β值,會導致平衡曲線的變化,從而可能會改變振蕩吸引子的結構.圖4給出了β=2.0時系統在(x,y)平面上的相圖及其相應的狀態變量x的時間歷程.

從圖4中可以看出,系統軌跡雖然也是圍繞兩平衡點振蕩,但是其穿越非光滑分界面的方式發生了很大的變化,不僅表現在穿越次數的增加,同時,在y軸上穿越范圍也顯著變化.特別地,由圖4(b)可知,軌跡在非光滑分界面上發生了擦邊運動,這也可以從圖5中狀態變量x的時間歷程中得到證實.

從圖5中的時間歷程及其局部放大圖可以發現,其軌跡依然表現為周期振蕩,且同樣包含兩個沉寂態QS±和兩個激發態SP±.然而與β=0.5時相比,發生了明顯的變化,主要表現在:1)軌跡存在著多次穿越分界面的非光滑行為,參見圖4(b)和圖5(c);2)軌跡會沿分界運動一定的時間區間,即產生擦邊運動,參見圖5(d);3)兩區域中激發態的振蕩周期發生變化,參見圖5(b)和圖5(c).

導致激發態周期發生變化的主要原因是,對于圖5(b)中的激發態,由于整個激發振蕩的過程不穿越分界面,其振蕩頻率可以由位于區域D?中的平衡曲線所對應特征值共軛復根的虛部近似,經計算可知兩特征值為λ1,2=?0.1±2.16i,從而可得激發態振蕩頻率的理論值近似等于2.16,這與圖5(b)中的數值仿真結果?1=2π/T1=2.09符合良好.而對于圖5(c)中的激發振蕩,其相應軌跡來回穿越分界面Σ,因此其振蕩頻率分別由兩部分組成,即分別由從分界面到位于D±中不同吸引子振蕩趨近部分組成,經計算其振蕩的理論解近似為3.17,這也與數值仿真結果?2=2π/T2=3.14非常一致.

為進一步說明β=2.0時振蕩行為的產生機理及上述兩種不同模式簇發振蕩之間的區別,圖6給出了β=2.0時簇發振蕩的轉換相圖及其與平衡曲線的疊加圖.從圖6(a)中可以看出,系統軌跡在D±區域內分別圍繞兩穩定平衡曲線振蕩,兩振蕩過程之間出現了兩種形式的連接方式,一是跳躍連接,二是先沿非光滑分界面上運行一段時間后,再產生跳躍連接.

圖4 β=2.0時系統振蕩行為 (a)(x,y)平面上的相圖;(b)(x,y)平面上的局部放大圖Fig.4.Oscillatory behavior of system forβ=2.0:(a)Phase portrait in the(x,y)plan;(b)the locally enlarged parts in the(x,y)plan.

圖5 β=2.0時x的時間歷程及其局部放大圖Fig.5.Time history of x forβ=2.0 and its locally enlarged part.

圖6 β=2.0時的簇發振蕩 (a)(ω,x)平面上轉換相圖;(b)轉換相圖與平衡曲線疊加圖及局部放大圖(c)和(d)Fig.6.Bursting oscillatory for β =2.0:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane and the locally enlarged parts of the overlap in(c)and(d).

為進一步說明簇發振蕩模式的機理,下面分析其轉換相圖與平衡曲線之間的疊加圖.依然假設系統軌跡從M1點出發,對應于慢變量ω取最小值ω=?5.0(參見圖6(b)),由于M1點在D?區域內,因而軌跡受D?內子系統控制,而該子系統存在穩定的平衡曲線EB?1,因此軌跡幾乎嚴格沿EB?1運動,表現為沉寂態QS?,直到軌跡抵達與分岔點FB?2點對應相同ω值的M3點(參見圖6(c)),由fold分岔產生跳躍現象.由于此時軌跡依然受D?內子系統控制,軌跡將跳向D+區域內的穩定平衡曲線EB+4.

4.2.1 圍繞分界面振蕩機理

在該跳躍過程中,當軌跡穿越分界面Σ后,軌跡轉為受D+內子系統控制,而該子系統僅在D?區域內存在穩定的平衡曲線EB+3,因而軌跡又穿越分界面返回D?區域,轉為受D?內子系統控制,同樣,該子系統僅在D+區域內存在穩定的平衡曲線EB?4,軌跡只能穿越分界面回到區域D+.由于不同區域中子系統的穩定平衡曲線與該子系統分別位于不同的D±區域內,因此,控制軌跡的系統在兩子系統之間交替變化,從而導致軌跡來回穿越非光滑分界面,形成這種特殊形式的激發態SP+.

隨著ω的繼續增加,激發態的振蕩幅值逐漸減小.當軌跡抵達M5點時(參見圖6(d)),一旦軌跡進入區域D+后,由于控制系統與其相應的穩定吸引子均位于同一區域D+內,因此軌跡將逐漸穩定于相應的穩定平衡曲線EB+4上,進入沉寂態QS+(參見圖6(d)).當軌跡幾乎嚴格沿穩定平衡曲線EB+4運動到M2時,即對應于ω取最大值ω=+5.0,隨著時間的繼續增加,ω將逐漸減小,從而導致軌跡幾乎嚴格沿EB+4反向運動(參見圖6(b)).當軌跡運動到穩定平衡曲線與分界面的交點,也即截面Π2上的M5點時,隨著ω的繼續減小,會產生擦邊運動(參見圖6(d)).

4.2.2 擦邊運動機理

當軌跡運動到分界面上的M5時,由上述分析可知,當ω取值范圍在兩截面Π1和Π3之間時,控制軌跡的系統和其所對應的穩定平衡曲線分別位于不同D±區域內,一旦軌跡穿越分界面則必將反向返回,而在M5點軌跡與分界面之間的距離為零,因此在兩子系統的交替作用下,軌跡只能駐留在分界面上,從而導致軌跡的擦邊現象.

當軌跡沿分界面擦邊運動到位于截面Π3與分界面的交點,即圖6(c)中的M6點時,一旦軌跡進入D?,由于控制軌跡的子系統與相應的穩定平衡曲線均位于同一區域D?內,因此,軌跡將跳向穩定平衡曲線EB?1,由于分界面與焦點型穩定平衡曲線EB?1之間存在一定的距離,從而導致大幅振蕩趨近過程,產生激發態SP?.隨著ω的繼續減小,軌跡的振蕩幅值也將逐漸減小,直到軌跡穩定于平衡曲線EB?1上.當軌跡幾乎嚴格沿穩定平衡曲線EB?1運動到出發點M1時,完成一個周期的簇發振蕩.

4.2.3 擦邊運動時間

顯然,當ω取值位于兩截面Π1和Π3之間時,會產生擦邊運動,因此擦邊運動的時間可以根據ω從截面Π1變化到截面Π3所需的時間來近似.從圖7中可以得到擦邊運動時間的理論近似值為TC=19.42,而從其相應數值計算中的時間歷程(圖5(d))可以得到相應擦邊運動的時間為TS=18.63,兩者符合良好.

從幾何結構上,該簇發振蕩依然為周期非光滑點-點型簇發,而從分岔機理上,該振蕩則為周期非光滑fold-sliding簇發振蕩.

從上述不同參數條件下系統行為的分析可以發現,快子系統的平衡曲線及其相應的分岔特性不僅直接影響到系統的簇發振蕩形式,其與分界面之間的關系也會影響簇發振蕩軌跡穿越分界面時的動力學行為.

圖7 ω在兩截面Π1和Π3之間的變化情況Fig.7.The change ofωbetweenΠ1 andΠ3.

5 結 論

周期激勵下Filippov系統存在頻域上不同尺度耦合時會產生各種簇發振蕩行為.周期激勵頻率遠小于系統的固有頻率的情形,可以將整個周期激勵項視為慢變參數,從而得到相應的快子系統,即廣義自治系統.非光滑分界面將整個狀態平面劃分為不同的區域,隨慢變量的變化,在各個區域中子系統存在著不同的平衡曲線及分岔特性.同時,在非光滑分界面上,平衡點也會產生相應的非光滑分岔行為,這些平衡曲線及分岔特性,不僅影響整個激勵系統簇發振蕩的結構,也會影響軌跡在分界面上的行為.必須指出的是,在系統運動過程中,當控制子系統與相應穩定平衡曲線在同一區域時,軌跡將逐漸穩定于該平衡曲線,而當控制子系統與相應穩定平衡曲線在不同區域時,軌跡將產生穿越非光滑分界面的行為.其穿越方式與穩定平衡曲線的具體分布密切相關,在不同條件下,會產生直接穿越現象,也會產生沿分界面的擦邊運動,其產生機理可以通過相應子系統及其平衡曲線的性質得到.

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