基于數學理念，開展定理探究
——關于“探索三角形全等的條件”課的教學思考

☉江蘇省昆山市婁江實驗學校 胡 俊

三角形的全等條件是初中數學非常重要的知識內容，是后續幾何證明和計算的有效方法，也是整個幾何知識學習的基礎，對于學生解題能力的提升有著重要意義.“探索三角形的全等條件”第1課時是蘇科版八年級上冊第一章的內容，其知識基礎和探究方法可以為后續的全等條件探究提供參照和借鑒，下文將對其教學模式和研究方法進行深入思考.

一、基于數學聯系的知識定位

數學學習的前提是理解數學，把握脈絡，即對于所學知識能夠準確定位，明確其在整個數學體系中的地位.因此在教學“探索三角形全等的條件”時需要對知識學習的意義和影響進行一個系統的概括，并從知識聯系性角度對所學內容的前后聯系進行總體論述，使學生對所學內容有一個較為準確的定位，尤其是與本節內容相關的知識需要在教學初始引導學生進行回顧.

“探索三角形全等的條件”第1課時，是該節內容的起始課，前兩節已經學習了“全等圖形”和“全等三角形”的相關知識，是對“定義——性質”到“判定”的一種推進，本節內容的講解是在全等三角形定義和性質的基礎上開展的進一步探究，是對全等三角形知識體系的一種補充，同時該節內容對于研究數學幾何，證明相關幾何問題有著重要的作用，這是對“探索三角形全等的條件”章節的總體定位，教學時需要向學生傳達.知識定位的另一個重要內容是把握知識聯系性，主要體現在對已學知識的復習，教學中需要重新喚起學生關于三角形全等的認知，需要注意的是不能簡單地、單方面地給出兩個全等三角形，需要從動態角度引導學生充分認識：無論圖形如何運動，全等的三角形依然是全等的，從而使學生對幾何全等產生全新的認識，即圖形全等僅與其自身的形狀有關，而與其所處的位置、如何移動沒有任何關系.如結合圖形運動的三大方式——平移、翻折、旋轉，給出多種情形的三角形全等，如圖1，讓學生重新思考每一組的兩個三角形有著怎樣的特點，以及怎樣的幾何關系，并詳細說明.該種引課方式是對舊知的強化，也是新知學習的鋪墊，有利用后續教學的開展.

圖1

從聯系性出發引導學生從知識生成與發展的角度來學習新知，有利于整個知識體系的構建，從而充分理解所學內容對于中學數學學習的重要意義，知識回顧的過程不僅有助于體系的構建，還可以充分了解學情，掌握學生對關聯性知識的掌握情況，從而及時調整教學方案，確保課堂教學順利推進.

二、基于研究方法的探索過程

數學教學的目的除了向學生傳授相應的知識，還有一個更為重要的目的，即培養學生獨立探究、自主學習的能力，后者是數學教學的終極目標.教學中培養學生的探究能力主要體現在教學探究的過程中，需要依托教學內容，采用合理的研究方法，使學生經歷科學的探究過程，最終獲得知識、方法、思想等多方面的提升.

方法和思想是以基礎知識為載體的，隱形于知識本身及學習過程中，單純地依靠教學的說教無法實現對其本質的詮釋，需要在教學中合理設計探究環節，使學生親身經歷，獨立體會，逐步感悟，因此教學“探索三角形全等的條件”內容需要采用探究型、過程式的教學模式，結合科學的研究方法，通過問題的遞進設計，讓學生在解決問題的過程中獲得能力的提升.以第1課時全等條件“SAS”判定為例，首先在教學中需要基于分類討論思想使學生對新知中兩個三角形的幾種情形加以思考：①兩個三角形有一對元素相等，則兩者是否一定全等？②有兩對元素分別相等，則兩者是否一定全等？③有三對元素分別相等，則兩者是否一定全等？然后采用列舉法讓學生對每種情形可能出現的元素進行列舉，如情形一：一對邊相等、一對角相等；情形二：兩對邊相等、一對邊一對角相等、兩對角相等；情形三：三對邊相等、兩對邊一對角相等、一對邊兩對角相等、三對角相等.在列舉的過程中可以類比計數線段按照端點順序的方式，采用由邊到角逐步增減的方式進行，而對于簡單命題的驗證，可以采用舉反例的方法來加以否定.通過這樣的方式使學生充分體會分類思想、類比思想、列舉法、舉反例在數學研究中的重要作用，從而加深對思想方法的認識.而對于“SAS”判定的探究可以采用由特殊到一般的思想，結合圖形對其進行驗證，設置活動：

活動與思考1：嘗試僅用刻度尺在一張長方形白紙上剪下兩個可以完全重合的直角三角形，思考確定兩個直角三角形全等的基本元素是什么.

活動與思考2：給出圖2所示的三個三角形：△ABC、△DEF、△MNP，根據已有的邊和角的信息，嘗試判斷三角形是否可以完全重合，思考確定兩個三角形全等的基本元素是什么.

圖2

活動與思考3：按照以下步驟，利用刻度尺和量角器繪制△ABC：①畫一角∠MAN，②在邊AM上取AB=a，在邊AN上取AC=c；③連接BC.將所畫三角形剪下來，與其他同學比較，看是否重合，思考確定兩個三角形全等的基本元素是什么（.如圖3）

圖3

上述活動首先給出了直角三角形的全等判定，學生可以猜想到“邊角邊”的判定條件，之后的活動將其推廣到一般的三角形，學生可以得出基本結論，最后的實踐活動則是對結論的驗證.由特殊三角形到一般三角形，逐步遞進，最終總結出三角形全等的“邊角邊”的判定條件，在活動中滲透著由特殊到一般的研究方法，以及數形結合的思想方法，引導學生體驗探究過程，體驗思想方法對于幾何研究的意義.

而探索三角形全等“邊角邊”判定條件的最后環節是對判定定理的文字語言和幾何語言的對應轉化，這其中包含著數學的轉化思想和對應方法.

定理的文字表述：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（“邊角邊”）.

定理的幾何表述：如圖4所示，在△ABC和△A′B′C′中，

基于數學研究方法的教學設計，首先，在問題探究過程中具有較強的邏輯性，符合學生的認知規律；其次，問題設計具有很強的引導性，可以對教學過程中學生的認知進行矯正；再次，由于思想方法的滲透使得活動環節更為直觀具體，有利于學生充分理解較為抽象的知識，并將其內化吸收.總體上來說，研究方法的滲透是對學生思維的一種引導和提升.

圖4

三、基于本質探究的問題對話

在數學的教學探究中離不開問題的設計，問題設計一般存在一定的關聯性，如遞進追問、關聯追問等，一系列的問題設計都是為教學內容來服務的，“探索三角形全等的條件”一課同樣不例外，需要在教學中將問題與知識生成進行有效整合，實現知識由淺入深、由表象到本質的剖析.

例如，學案的開始階段可以設置問題，讓學生思考之前學習了哪些全等三角形，學生很容易就可以列舉出一般的三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形等；然后，設置問題，讓學生思考這些三角形都存在哪些全等性質，即對應邊相等、對應角相等；最后，設置問題，讓學生思考如何判定一對三角形是全等三角形.學生之前理解的圖形全等僅僅是通過直觀的疊放重合來判斷，而問題的設計則逐步深入到依靠幾何元素來分析三角形全等，這是由表象向全等本質的一種遞進追問，也是利用問題向教學內容靠攏的一種方式.

又如，探究全等三角形幾對元素相等可以判斷全等的問題設計上，問題設計由一對元素、兩對元素最后遞進到三對元素.對于前面兩種情形學生很容易根據經驗，通過舉反例加以否定，而最后關于三對元素判定全等的追問則是向判定定理的逼近，整個問題設計也是由簡單到復雜，層層遞進，引導學生深入思考.探究過程中的活動設計同樣是對定理本質的挖掘，活動1利用特殊的直角三角形全等使學生得出了“邊角邊”的猜想，最后通過探究一般的三角形，并結合數學上常用的幾何證明方式——數形結合，實現了定理的論證，由特殊到一般的思想實質上就是一種對知識本質的深入剖析.

數學教學是一種技巧性很強的活動，不僅體現在內容上，同樣體現在在教學過程中的問題設計上，問題的設計是為教學目的服務的，而教學的目的是使學生掌握知識內容，理解知識本質，因此整合了知識本質的問題設計更有利于學生思考，理解知識的內涵.另外由于問題設計的具有層次性和邏輯性，學生的思維也在思考中獲得了提升.

四、寫在最后

就過程本身而言，對三角形全等條件的探究是數學演繹推理的過程，探究中的思維過程、研究方法和思想方法對于整個數學幾何的證明都十分重要，其教學模式也可以推廣到幾何的其他知識學習上.教學中需要明確知識內容的定位，結合研究方法開展定理探究，問題設計要逐步揭露知識本質，整個教學過程的設計要注重邏輯推理和研究方法的滲透，問題的設計要有引導作用，使學生在互動、開放的探究課堂中形成良好的探究思維.

1.單凈璇.深究尺規作圖，“牽出”全等三角形——全等三角形（第1課時）教學與思考［J］.中學數學（下），2017（12）.

2.蔡映紅.教學加工，讓教材“活”起來——以蘇科版八年級上“1.3探索三角形全等的條件（1）”為例［J］.中學數學（下），2015（12）.

3.黃益維，胡玲君.簡約設計，凸顯本質——基于“學為中心”教學理念下“全等三角形復習”的教學設計與評析［J］.中學數學教學參考，2017（18）.

4.吳增生.讓優秀學生從事追根溯源和邏輯建構活動——全等三角形判定拓展性課程開發和教學嘗試［J］.中學數學教學參考，2016（17）.H