關(guān)于“角”一課的主線構(gòu)建與設(shè)計(jì)
——以蘇科版“角”第1課時(shí)的教學(xué)為例

☉江蘇省南京市第五十中學(xué) 許天樞

數(shù)學(xué)的概念認(rèn)識(shí)和知識(shí)學(xué)習(xí)是螺旋上升的發(fā)展趨勢(shì)，即對(duì)于知識(shí)的理解和掌握程度是不斷深入，由表象到本質(zhì)的遞進(jìn)過(guò)程，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)角的相關(guān)概念，對(duì)其有了一定認(rèn)識(shí)，而初中階段是在其基礎(chǔ)上的深層學(xué)習(xí)，不再停留于形象的表象認(rèn)識(shí)，而將定性的、定量的、從幾何角度加以學(xué)習(xí)，下文將對(duì)“角”一課開(kāi)展教學(xué)反思，構(gòu)建教學(xué)主線.

一、如何構(gòu)建研究主線

“角”是學(xué)生幾何入門(mén)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵圖形，圖形內(nèi)容研究方案的確定，以及主線的構(gòu)建對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)也有一定的啟示意義，因此課堂環(huán)節(jié)的編排上需要進(jìn)行合理處理，構(gòu)建較為系統(tǒng)的教學(xué)主線，既要保證教學(xué)內(nèi)容的完整性，又要確保學(xué)生課堂思維的連貫性.

本節(jié)課的主題——角，是一種較為特殊的基本圖形，不僅有特有的形狀，還具有一定的大小，是數(shù)與形的結(jié)合與統(tǒng)一.教學(xué)目標(biāo)的定位也是基于上述兩點(diǎn)來(lái)設(shè)定的，要求全面理解角的基本概念和表示方法，認(rèn)識(shí)角的大小關(guān)系，以及時(shí)鐘上度、分、秒與角度的單位換算，總體概括就是學(xué)習(xí)角的幾何表示和大小關(guān)系.而課堂教學(xué)體系的構(gòu)建也應(yīng)是基于教學(xué)目標(biāo)和核心內(nèi)容.另外，在教學(xué)路線的設(shè)計(jì)上，需要注重邏輯性和連續(xù)性，引導(dǎo)學(xué)生從直觀向抽象、由感性到理性、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜來(lái)學(xué)習(xí)角的相關(guān)知識(shí)，從接觸角的模型開(kāi)始，逐步學(xué)習(xí)幾何角的概念、表示、大小及性質(zhì)等知識(shí).知識(shí)之間是一種逐步深入，遞進(jìn)生長(zhǎng)的過(guò)程.教學(xué)“角”的第一課時(shí)需要使學(xué)生首先掌握角的定義和表示方法，可以從知識(shí)生長(zhǎng)的角度將核心內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建如下的鏈?zhǔn)浇虒W(xué)主線：角的實(shí)物模型——角的幾何圖形——角的文字語(yǔ)言——角的符號(hào)表示.首先，從生活中引入角的模型，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)角；其次，再對(duì)圖形角進(jìn)行抽象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何角；然后，引導(dǎo)學(xué)生用文字語(yǔ)言描述角，掌握角的定義；最后，探索角的符號(hào)表示，使學(xué)生掌握角的表示方法.這樣的教學(xué)主線實(shí)現(xiàn)了知識(shí)內(nèi)容的邏輯性串聯(lián)，有著較高的整體性，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

上述課堂主線的構(gòu)建是基于知識(shí)聯(lián)系與知識(shí)生長(zhǎng)，充分體現(xiàn)了知識(shí)的整體性，按照這樣的主線引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展教學(xué)，學(xué)生可以充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握?qǐng)D形角，并從學(xué)習(xí)過(guò)程中積累幾何圖形的研究經(jīng)驗(yàn).

二、如何開(kāi)展主線內(nèi)容

教學(xué)主線的構(gòu)建是對(duì)“角”研究方向的總體確定，是對(duì)教學(xué)大綱的思考貫徹，最終的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成還需要對(duì)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行精化設(shè)計(jì)，采用合理的教學(xué)方式，實(shí)現(xiàn)環(huán)節(jié)推進(jìn)的自然順暢，環(huán)節(jié)開(kāi)展時(shí)既需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還要在設(shè)計(jì)上有承接的效果，使各環(huán)節(jié)有較好的銜接，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng).

“角”一課的第一環(huán)節(jié)是“實(shí)物模型的抽象”，由于涉及實(shí)物，則需要從生活中引入學(xué)生所熟悉的含有角的物品，并且所含角需要有著顯著的特點(diǎn)，角包含靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種狀態(tài)，則實(shí)物角的選取也應(yīng)盡量從這兩方面來(lái)舉例，如給出靜態(tài)的水壺、動(dòng)態(tài)的時(shí)鐘，以及可以實(shí)現(xiàn)兩者切換的剪子，如圖1，引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)物中形成的角，并參展實(shí)物讓學(xué)生自己繪制一個(gè)角，通過(guò)觀察與實(shí)踐兩種方式，使學(xué)生對(duì)角有一個(gè)較為直觀的認(rèn)識(shí).教學(xué)的第二環(huán)節(jié)則是“角的幾何圖形”，即從實(shí)物中抽象圖形角，幾何抽象應(yīng)從靜態(tài)的角度進(jìn)行.可以結(jié)合學(xué)生之前所學(xué)的邊、定點(diǎn)、相交等知識(shí)，將角進(jìn)行拆分，首先抽象實(shí)物繪制一個(gè)角，讓學(xué)生觀察角的構(gòu)成元素及構(gòu)成特點(diǎn)，即角具有兩條邊和一個(gè)頂點(diǎn)，并且兩條邊有一個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)這樣的方式使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何角.

圖1

圖2

而對(duì)于第三個(gè)環(huán)節(jié)“角的文字語(yǔ)言”，則是引導(dǎo)學(xué)生用文字語(yǔ)言來(lái)定義角，該環(huán)節(jié)需要把握兩點(diǎn)，一是需銜接第二環(huán)節(jié)從角的形成過(guò)程來(lái)歸納，二是由于角具有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種狀態(tài)，則需要從兩種角度來(lái)概括，靜態(tài)的概括可以結(jié)合圖2分析形成過(guò)程，即思考角是兩條怎樣的射線形成的；動(dòng)態(tài)概括則可以結(jié)合圖3，從射線旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)分析，即角是由一條射線通過(guò)怎樣的方式獲得的.不同的概括角度可以獲得不同的定義，這樣的引導(dǎo)方式可以使學(xué)生較為全面地認(rèn)識(shí)圖形角.

圖3

圖4

角的另一個(gè)基本知識(shí)是對(duì)角表示方法的學(xué)習(xí)，即實(shí)現(xiàn)角的符號(hào)化，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般程序，也是由模型化向符號(hào)化轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教材中給出了角表示的三種方法，每一種都對(duì)應(yīng)著特殊的情形，因此在教學(xué)中需要對(duì)每一種情形進(jìn)行細(xì)致講解，如對(duì)于第一種表示方法“用三個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示”，如圖4，需要向?qū)W生傳達(dá)表示方法的適用情形，以及為何需要用三個(gè)字母而不可以用一個(gè)字母表示，從區(qū)分辨析、防混淆的角度向?qū)W生傳達(dá).另外，在向?qū)W生教學(xué)表示方法時(shí)需要給出每一種方法的注意事項(xiàng)，使學(xué)生準(zhǔn)確掌握角的表示方式，如用三個(gè)字母表示要將頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在中間，如圖4的角包含有∠ABC、∠ABD、∠DBC，所表示的均是不同的角，但每一個(gè)角的頂點(diǎn)字母均位于三個(gè)字母的中間.最后為方便學(xué)生學(xué)習(xí)和理解，可以對(duì)三種方法進(jìn)行歸納整理，如表1所示.

表1 角的表示方法

三、如何傳達(dá)技能思想

在“角”第1課時(shí)的教學(xué)中除了需要使學(xué)生掌握角的定義及角的表示等基礎(chǔ)知識(shí)，還需要借助教材內(nèi)容傳達(dá)一定的技能技巧以及思想方法，兩者均是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而后者是對(duì)學(xué)生能力層面的提升，教學(xué)中需要逐步滲透，逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生在潛移默化中獲得.角的教學(xué)中傳達(dá)的技能和思想包括語(yǔ)言規(guī)范技能、歸納概括技能和類比推理.

語(yǔ)言規(guī)范技能和歸納概括技能主要體現(xiàn)在對(duì)角的定義和表示方法學(xué)習(xí)上，幾何的文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言是幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在幾何元素學(xué)習(xí)的每一部分都需要貫徹“全面、準(zhǔn)確”的思想，文字語(yǔ)言概括需要確保定義的言簡(jiǎn)意賅，能夠體現(xiàn)出角所具有的幾何特點(diǎn)和形成過(guò)程.而圖形語(yǔ)言則需要確保角的表示符合標(biāo)準(zhǔn)，不會(huì)發(fā)生混淆.教學(xué)中需要使學(xué)生不僅掌握角的表示方式，還能夠合理選擇表示方法，如圖4所示的幾個(gè)角，可以提出如下問(wèn)題：是否可以用∠B來(lái)表示∠ABC？如果這樣表示，你是否可以判斷出表示的是哪一個(gè)角？又如圖5所示的角，讓學(xué)生思考是否可用∠α來(lái)表示∠ABC，兩種表示方法所表示的角是否一致.通過(guò)這樣鮮明的辨析，不僅可以使學(xué)生較好地掌握角的表示方式，還能獲得較為規(guī)范的語(yǔ)言技能.

圖5

圖6

而類比思想和推理能力的強(qiáng)化主要體現(xiàn)在對(duì)射線組成角的列舉中，即三邊及以上的射線可以構(gòu)成多個(gè)角，不同的角對(duì)應(yīng)著不同的字母表示，教學(xué)中可以指導(dǎo)學(xué)生計(jì)數(shù)圖形中的角來(lái)訓(xùn)練類比推理能力，如給出共頂點(diǎn)多角圖，如圖6，提出問(wèn)題：如何不重復(fù)不遺漏地列舉圖中的角？讓學(xué)生類比線段按照端點(diǎn)的順序列舉，對(duì)角的列舉按照邊的順序來(lái)列舉.又如對(duì)于射線組成角的計(jì)數(shù)，提出問(wèn)題：兩條共端點(diǎn)的射線可以組成1個(gè)角，三條射線可以組成三個(gè)角，那么n條射線可以組成幾個(gè)角呢？讓學(xué)生同樣類比計(jì)數(shù)三角形方式來(lái)進(jìn)行，圖7所示的三角形個(gè)數(shù)可以用于計(jì)數(shù)三條射線組成的角.這樣的類比推理不僅是一種知識(shí)拓展，還是思想上的拓展，在教學(xué)中合理引導(dǎo)可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

圖7

四、總結(jié)

“角”的教學(xué)是初中幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，對(duì)于后續(xù)幾何知識(shí)的深入學(xué)習(xí)影響重大，在課堂教學(xué)中可以從知識(shí)生成和聯(lián)系性角度構(gòu)建“實(shí)物模型——幾何圖形——文字語(yǔ)言——符號(hào)表示”的教學(xué)主線，并精化設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng)，并在知識(shí)傳授中培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言規(guī)范和歸納概括技能，提升學(xué)生的類比推理能力，使學(xué)生獲得知識(shí)和能力的雙重提升.

1.金敏.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下“角”的教學(xué)實(shí)踐與思考——以蘇科版七年級(jí)“角（第1課時(shí)）”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（10）.

2.馮鋒華.幾何入門(mén)教學(xué)的三個(gè)重視與一個(gè)“淡化”——以七年級(jí)“角（第1課時(shí)）”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（06）.

3.張宗余.看似平凡最崎嶇，成如容易卻艱辛——以整合多版本教材的“任意角”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（22）.

4.李昌官.“簡(jiǎn)單內(nèi)容”該如何“教”——以人教A版“任意角”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（31）.H