精準(zhǔn)定位課時(shí)目標(biāo)，對(duì)話(huà)追問(wèn)聚焦重點(diǎn)
——以“冪的運(yùn)算性質(zhì)”單元教學(xué)為例

☉江蘇省江陰市暨陽(yáng)中學(xué) 王優(yōu)華

不少教材上關(guān)于冪的運(yùn)算性質(zhì)都是分成3個(gè)課時(shí)依次組織學(xué)生學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方，由于每種運(yùn)算性質(zhì)的內(nèi)容不多，所以每節(jié)課老師們總要選配大量的練習(xí)或變式練習(xí)，搞深度變式、整體運(yùn)用、逆向求值等訓(xùn)練，把本來(lái)簡(jiǎn)單易學(xué)的冪的運(yùn)算性質(zhì)弄得繁冗不堪，有些教學(xué)更是人為拔高，弄得不少學(xué)生初學(xué)整式乘法時(shí)就被“當(dāng)頭一棒”.基于以上一些教學(xué)現(xiàn)狀，我們認(rèn)真研習(xí)了全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師倡導(dǎo)的“學(xué)材再建構(gòu)”，積極開(kāi)展整合教材內(nèi)容后的單元教學(xué)，把三種冪的運(yùn)算性質(zhì)作為第1課時(shí)探究的主要任務(wù)，整理呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生先見(jiàn)森林，再見(jiàn)樹(shù)木，也取得了較好的教學(xué)效果.本文先概述該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋?zhuān)峁┭杏?

一、“冪的運(yùn)算性質(zhì)”單元教學(xué)起始課概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 復(fù)習(xí)舊知

問(wèn)題1：35的意義及各部分的名稱(chēng)；3n（n為正整數(shù)）呢？a（nn為正整數(shù)）呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：復(fù)習(xí)乘方的定義，并讓學(xué)生理解an的兩種表示方法，它們可以相互轉(zhuǎn)化：

將兩種形式在黑板上板書(shū)，讓學(xué)生加深印象，并知道數(shù)的定義是具有“雙向”作用的.

問(wèn)題2：計(jì)算：（1）35×32；（2）35×312.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（2）題利用乘方定義很不方便，能不能找到一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法？

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 探究性質(zhì)

探究活動(dòng)1：同底數(shù)冪的乘法.

問(wèn)題3：計(jì)算：（1）am·a（nm，n都是正整數(shù)）.

教學(xué)組織：先安排學(xué)生自主探究，再小組內(nèi)合作交流，如果學(xué)生直接寫(xiě)出答案，要通過(guò)追問(wèn)，回到乘方的定義進(jìn)行一般的推證才是計(jì)算“成功”.最后概括出同底數(shù)冪的性質(zhì)：

am·an=am+（nm，n都是正整數(shù)）.

并給出文字表述：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.板書(shū)到相應(yīng)“主板區(qū)”.接下來(lái)給出一組跟進(jìn)練習(xí)，鞏固性質(zhì).

跟進(jìn)練習(xí)：計(jì)算：（1）35×312；（2）x2·x7；（3）y2n·y2n+1.

探究活動(dòng)2：冪的乘方.

問(wèn)題4：計(jì)算：（am）n（m，n都是正整數(shù)）.

教學(xué)組織：先安排學(xué)生自主探究后再小組合作交流，同時(shí)選兩名學(xué)生上臺(tái)板演.再分別請(qǐng)兩人講解他們的演算步驟與依據(jù)，突出算理的教學(xué)，通過(guò)教師追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“回到乘方的定義”進(jìn)行運(yùn)算的算理.最后概括出性質(zhì)：

（am）n=amn（m，n都是正整數(shù)）.

文字表述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.將符號(hào)表示與文字表述依次板書(shū)在“主板區(qū)”.然后給出一組跟進(jìn)練習(xí)，鞏固性質(zhì).

跟進(jìn)練習(xí)：計(jì)算：（1）（a2）4；（2）－（x4）3.

講評(píng)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)他們是如何計(jì)算的，比如計(jì)算時(shí)要先確定計(jì)算的類(lèi)型，再選擇對(duì)應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì).

探究活動(dòng)3：積的乘方.

問(wèn)題5：計(jì)算：（3）（ab）n（n為正整數(shù)）.

教學(xué)組織：分別安排學(xué)生自主探究、合作交流，概括出性質(zhì)：

（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）.

文字表述：積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.將符號(hào)表達(dá)與文字表述板書(shū)后給出跟進(jìn)練習(xí)：

跟進(jìn)練習(xí)：計(jì)算：（1）（－5b）3；（2）（－2xy3）4.

講評(píng)預(yù)設(shè)：可以投影或?qū)W生上臺(tái)的板演展示學(xué)生計(jì)算，并安排學(xué)生講解每一步的算理，如果學(xué)生仍然是回到乘方的定義進(jìn)行計(jì)算的，則要引導(dǎo)他們簡(jiǎn)化過(guò)程，懂得運(yùn)用剛剛歸納出來(lái)的冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 小結(jié)拓展

小結(jié)預(yù)設(shè)：先把前面探究、歸納得出的三個(gè)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)在板書(shū)區(qū)進(jìn)一步“關(guān)聯(lián)”起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生比較它們的不同；然后分別對(duì)它們進(jìn)行如下的性質(zhì)拓展：

（1）am·a·nap=am+n+（pm，n，p都是正整數(shù)）.

（2）［（am）n］p=amn（pm，n，p都是正整數(shù)）.

（3）（abc）n=anbnc（nn為正整數(shù)）.

這3條性質(zhì)的拓展不需要學(xué)生再詳細(xì)演算和證明，只要安排學(xué)生說(shuō)出結(jié)果，并給出簡(jiǎn)要的推理依據(jù)即可，最后指出：在以后的計(jì)算過(guò)程中，可以直接運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 當(dāng)堂反饋

1.判斷對(duì)錯(cuò)，如果錯(cuò)誤請(qǐng)改正：

（1）a·3a=a4；（ ） （2）（a2）3=a5；（ ）

（3）（2a）3=2a3；（ ） （4）（－3a2b）2=9a4b2（.）

2.計(jì)算：（1）m·3m6=________；（2）（－a2）3=________；

（3）（2ab）2=_________.

二、教學(xué)立意的闡釋

考慮到本課的教學(xué)內(nèi)容為三個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，內(nèi)容較多，故所安排的訓(xùn)練習(xí)題不多，教學(xué)用力點(diǎn)主要在三個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)和跟進(jìn)練習(xí)算理的追問(wèn)上，目的是讓學(xué)生懂得學(xué)習(xí)運(yùn)算的兩個(gè)重點(diǎn)：一是概括法則；二是運(yùn)用法則.以下就本節(jié)課的教學(xué)立意進(jìn)一步闡釋三點(diǎn)：

（一）深刻理解教學(xué)內(nèi)容，明確課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

本課教學(xué)內(nèi)容的“最近發(fā)展區(qū)”或上位知識(shí)是有理數(shù)乘方，在此基礎(chǔ)上我們整合教材，明確了本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)有以下幾點(diǎn)，比如能利用乘方的意義和運(yùn)算律推導(dǎo)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，包括同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方；能利用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算；在推導(dǎo)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)探究問(wèn)題的意識(shí)及良好的交流合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣.順便提及，對(duì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的明確是十分重要的課題，從大量的課堂觀(guān)察來(lái)看，有些課時(shí)教學(xué)內(nèi)容偏離主題，選題的內(nèi)容效度不當(dāng)，多是因?yàn)檎n時(shí)教學(xué)目標(biāo)的定位不準(zhǔn)或意識(shí)不強(qiáng)所致.比如，有些老師在同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)時(shí)，較多地選用了如下一些題型進(jìn)行訓(xùn)練：

1.已知xm－·nx2n+1＝x11，ym－·1y4－n＝y(tǒng)5，求mn2的值.

2.已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，試確定a，b，c之間的關(guān)系.

3.計(jì)算：（a－b）·（b－a）·3（a－b）2.

從課堂練習(xí)效果來(lái)看，以上3題在冪的運(yùn)算的第1課時(shí)訓(xùn)練時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生都會(huì)不太適應(yīng)，從而給學(xué)生在這章起始課學(xué)習(xí)時(shí)形成“陰影”.事實(shí)上，以上3題并不是本課時(shí)訓(xùn)練目標(biāo)，而是逆向運(yùn)用、整體運(yùn)用，都是后續(xù)習(xí)題課跟進(jìn)訓(xùn)練中的提高拓展內(nèi)容，作為起始課，是不宜人為拔高要求的.

（二）明辨教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，師生對(duì)話(huà)促進(jìn)理解

由于我們定位在單元教學(xué)的起始課，即冪的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)的第1課時(shí)，所以本課的教學(xué)重點(diǎn)是推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方）.例習(xí)題的訓(xùn)練特別是變式訓(xùn)練量不可能太大（主要原因當(dāng)然是教學(xué)時(shí)間）.這樣來(lái)看，在以上教學(xué)流程中，主要教學(xué)用時(shí)就是在三個(gè)冪的性質(zhì)的探究上，先安排學(xué)生直接運(yùn)算，不少學(xué)生會(huì)直接猜對(duì)答案，這時(shí)跟進(jìn)追問(wèn)，暴露他們的思維，引導(dǎo)學(xué)生回到乘方的定義推導(dǎo)、演算出答案，這個(gè)過(guò)程就是重視教學(xué)重點(diǎn)的教學(xué)舉措.也是示范了代數(shù)法則教學(xué)的一種研究方式，回到“更上位的定義”進(jìn)行推導(dǎo)演算，是生成、概括新法則的有效方法.

（三）適當(dāng)跟進(jìn)同類(lèi)練習(xí)，即時(shí)鞏固新學(xué)性質(zhì)

數(shù)式運(yùn)算的學(xué)習(xí)，一方面是法則的概括，二是運(yùn)用法則.由于本課在法則的生成上用力較多，教師不斷追問(wèn)讓學(xué)生回到乘方的定義推導(dǎo)性質(zhì)，所以不少學(xué)生在跟進(jìn)練習(xí)的計(jì)算時(shí)，也“回到乘方”再詳細(xì)計(jì)算，這時(shí)就需要提醒學(xué)生在法則生成之后，就可運(yùn)用法則簡(jiǎn)化表達(dá)，而不需要反復(fù)回到乘方的定義再詳細(xì)推導(dǎo)演算.這種“負(fù)遷移”與學(xué)生新學(xué)幾何性質(zhì)定理出現(xiàn)的問(wèn)題是一樣的，我們?cè)诮淌趲缀涡露ɡ砗螅簧賹W(xué)生不能即時(shí)運(yùn)用，比如角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）運(yùn)用全等三角形推導(dǎo)之后，學(xué)生并不能熟練運(yùn)用，而是反復(fù)回到全等三角形進(jìn)行證明，往往要經(jīng)過(guò)多次訓(xùn)練，才能減少“思維回路”式的推理證明.可見(jiàn)，作為冪的運(yùn)算單元教學(xué)的第1課時(shí)主要是以推導(dǎo)法則為主，后續(xù)習(xí)題課跟進(jìn)訓(xùn)練時(shí)，還需要防范學(xué)生可能產(chǎn)生的“思維回路”式運(yùn)算，可以通過(guò)捕捉一些典型“回路”解法進(jìn)行展評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生參加評(píng)析、簡(jiǎn)化和優(yōu)化.

1.章建躍.從數(shù)學(xué)整體觀(guān)看“同底數(shù)冪的乘法”的教學(xué)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013（7/8）.

2.顧燕萍，李衛(wèi)星.基于整體觀(guān)的單元教學(xué)實(shí)踐與思考——以“冪的運(yùn)算”新授課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.

3.湯志良.步步有據(jù)：推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運(yùn)算性質(zhì)”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

4.李桂玲.注重算理·引導(dǎo)概括·滲透思想——李庾南老師“整式乘法”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（10）.

5.彭忠榮.法則引入與注重算理：運(yùn)算教學(xué)的用力點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.H