例題解讀的全新視角*
——以蘇教版七上“4.3用一元一次方程解決問題之問題6”為例

☉江蘇省無(wú)錫市張涇中學(xué) 萬(wàn)志建

☉江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心 浦?jǐn)⒌?/p>

用方程知識(shí)解決生活實(shí)際問題，既說明了方程是解決生活中實(shí)際問題的重要模型，又說明了數(shù)學(xué)抽象、推理、建模是非常重要的基本思想，更說明了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，學(xué)以致用，體現(xiàn)方程價(jià)值，對(duì)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著舉足輕重的作用.“用一元一次方程解決問題”既是初中代數(shù)利用模型解決問題的起始教學(xué)，又是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此，教師如何科學(xué)、合理地引導(dǎo)學(xué)生分析信息要點(diǎn)，理清來(lái)朧去脈，構(gòu)建等量關(guān)系，找出方程模型顯得尤為重要.隨著江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)教材‘點(diǎn)全·線聯(lián)·面融式’課時(shí)解讀的實(shí)踐研究”［1］研究深入，我們發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融”的視角不僅可以幫助教師規(guī)范、全面、深入地解讀教材，同樣可以成為教師講清析透例題的利器.下面就以蘇教版七上“4.3用一元一次方程解決問題之問題6”為例，摭談如何從“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融”的全新視角解讀例題.

一、教材例題

問題6：一件夾克衫先按成本提高50%標(biāo)價(jià)，再以8折出售，獲利28元.這件夾克衫的成本是多少元？

二、解讀方法

（一）點(diǎn)全：理清問題情境內(nèi)涵，讓信息點(diǎn)水落石出

從教材課時(shí)解讀的角度，“點(diǎn)全”是針對(duì)一堂課而言的，如果只有一個(gè)顯性知識(shí)點(diǎn)，則要加強(qiáng)它與前后知識(shí)的聯(lián)系與認(rèn)識(shí)，形成對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)“前中后”的橫向全面認(rèn)識(shí)；如果顯性知識(shí)點(diǎn)有多個(gè)，則既要做到全面覆蓋，又要各自區(qū)分權(quán)重，突出重點(diǎn).除了要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)上述顯性表象認(rèn)識(shí)，還要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)本身包含隱性本質(zhì)的縱向認(rèn)識(shí)，理解知識(shí)的內(nèi)涵，構(gòu)建知識(shí)的前后左右多向聯(lián)系.

引申到例題解讀的角度，“點(diǎn)全”是指通過審題，理解例題所反映的具體含義，對(duì)例題中涉及的信息點(diǎn)收集要全面，整理要到位，分析要透徹，明確哪些量是已知的，哪些量是未知的；要讓學(xué)生深刻理解每一個(gè)信息所表示的意義及前后（橫向）左右（縱向）之間的關(guān)聯(lián)，使直接信息、間接信息、隱含信息水落石出.

如在本題的解讀中，教師可引導(dǎo)學(xué)生找出題中涉及的“成本、提高50%、標(biāo)價(jià)、打8折、售價(jià)、獲利”等所有量；也可以通過列表的方式讓這些量更清晰地呈現(xiàn).根據(jù)本題要求成本是多少，可設(shè)成本為x元，就可得到表1.

表1

盡管這些量在小學(xué)里已接觸過，但它們都是利潤(rùn)問題中的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，學(xué)生對(duì)這些術(shù)語(yǔ)及其之間的關(guān)系是否理解，直接影響到其對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析［2］，所以教師要留出時(shí)間，讓學(xué)生從不同的角度議議每個(gè)量所表示的意義，如成本可看作本錢或進(jìn)價(jià)；提高50%是指在成本的基礎(chǔ)上增加50%，或者成本的1.5倍；標(biāo)價(jià)指商品在出售之前標(biāo)明的價(jià)格，由于商家在出售商品時(shí)可能會(huì)采用打折或優(yōu)惠等措施促銷，所以標(biāo)價(jià)不一定就是售價(jià)；打8折是指在原有基礎(chǔ)上乘80%或者乘0.8，以此類推，如果打x折，則乘以x或0.1x；售價(jià)是指商品出售時(shí)的價(jià)格；獲利10是指賺取的利潤(rùn)等.在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生談?wù)勥@些量相互之間的聯(lián)系，如成本×（1+50%）=標(biāo)價(jià)、標(biāo)價(jià)×0.8=售價(jià)、售價(jià)一成本=利潤(rùn)等.

（二）線聯(lián)：緊扣明暗兩條主線，讓解題路水到渠成

從教材課時(shí)解讀的角度，“線聯(lián)”是針對(duì)一堂課而言的，對(duì)一個(gè)顯性知識(shí)點(diǎn)，我們要通過“知識(shí)從哪里來(lái)？怎樣形成的？學(xué)后有什么用？知識(shí)向哪里去”串起一條教學(xué)活動(dòng)（問題）主線，對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們要找到它們的相互關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)鏈.除了要抓住顯性知識(shí)這條明線，更要抓住本課的知識(shí)素材所隱含的數(shù)學(xué)思想方法暗線，以及在解決問題過程中所用到的思想方法，這才是最有價(jià)值的隱性知識(shí).

引申到例題解讀的角度，“線聯(lián)”既要關(guān)注解決問題所需要的全部知識(shí)，追求知識(shí)的前后連貫，把這些散落的珍珠串成美麗的項(xiàng)鏈，體現(xiàn)知識(shí)的整體性，又要把隱含在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法予以揭示，使“知識(shí)呈現(xiàn)—方法歸納—思想提煉”貫穿例題講解的全過程.讓數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的明暗兩條線組成尋找路徑解決問題的雙翼.

用方程解決實(shí)際問題的教學(xué)，要抓住一明一暗兩條主線，明線是指列方程解應(yīng)用題的一般步驟，即審清題意—設(shè)未知數(shù)—找出等量關(guān)系—列方程求未知數(shù)—檢驗(yàn)并寫出答案.而找出等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程是靈魂，又可以看作主線中的主線，通過等量關(guān)系中的各個(gè)量的研究，就可以串聯(lián)起各個(gè)量之間的關(guān)系，各類信息點(diǎn)也就自然生成匯聚，集點(diǎn)成線，奔向預(yù)設(shè)的解題思路；暗線是指在探索實(shí)際問題解決的過程中，讓學(xué)生體會(huì)如何把實(shí)際問題一步一步轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題（方程）的過程，通過數(shù)學(xué)化的過程培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的意識(shí)和能力，最終提高學(xué)生的思維品質(zhì).

用方程解決實(shí)際問題時(shí)，往往在題目中有多個(gè)等量關(guān)系，如上述的“成本×（1+50%）=標(biāo)價(jià)、標(biāo)價(jià)×0.8=售價(jià)、售價(jià)一成本=利潤(rùn)”等，因此，教師在例題的分析過程中，要先引導(dǎo)學(xué)生探尋所有等量關(guān)系，在所有這些等量關(guān)系每個(gè)量的分析過程中再來(lái)尋找那個(gè)關(guān)鍵等量關(guān)系.當(dāng)然，關(guān)鍵等量關(guān)系有可能不止一個(gè).如行程問題中，有時(shí)根據(jù)速度之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，有時(shí)根據(jù)路程或時(shí)間之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，這時(shí)我們就要選擇表達(dá)或計(jì)算更為簡(jiǎn)潔、方便的那個(gè)作為主要等量關(guān)系.關(guān)鍵等量關(guān)系一旦確定，所有的輔助等量關(guān)系必須為這個(gè)關(guān)鍵等量關(guān)系中的各個(gè)量表示鋪路搭橋，做好轉(zhuǎn)化歸順工作.如上述問題，可從以下步驟進(jìn)一步細(xì)化.

1.箭頭指示呈變化.

實(shí)際問題都是通過一些具體的數(shù)學(xué)情境來(lái)描述一些量的變化過程，而用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題就是要排除干擾、去情境化，提取主干實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象.對(duì)于上述銷售利潤(rùn)問題，都是成本（進(jìn)價(jià)）到售價(jià)、到利潤(rùn)的一系列變化過程，因此可以用箭頭直觀體現(xiàn)這些量的變化過程（.如圖1）

圖1

2.圖形分析顯關(guān)系.

通過前面的列表與箭頭指示，各信息點(diǎn)及相互之間的聯(lián)系也就非常清晰了，接下來(lái)要尋找它們之間的等量關(guān)系，可以通過如圖2所示的線形圖或柱狀圖分析，讓學(xué)生直觀地看出這些量之間的聯(lián)系，并找出能體現(xiàn)問題本質(zhì)的等量關(guān)系，即售價(jià)=成本+利潤(rùn)，這個(gè)等量關(guān)系也是利潤(rùn)類問題中最為常用的關(guān)鍵等量關(guān)系.

圖2

3.符號(hào)轉(zhuǎn)化現(xiàn)方程.

找到等量關(guān)系后，就要想方設(shè)法把等量關(guān)系中的各個(gè)量用代數(shù)式表示，相當(dāng)于把文字語(yǔ)言翻譯成代數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言，在表示過程中，有的可能直接是具體的數(shù)據(jù)，如獲利28元等，有的則要用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示，如上述的標(biāo)價(jià)與售價(jià)等.在這個(gè)表示過程中，就會(huì)用到那些其他的輔助等量關(guān)系，起到轉(zhuǎn)化橋梁作用，一旦找到方程實(shí)際上就已經(jīng)解決了這個(gè)問題.

（三）面融：透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)力水漲船高

從教材課時(shí)解讀的角度，“面融”是針對(duì)一堂課而言的，對(duì)顯性知識(shí)板塊層面，要理清與該板塊前后銜接的知識(shí)板塊是什么，與之相近知識(shí)板塊之間有何內(nèi)在聯(lián)系，哪些可類比參照，哪些可自然過渡.在此基礎(chǔ)上盡可能多加以融合，使之成為一個(gè)知識(shí)整體，形成知識(shí)結(jié)構(gòu).更主要的是，還要從四基、四能的角度加強(qiáng)知識(shí)、技能獲得所必須的思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的隱性理解，以此達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的完整度、深度和寬度.

引申到例題解讀的角度，“面融”指在分析例題時(shí)，首先要考慮學(xué)生原有的基礎(chǔ)，相關(guān)的知識(shí)方法儲(chǔ)備和已有的解題經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)例題的解析，要讓學(xué)生明晰解題思路、掌握解題方法、規(guī)范解答格式，為后繼學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)奠定基礎(chǔ)，積累經(jīng)驗(yàn).更重要的是，通過對(duì)例題的挖掘、變式、延伸，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，會(huì)把與之相關(guān)或相近的問題轉(zhuǎn)化到熟悉的例題范式上來(lái)，初步形成解題的通法.對(duì)于學(xué)優(yōu)生，還可以引導(dǎo)他們結(jié)合解題過程中出現(xiàn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、注意點(diǎn)，自己來(lái)改編或設(shè)計(jì)例題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，培養(yǎng)他們勇于質(zhì)疑、敢于嘗試、大膽創(chuàng)新的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)力.

對(duì)于上述例題的銷售利潤(rùn)類問題教學(xué)，不妨可以從以下兩個(gè)角度宏觀構(gòu)思，拾級(jí)而上，有效實(shí)踐.

1.顯性知識(shí)，自然銜接.

學(xué)生在解決利潤(rùn)類問題前，在小學(xué)里已經(jīng)接觸過有關(guān)利潤(rùn)問題的一些專業(yè)術(shù)語(yǔ)，對(duì)此已有初步的了解；對(duì)于用方程解決問題，在前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)了解了基本的解題步驟，掌握了一定的解決方法，積累了相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn).用方程解決銷售利潤(rùn)類問題只不過是換個(gè)情境，進(jìn)一步提升拓展學(xué)生解決問題的基本經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)能力，也為以后學(xué)習(xí)用二元一次方程組和一元二次方程解決問題等知識(shí)板塊奠定方法基礎(chǔ)和提供策略知識(shí).因此在上述例題的教學(xué)之前，可以讓學(xué)生先復(fù)習(xí)回顧有關(guān)利潤(rùn)問題的生活常識(shí)和用方程解決問題的方法步驟，在上述例題的教學(xué)之中，也可讓學(xué)生通過設(shè)二元等初步感知方程組模型，為后繼學(xué)習(xí)二次一次方程組暗埋伏筆，在上述例題的教學(xué)之后，還可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，只要是題目中含有等量關(guān)系的實(shí)際問題，一般都可以通過設(shè)未知數(shù)，通過建立方程模型加以解決.

2.隱性能力，提高發(fā)展.

上述過程主要強(qiáng)調(diào)了“四基”的掌握，其實(shí)還應(yīng)該在教學(xué)過程中，即在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中同步思考如何提高“四能”，進(jìn)而發(fā)展“六核”——數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).只有這樣的“點(diǎn)線面”融合的例題教學(xué)，才能讓學(xué)生的知識(shí)、技能融會(huì)貫通，思想方法領(lǐng)會(huì)感悟，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷積累，進(jìn)而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力水漲船高.

銷售利潤(rùn)類問題主要圍繞“成本、標(biāo)價(jià)、折數(shù)、售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率”幾個(gè)量展開，把“成本×（1+提價(jià)率）=標(biāo)價(jià)、”等四個(gè)等量關(guān)系融入新的生活情境，就可以形成難度不一的應(yīng)用問題，這些應(yīng)用問題的本質(zhì)是告知“成本、折數(shù)、售價(jià)（標(biāo)價(jià)）、利潤(rùn)”中任意三個(gè)量，求另一個(gè)量，有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)未知量，但我們通過對(duì)題目的深入挖掘就可以發(fā)現(xiàn)，有幾個(gè)未知量，我們便可找到幾個(gè)等量關(guān)系，解題時(shí)抓住關(guān)鍵等量關(guān)系，其他等量關(guān)系則起到消元、轉(zhuǎn)化的橋梁作用.明確了這一點(diǎn)，就可以引導(dǎo)學(xué)生跳出問題本身，自己設(shè)計(jì)利潤(rùn)問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí).

上述例題就可圍繞成本、打折、售價(jià)、獲利等量，已知其中的三個(gè)量，求其他量，對(duì)例題進(jìn)行改編.如：“一件夾克衫成本為140元，提高50%標(biāo)價(jià)，再打折出售，獲利28元，求這件夾克衫打了多少折？”或“一件夾克衫成本為140元，提價(jià)后再打8折出售，獲利28元.求提價(jià)的百分?jǐn)?shù).”等等.當(dāng)然，這種利潤(rùn)問題的改編，只是停留在淺層次數(shù)量輪換上，但對(duì)于加深理解這些專業(yè)術(shù)語(yǔ)，熟悉一些常用等量關(guān)系是非常有用的，如果覺得對(duì)于學(xué)生分析問題、解決問題能力的提升還不夠，可以增加題目的難度和深度，引導(dǎo)學(xué)生從商品的數(shù)量上或銷售過程上設(shè)計(jì)問題.如把一件夾克衫改成兩件夾克衫，改編如下：“兩件不同的夾克衫售價(jià)都是168元，若按成本計(jì)，一件獲利20%，另一件虧本20%，問：在這次買賣中，是虧了還了賺了？”還可以增加銷售過程的曲折性，改編成：“某商場(chǎng)以每件140元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了某品牌襯衫500件，并以每件168元的價(jià)格銷售了400件.商場(chǎng)準(zhǔn)備采取促銷措施，將剩下的襯衫打折銷售，請(qǐng)你幫商場(chǎng)計(jì)算一下，每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，銷售完這批襯衫正好達(dá)到盈利18%的預(yù)期目標(biāo)？”等等.

三、寫在最后

通過以上闡述可以發(fā)現(xiàn)，“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融”視角，無(wú)論是對(duì)課時(shí)解讀還是例題解讀，都提供了操作性非常強(qiáng)的路徑與方法，對(duì)教師分析、理解、吃透教材或者例題都可以起到非常重要的作用.“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融”視角，可以讓教師站在宏觀的角度，整體把握教材，沿流求源，穿針引線，理順成課.可以讓教師站在研題的高度，全面把握例題，條分縷析，左右逢源，析透問題.無(wú)論是針對(duì)課堂還是例題，都可以讓學(xué)生理解知識(shí)前后之間的關(guān)聯(lián)，知其然，更知其所以然；都可以使學(xué)生在獲取知識(shí)、技能的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)背后隱藏的思想方法，得其魚，更得其漁.都可以讓學(xué)生掌握四基，提高四能，發(fā)展六核.

1.浦?jǐn)⒌?初中代數(shù)“用……解決問題”課時(shí)的解讀與設(shè)計(jì)——以蘇科版教材七 （下）“11.5用一元一次不等式解決問題（1）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

2.崔永學(xué).列方程解應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的分析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（1/2）.F