中、新初中數學教材中“整式”的比較*

☉浙江師范大學教師教育學院 唐怡歆

☉浙江師范大學教師教育學院 唐恒鈞

從認識實物的個數開始，到通過大量個數相同的實物的認識，抽象并認識數，再到用字母表示數，這是人類認識規律的兩個重大變化.［1］代數學的符號化促使代數學成為一種能夠準確刻畫數值關系的數學工具［2］..符號意識也成為《義務教育數學課程標準（2011年版）》的十大核心概念之一.然而，數學課程與教學如何落實符號意識的培養？不同的國家在這方面是如何做的？這是值得關注與研究的.

新加坡與我國同屬儒家文化圈，而且均在一些如TIMSS或PISA等國際測試項目中表現出色.基于此，本文試圖選取我國人教版《數學》［3］和新加坡《New Syllabus Mathematics》［4］作為文獻源，以整式這一培養符號意識的重要內容為例，對兩版教材進行比較和分析，以期為符號意識的教與學提供一些啟示.

一、整式相關的總體內容及編排順序

1.人教版《數學》.

現行人教版《數學》中有關代數式的內容最早出現在5年級上冊“用字母表示數”，并且把這種思想滲透到簡易方程中.核心的內容出現在7年級上冊，專門安排了“整式的加減”一章內容.

表1 《數學》教材的體系框架

可見，人教版教材在小學5年級已經涉及了代數的初步知識，即用字母表示數.在進入初中數學學習時，集中安排了“整式的加減”這一章.在第一小節“整式”中涉及的知識點有“用字母表示數、列式表示數量關系、單項式、多項式、整式”，這些知識點大多是符號表征的學習及一些概念的學習.在第二小節“整式的加減”中涉及的知識點有“合并同類項、整式的加減運算”，大多是符號變換的學習即各種表征之間的轉化.

2.新加坡《New Syllabus Mathematics》.

《New Syllabus Mathematics》中有關代數式的體系框架（主要以初中第一冊為主）：（如表2）

表2 《New Syllabus Mathematics》的體系框架

新加坡教材在初中第一冊的第四章設置了“基礎代數”，大致的編排也是從代數符號表征的學習到代數符號變換的學習.對涉及的知識點進行了細致比較，我們發現新加坡教材中沒有涉及單項式與多項式，它只要求學生分辨什么是項、什么是系數，而《數學》則要求清晰地掌握概念與定義.

二、整式具體內容的比較分析

1.學習必要性的體現.

在人教版數學第二章“整式的加減”的章引言中設置了這樣的應用題：

青藏鐵路線上，在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段，列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100km/h和120km/h，請根據這些數據回答下列問題：

（1）列車在凍土地段行駛時，2h行駛的路程是多少？3h呢？ th呢？

（2）在西寧到拉薩路段，列車通過非凍土地段所需時間是通過凍土地段所需時間的2.1倍，如果通過凍土地段需要th，能用含t的式子表示這段鐵路的全長嗎？

（3）在格爾木到拉薩路段，列車通過凍土地段比通過非凍土地段多用0.5h，如果通過凍土地段需要uh，則這段鐵路的全長可以怎樣表示？凍土地段與非凍土地段相差多少千米？

在分析這段章引言時，可以發現它是以2006年正式通車的青藏鐵路為背景，根據學生已經掌握的有關路程、速度和時間的關系設計的三個問題，這三個問題都與本章學習的內容有很大的關聯性，其中問題（1）引出了單項式有關的概念，并延伸出了多項式的概念；問題（2）引出了同類項的概念；問題（3）則引出了在代數式中運用括號的法則.本章以章引言中的問題為起點，通過解決這三個問題，引出了本章學習的知識點，不僅使學生對于本章學習的內容有一個大概的預期，而且有助于激發學生的求知欲，學習的積極性得到提升.

而新加坡教材的章引言則使用了一段話：

你知道“？”的意思嗎？我們中的許多人都在短信中使用這個縮寫.你能列出更多現在大多數青少年在短信中使用的縮寫嗎？我們在發郵件或寫信的時候，也會使用縮寫.正如我們需要使用簡寫或縮寫來使我們的生活和工作更加方便.在數學代數中，我們同樣使用符號和字母來表示數.

這段話通過學生在生活中常常用到的縮寫，讓學生感受到數學知識的普適性，在生活中我們使用縮寫是為了方便，在代數中我們用字母表示數同樣是為了方便，生活中的經驗可以遷移到數學中.讓學生理解用字母表示數的作用，它簡化了數學的文字語言，將數學從煩瑣的自然語言中解放出來，讓學生感受到數學知識的功能性，體會到代數符號學習的合理性和重要性.

2.整式概念的建構與理解.

人教版《數學》注重在活動中建構整式概念，設置了兩個數學活動：

活動1：（1）如圖1所示，用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形，如果圖形中含有2、3或4個三角形，分別需要多少根火柴棍？如果圖形中含有n個三角形，需要多少根火柴棍？

圖1 火柴棍三角形

（2）如圖2所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1個正方形需要4個小正方形，拼第2個正方形需要9個小正方形……拼一拼，想一想，按照這樣的方法拼成的第n個正方形比第（n－1）個正方形多幾個小正方形？

圖2 正方形陣列

活動1中的兩個小活動的設置都需要學生先從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，然后用符號表示.學生在數學活動中通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力.在這個探究過程中，既培養了學生的符號意識，學生的思想又開始向一般化階段發展.

活動2：一種筆記本售價是2.3元/本，如果一次買100本以上（不含100本），售價是2.2元/本，列式表示買n本筆記本所需錢數（注意對n的大小要有所考慮）.請同學們討論下面的問題：

（1）按照這種售價規定，會不會出現買多比少買反而付錢少的情況？

（2）如果需要100本筆記本，怎樣購買能省錢？

（3）了解實際生活中類似問題，并舉出幾個具體例子.

活動2設置的是一個生活中的情境問題，可以避免“形式化”的整式教學，學生在情境中也能體會到學習的樂趣，感受到代數是刻畫實際生活的有效工具.在結合實例的過程中，進一步了解用字母表示數的意義，學會求整式的值.而活動2中的第（3）問也培養了學生用數學的眼光看世界.

新加坡教材沒有明確提出整式的概念，而是把自然語言與代數語言進行比較，在比較中深化對代數表達法的理解.（如表3所示）

表3 新加坡教材中的代數表達法

3.整式運算的理解.

中國的整式運算學習更強調運算律的掌握以提高運算能力.在化簡一個代數式的過程中，教材采用去括號、合并同類項、分配律、結合律、交換律等方法，讓學生熟練掌握運算律，并體會運算過程中的嚴謹性.例如《數學》7年級上冊2.2“整式的加法”中的一道例題：

例6計算（1）（2x－3y）+（5x+4y）.

解：（2x－3y）+（5x+4y）

=2x－3y+5x+4y

=7x+y.

事實上，《數學》中的例題包括知識內容的證明和推導基本都是采用這種邏輯的推理運算，強調對于運算律的掌握.這樣的呈現方法有利于學生形成邏輯推理能力，培養學生對數字和字母的敏感度.

而新加坡教材更關注學生多元表征的學習，通過它來促進學生對于運算的理解.著重運用直觀的圖示分解元素法進行運算（如圖3），方便學生直觀理解，雖然過程略顯復雜，但無疑更符合初中階段學生的思維發展階段和理解能力，在學生代數運算的過程中，實現了多元表征（語言表征、符號表征及圖表表征等）與代數式運算的結合.尤其在知識內容的引入階段，采用圖示法直觀展示過程，在以后學生的學習過程中，即使對代數運算知識有所遺忘，也能根據圖示法聯想起代數運算的方法.

圖3 圖示代數運算法

4.整式的運用.

人教版《數學》強調在現實情境中應用整式，它的例題和習題的設置大多是有問題情境的（如例題2、習題6）.學生在解決這些問題的時候，既能夠鞏固代數的知識，又能夠感受到知識應用的過程.這種知識教學與實際應用相結合的模式，不僅能夠激發學生學習的興趣，而且能夠使學生牢記代數的基本知識.

例2（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在靜水中的速度是vkm/h，用式子表示船在這條河中順水行駛和逆水行駛時的速度；

（2）買一個籃球需要x元，買一個排球需要y元，買一個足球需要z元，用式子表示買3個籃球、5個排球、2個足球共需要的錢數.

習題6：某村小麥種植面積是ahm2，水稻種植面積是小麥種植面積的3倍，玉米種植面積比小麥種植面積少5hm2，列式表示水稻種植面積、玉米種植面積，并計算水稻種植面積比玉米種植面積大多少.

新加坡教材中雖然也有題目設置了背景，但是所占比例很少，更多的是沒有涉及背景的題目（如新加坡教材習題2）.這種方式雖然也能考查學生對知識點的掌握情況，但是習題的綜合性不高，也很難了解學生符號意義建構的發展水平.

習題2：化簡下列代數表達式.

4u－（2u－5v）

（2a－b）－（b－a）

a+3b+4（6a－4b）

7m－2n+2（3n－2m）

三、若干啟示

1.體現符號學習的重要性.

在整式相關知識學習之前，學生在小學階段已經非常熟練地掌握了算術方法，在中學階段的數學學習中，容易出現思維定式.因此在整式學習中，必須要讓學生感受到符號刻畫數學關系的優越性及其有效性，這樣才能讓學生改變原有的圖式，形成符號意識.新加坡教材在章引言中寫的一段話，很好地體現了用符號表示數的優越性，讓學生感受到了符號學習的合理性與功能性.中國教材更關注的是如何激發學生的求知欲，在對符號重要性的體現方面還有所欠缺.

2.關注符號多元表征的學習.

在對中、新整式運算的比較中，發現新加坡教材關注學生多元符號表征的學習，采用圖示、語言等方式、促進學生符號表征的學習.這種多元表征（語言表征、符號表征及圖表表征等）與代數式運算相結合的模式，讓學生通過多元表征把握運算過程，熟練地借用靈活的外在表征，找出內在表征，進而運用內在表征進行代數運算.這樣，就算學生在后續學習中，對代數運算的內容有所遺忘，只要一想起運算的圖表，他們就能很容易地記起代數運算的方法.而符號表征作為符號意識維度中最基礎的一部分，只有很好地掌握了符號的感知與識別才能進行符號更高層次的操作（理解與運算、聯想與推理、抽象與表達）.

3.加強符號變換的學習.

能夠利用符號進行抽象運算，實現各種符號表征之間的轉化是符號變換學習的目標.新加坡教材關注多元表征的學習，從而提高學生對符號變換的理解，而中國《數學》則強調通過運算律的掌握來提高符號運算能力.兩者所關注的維度不同，但都能行之有效地提高學生的符號運算能力.建議在教學中，實現兩者的有效結合，更好地掌握符號變換的能力.

4.加強符號意義建構的學習.

中國《數學》強調在現實情境中應用整式，每個符號都有現實的意義，有利于學生掌握符號的抽象與表達，在情境中理解各種符號操作的意義與作用，解釋符號或代數表達式背后的數學意義與結構.

1.蔡卉.初中代數式及其教學的研究［D］.武漢：華中師范大學，2007.

2.吳燕萍，朱哲.中日數學教科書中的“代數式”比較［J］.中學數學（下），2009（9）.

3.林群.數學·初中一年級（七年級）（上）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.Teb Keng Seng， Loh Cheng Yee，Joseph Yeo，etc.New Syllabus Mathematics［M］.Singapore：Shingle Publishers Pteltd，2013.F