問(wèn)題設(shè)計(jì)逐步深入 解題思路越辨越明
——以《圖形的翻折》專題復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省張家港市港口學(xué)校（初中部） 韋麗琴

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的內(nèi)容面廣量大、知識(shí)點(diǎn)多，要想讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)回顧初中三年所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，形成基本技能，提高解題能力，絕非易事.而且，復(fù)習(xí)是沒(méi)有現(xiàn)成的教學(xué)資料可用的，加上學(xué)生的知識(shí)水平、解題能力不盡相同，因此對(duì)老師的要求就更高了.

作為一線教師，應(yīng)該努力提高復(fù)習(xí)課效率，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)盡早鞏固三年的數(shù)學(xué)知識(shí).我們知道，專題復(fù)習(xí)課有兩大任務(wù)：一是“理”，即對(duì)所涉及的知識(shí)再進(jìn)行系統(tǒng)的整理，達(dá)到進(jìn)一步理清概念，鞏固知識(shí)、掌握方法的目的，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò).二是“通”，即弄清所涉及知識(shí)的前因后果，實(shí)現(xiàn)知識(shí)融會(huì)貫通，應(yīng)用熟練自如，積累思想方法的目標(biāo).這就要求教師要精心設(shè)計(jì)好專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容，既要彌補(bǔ)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握的不足，又要提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力；同時(shí)還要精心設(shè)計(jì)好教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)、生生活動(dòng)和師生活動(dòng)，加強(qiáng)知識(shí)的整理、歸納，注重思想方法的滲透，提升學(xué)生的思維品質(zhì)、學(xué)習(xí)素養(yǎng).

下面就例談初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中經(jīng)常涉及的幾類典型的翻折問(wèn)題，找到解決這類問(wèn)題的常規(guī)方法，歸納出基本的規(guī)律，從中感悟初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的一些有效策略，以期對(duì)一線教師的教學(xué)有所幫助.

一、梳理基礎(chǔ)知識(shí)，滲透基本方法，促進(jìn)學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)化，逐步構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

翻折問(wèn)題涉及的知識(shí)比較多，對(duì)學(xué)生識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問(wèn)題的能力的要求比較高.因此，我們?cè)谠O(shè)置教學(xué)內(nèi)容時(shí)，一定要把握好教學(xué)的起點(diǎn)，通過(guò)一些基礎(chǔ)的翻折問(wèn)題，讓學(xué)生梳理一下翻折問(wèn)題中常常涉及的知識(shí)，初步領(lǐng)會(huì)解決翻折問(wèn)題的思路、方法.

例1如圖1，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線AE折疊，使AC邊落在斜邊AB上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，求CE的長(zhǎng).

變式1：如圖2，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線EF折疊，使兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)A、B重合，求CE的長(zhǎng).

變式2：如圖3，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線AE折疊，使AB邊落在直線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，求CE的長(zhǎng).

圖1

圖2

圖3

解讀與思考：三角形中的翻折問(wèn)題，圖形比較簡(jiǎn)潔，難度相對(duì)較低.把它作為教學(xué)起點(diǎn)十分有利于教師的教與學(xué)生的學(xué).通過(guò)例1的講解，學(xué)生能基本了解圖形的翻折問(wèn)題中涉及的知識(shí)、解題的思路和方法：我們常常將所求線段的長(zhǎng)度設(shè)為變量x，然后用含x的代數(shù)式表示其他相關(guān)線段的長(zhǎng)度，利用勾股定理建立方程求解.通過(guò)變式1與變式2的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步積累解決圖形的翻折問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).例題的講解與示范是教學(xué)中傳授知識(shí)、培養(yǎng)技能必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)知識(shí)的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題教學(xué)作為學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過(guò)程中擔(dān)負(fù)著把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要使命.把握好教學(xué)的起點(diǎn)很重要，例題和練習(xí)題的難度必須要控制好，能說(shuō)明問(wèn)題、起到示范作用、引領(lǐng)思維就行.

二、注重問(wèn)題剖析，理清解題思路，揭示問(wèn)題解決的本質(zhì)，逐步明晰規(guī)范的解題要領(lǐng)

以四邊形為載體的圖形翻折問(wèn)題是翻折問(wèn)題中最常見(jiàn)的題型，往往與平行線、三角形的全等、勾股定理等知識(shí)緊密聯(lián)系，對(duì)學(xué)生識(shí)別和理解幾何圖形的能力、應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題能力的要求更高.因此，在例題教學(xué)中，我們一定要重視這類問(wèn)題的分析、講解、歸納、提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步理解解決翻折問(wèn)題的關(guān)鍵步驟、解題要領(lǐng).

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的點(diǎn)F處.求CE的長(zhǎng)度.

圖4

圖5

變式1：如圖5，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AF與BC相交于點(diǎn)E.求CE的長(zhǎng)度.

解讀與思考：在解答圖形的翻折問(wèn)題時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，了解翻折前后哪些量沒(méi)有發(fā)生變化？哪些量發(fā)生了變化？它們之間有什么聯(lián)系？靈活應(yīng)用平面圖形的基本性質(zhì)及定理解決問(wèn)題.在例1的解答過(guò)程中，要注意AF=AD=10，利用勾股定理可以求得BF=8，從而得到CF=2. 若設(shè)CE=x，那么EF=ED=6-x，再利用勾股定理可以得到x2+22=（6－x）2，解得變式1的解答過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)遇到一點(diǎn)困難，假設(shè)CE=x，則BE=10－x.在Rt△EFC中，只知道CE=x，CF=6；在Rt△ABE中，只知道BE=10－x，AB=6.因此，無(wú)法利用勾股定理來(lái)列方程.此時(shí)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)Rt△EFC與Rt△ABE的全等關(guān)系，進(jìn)而證得AE=CE=x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程就能解決問(wèn)題了.當(dāng)然，我們還可以利用平行線的性質(zhì)來(lái)證明AE=CE.AD//BC，所以∠DAC=∠BCA，由翻折可知∠DAC=∠FAC，所以∠FAC=∠BCA，所以AE=CE.通過(guò)上述問(wèn)題的解答過(guò)程，要讓學(xué)生明白：全等三角形的相關(guān)知識(shí)是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和紐帶，通過(guò)三角形的全等可得線段的相等、角度的相等；利用角的相等來(lái)證明線段的相等也是幾何推理中最常用、最快捷的方法之一，這些知識(shí)在解決圖形的翻折問(wèn)題時(shí)有著十分重要的作用，我們應(yīng)當(dāng)予以重視.

三、關(guān)注題型變化，強(qiáng)化圖形分析，突出知識(shí)與方法的鞏固，逐步積累必備的解題經(jīng)驗(yàn)

以四邊形為載體的翻折問(wèn)題，隨著折痕的變化，翻折部分的圖形也會(huì)隨之發(fā)生變化，最后形成的圖形也就變得“復(fù)雜”一些，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)也會(huì)更加豐富，需要發(fā)現(xiàn)、探究的圖形性質(zhì)、結(jié)論也會(huì)更加多一些，對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力、想象能力、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力提出了更高的要求，有些問(wèn)題還需要學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、測(cè)量、猜想、歸納來(lái)發(fā)現(xiàn)結(jié)果.針對(duì)這種題型的變化，我們要積極引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化對(duì)圖形的分析，發(fā)現(xiàn)圖中隱含的結(jié)論，充分利用已有的知識(shí)、方法解決新的問(wèn)題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步積累必備的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)素養(yǎng).

例3已知長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，折痕的一個(gè)端點(diǎn)F在邊AD上，另一個(gè)端點(diǎn)G在邊BC上，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

（1）如圖6，當(dāng)頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊AD上且BG=10時(shí)，求AF的長(zhǎng)；

（2）如圖7，當(dāng)頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在長(zhǎng)方形內(nèi)部，點(diǎn)E到AD的距離為2，且BG=10時(shí)，求AF的長(zhǎng).

圖6

圖7

解讀與思考：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容.設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.”在圖6中，大部分學(xué)生會(huì)采用如下方法求解：折疊后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊AD上，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知HE=AB=8，∠BGF=∠EGF，利用AD//BC，可得∠BGF=∠EFG，所以∠EFG=∠EGF，所以EF=EG=BG=10.在Rt△EFH中，易得FH=6，所以AF的長(zhǎng)為6. 從上述解答過(guò)程發(fā)現(xiàn)，EF//BG，EF=BG.又EG=BG，所以四邊形BGEF是菱形.這樣的結(jié)果教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、論證.因而，AF的長(zhǎng)也可以在Rt△ABF中求得.在圖7中，大部分學(xué)生都會(huì)過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，并延長(zhǎng)ME交BC于點(diǎn)N，如圖8所示. 由EM=2，得EN=6，在Rt△GNE中求得GN=8.利用△GNE∽△EMK，求得MK=，所以，再利用△FHK∽△EMK，求得.事實(shí)上，在求得GN=8以后，連接EF，BF，設(shè)AF=x，F(xiàn)M=18－x，由EF=BF，可得82+x2=22+（18－x）2，解得，則AF的長(zhǎng)為，利用勾股定理能較快地解決問(wèn)題.通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)了，形成了一個(gè)條理化、有序化和網(wǎng)絡(luò)化的數(shù)學(xué)知識(shí)整體.蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出：“智慧不是別的，而是組織良好的知識(shí)體系.”只有數(shù)學(xué)知識(shí)之間上下溝通，左右逢源了，學(xué)生的頭腦中才會(huì)建立起一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能扎實(shí)、有效、有智慧，學(xué)生的解題能力才會(huì)得到提升，例題教學(xué)才會(huì)有價(jià)值.

圖8

四、合理拓展素材，理性思辯價(jià)值，領(lǐng)悟知識(shí)與方法的內(nèi)涵，逐步提高綜合應(yīng)用知識(shí)的關(guān)鍵能力

圖形的翻折問(wèn)題大多聯(lián)系實(shí)際，內(nèi)容豐富，解法靈活，與代數(shù)計(jì)算、方程、函數(shù)、幾何推理等知識(shí)均有聯(lián)系，是中考試題中出現(xiàn)頻率較高的一類題型.在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)翻折前后圖形的位置、特征、幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠清晰，對(duì)幾何元素之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系理解不夠透徹，在解答這類問(wèn)題的過(guò)程中，要么因?yàn)榻忸}能力不夠，無(wú)從下手；要么因?yàn)榻忸}方法選擇不當(dāng)，使得解題過(guò)程變得繁難，增大了運(yùn)算量，甚至于半途而廢.針對(duì)這種現(xiàn)狀，在進(jìn)行圖形的翻折專題復(fù)習(xí)時(shí)，教師要選擇合適的問(wèn)題與學(xué)生共同分析、研究，使得學(xué)生對(duì)翻折問(wèn)題中有關(guān)的幾何圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)；在問(wèn)題分析和解決的過(guò)程中鞏固頭腦中已有的有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)及解決這類問(wèn)題的方法；并在觀察圖形和探索解決問(wèn)題的方法的過(guò)程中提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例4如圖9，將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點(diǎn)B折到邊CD上，使邊AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N.

（1）若CM=x，則CH=___________（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）求折痕GH的長(zhǎng).

圖9

圖10

解讀與思考：這是2017年江蘇徐州市的中考試題，由于點(diǎn)M在邊CD上，很容易證得△HCM∽△MDE，所以，從而在解決第（2）問(wèn)前，教師應(yīng)當(dāng)讓明白：這里的x是一個(gè)變量，還是一個(gè)定值？也就是說(shuō)x是否還有限制條件？事實(shí)上，在Rt△CHM中，CH=，所以，這看似一個(gè)非常可怕的方程，如果將－視為一個(gè)整體，不難求得x=2或x=6（舍去）.當(dāng)然，求解x=2還有更加巧妙的方法，我們不妨看看命題者給出的解答過(guò)程：

解：（1）方法一：因?yàn)镃M=x，設(shè)CH=t，根據(jù)翻折的性質(zhì)，則HM=BH=6－t.

在Rt△HCM中，（6-t）2=t2+x2，所以（0

方法二：由題意CM=x，則DM=6－x，DE=3，根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠NMH=∠ABC=90°，易證△HCM∽△MDE，所以，即，所以

（2）由（1）知，解得x=2或x=6（舍去）.

所以如圖10，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P，設(shè)AG=m，GE=3－m，根據(jù)翻折的性質(zhì)，則GN=m.在Rt△GNE中，m2+1=（3－m）2，解得，所以，PH=BH－BP=2. 在Rt△GPH中

縱觀上述解答過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)：合理地利用三角形的相似、勾股定理的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，方程則是問(wèn)題解決最有力的“工具”.

復(fù)習(xí)備考不應(yīng)是簡(jiǎn)單機(jī)械的知識(shí)重復(fù)，而應(yīng)是知識(shí)鞏固后能力的拓展，它是教育、教學(xué)的一個(gè)重要組成部分.作為專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容，教師要通過(guò)課前的精心安排和課堂有效的系統(tǒng)組織，讓問(wèn)題設(shè)計(jì)逐步深入，讓學(xué)生的解題思路越來(lái)越明晰，通過(guò)師生共同的學(xué)習(xí)、研究，真正使得學(xué)生形成合理穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善思維品質(zhì)，提升他們的學(xué)習(xí)能力.

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

2.曹文喜.由課本一道習(xí)題所想到的［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.H