精心架構課堂教學 促進學生思維發展
——記一節“一次函數的應用”中考復習課的教學實踐與思考

☉江蘇省南京市六合區竹鎮民族中學 何 平

筆者在2018年4月南京市六合區初中數學鄉村骨干教師教學研修班課堂展示活動中，開設了一節中考專題復習研究課“一次函數的應用”.這節課從學生的認知基礎出發，進行創新設計，以期促進學生深度思考，促進學生的思維向著深刻性、敏捷性等方向發展.下面將筆者的教學設計與思考展現給大家，懇請大家賜教.

一、教學背景

1.教學內容分析

函數是刻畫變量之間關系的常用模型，一次函數又是最簡單的線性函數，行程類一次函數的應用問題在南京市歷年的中考中均有出現，它綜合地考查了一次函數、函數圖像、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容.在解決此類實際問題時建立一次函數的模型，借助線性示意圖分析運動變化過程，有助于學生學會清晰地、準確地、有條理地思考和分析問題，同時還能提高學生的直觀想象能力，從而進一步促進學生領會數形結合的思想方法，其綜合性比較強，因此，在中考復習時安排一節課是十分必要的.

2.學情分析

九年級的學生已經系統地學習了函數的相關知識，具備了一定的分析和解決問題的能力.筆者所在的學校目前正在嘗試“跑班分層”教學模式，本節課筆者選擇了A班進行授課，學生整體數學基礎較好，有較好的學習積極性，具備一定的自主探究合作交流的能力.但是部分學生解題時仍有忽視函數圖像中兩個變量的實際意義，不能借助由形到數的轉換來理解圖像中關鍵點的意義，直觀想象能力還有待提升，思維的深刻性、敏捷性還有發展空間.

二、教學目標

（1）能結合具體情境體會一次函數的意義，通過對函數圖像信息的獲取，運用一次函數解決簡單的實際問題；

（2）經歷探索利用函數圖像分析問題的過程，理解“以形解數，以數釋形”的基本方法，進一步體會數形結合的思想方法；

（3）在探究活動中培養學生形成勤于思考、合作交流的習慣，體會數學的應用價值.

三、教學重、難點

重點：從函數圖像中準確獲取信息，理解各個關鍵點的意義；

難點：學會“以形解數，以數釋形”進行分析問題基本方法.

四、教學過程

環節1：情境引入，引領思維

問題1：小明為準備體育中考，每天早晨堅持鍛煉，某天他勻速跑步到公園，休息一會后勻速騎車回家，能大致反映小明離家的距離y（m）與時間x（s）的函數關系的圖像是圖1中的（ ）.

圖1

變式：圖1中能反映小明走過的路程y（m）與時間x（s）的函數關系的圖像是（ ）.

分析：從學生熟悉的簡單的行程問題入手，借助圖像分析函數關系，引導學生理清路程與距離這兩個概念的差異，主要是強調審題，弄清楚縱軸的意義及變化過程對問題解決的重要性.

環節2：典型例題，發展思維

例1甲、乙兩觀光船分別從A、B兩港同時出發，相向而行，兩船在靜水中速度相同，水流速度為5千米/小時，甲船逆流而行4小時到達B港.圖2表示甲觀光船距A港的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數關系，結合圖像解答下列問題：

圖2

問題2：A、B兩港距離______千米，船在靜水中的速度為______千米/小時.

生1：題目中說甲船逆流而行4小時到達B港，圖像上的點M（4，40）說明甲船行駛4個小時，離A港的距離是40千米，所以A、B兩港距離是40千米，船的行駛速度為40÷4=10千米/時，因為此時船是逆流航行，所以船在靜水中的速度為15千米/時.

師：很好，從圖像中獲取信息是解題的關鍵，從圖像中可以直觀獲取線段OM兩個端點的坐標，你能畫出線段圖分析運動過程并解釋這兩個點的意義嗎？

分析：學生嘗試畫圖，教師投影展示并點評.

原點的意義：表示甲船運動過程中的起點（圖3）；

M點的意義：表示甲船運動過程中的終點（圖4）.

圖3

圖4

師：借助線段圖可以直觀地分析運動過程中函數圖像上關鍵點的實際意義，實現以形解數.（板書以形解數）

問題3：在同一坐標系中畫出乙船距A港的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數圖像.

分析：學生獨立完成，教師巡視、個別幫扶指導，投影學生作業圖5、6展示交流.

圖5

圖6

生2：乙船順水行駛速度是20千米/時，因此行駛時間是2小時，所以圖像如圖5所示.

生3：我認為不對，乙船從B港駛向A港，隨著時間的增加，應該離A港越來越近，我認為乙船沒出發時離A港40千米，經過2小時到達A港，圖像應該是圖6.

生2：哦，我沒有看清楚縱軸的意義.

師追問：為什么畫函數圖像時直接把（0，40），（2，0）兩個點連接起來呢？圖像為什么是直線？難道沒有可能是曲線或者是拋物線？

生3：設y=kx+b，把（0，40），（2，0）這兩個點的坐標代入就可以得到圖像是直線.

生4：我認為不對，你是根據所畫的圖像求函數表達式，跟老師的問題恰恰相反，我認為要畫出圖像應該先確定乙船在行駛過程中y與x的函數表達式，根據圖4可知在行駛過程中乙船離A港的距離y乙=40－20x，再根據函數表達式即可畫出圖像.

師：有道理，不過這樣畫出來的圖像應該是一條直線啊？

生4：因為這是行程問題，根據題意自變量的取值范圍是0≤x≤2，所以圖像是一條線段.

師：很好！我們研究畫一個函數的圖像要從函數關系式入手，通過列表、描點、連線的方法進行，實現以數釋形.（板書以數釋形）

問題4：求出發幾小時后，兩船相距5千米？

分析：學生獨立思考5分鐘，交流2分鐘，教師請學生代表匯報.

生5：設出發x小時兩船相距5千米，由題意得：①如圖7，兩船相遇之前，可得

圖7

圖8

②如圖8，兩船相遇之后，可得10x+20x-5=40，于是x=1.5h.

師：圖畫的很清晰，還有不同方法嗎？

生6：我們已經知道y甲=10x，y乙=40－20x，結合運動的線段圖可得：①如圖9兩船相遇之前，由y乙－y甲=5，即40－

圖9

圖10

②如圖10，兩船相遇之后，由y甲－y乙=5，即10x－（40－20x）=5，得

（老師板書規范解答過程）

生7：還可以直接看圖像，圖11中兩條線段的交點表示是兩船相遇，在相遇之前，乙船離A港遠，在圖像上看乙與甲的高度差等于5，即y乙－y甲=5；在相遇之后，甲與乙的高度差等于5，即y甲－y乙=5.

分析：從圖像中獲取相關信息，借助題意直接確定函數關系式，畫出函數圖像，借助線段圖分析運動過程，體驗解決問題方法的多樣性，感受思維的層次性.同時為了體現示范作用，教師及時板書.

圖11

圖12

環節3：能力提升，深化思維

問題5：如圖12，是甲、乙兩觀光船之間的距離y（千米）與甲船行駛時間x（小時）之間的函數圖像.求線段BC的函數表達式.

追問：圖中A、B、C、D各點表示的實際意義是什么？

分析：學生獨立思考5分鐘，交流3分鐘，教師巡視指導并展示關鍵點B、C的實際意義.

B點的實際意義：如圖13，兩船相遇時，兩船之間距離為0千米，利用方程10x+20x=40或者函數方法：y甲=y乙，即10x=40－20x，可求得.則點B坐標是

圖13

圖14

C點的實際意義：如圖14，從圖像上看，過點C之后，距離y增加的速度慢了下來，這說明點C表示乙船已經到達了A港，由于乙船順水行駛的速度是20千米/小時，行駛2小時到達A港，此時兩船之間的距離就是甲船行駛的路程，則點C的坐標是（2，20）.

根據點B、C兩點的坐標可以求得圖像中BC段的函數表達式為y=30x－40.

分析：對比上題感受y意義的不同，借助圖像理解各個關鍵點的意義，從圖像中獲取相關信息，借助線段圖分析運動過程，借助圖像確定函數關系式，靈活運用函數知識解決相關問題.

環節4：課堂小結，感悟方法

（1）通過本節課的學習你認為在觀察函數圖像獲取信息時需要注意什么？

（2）運用函數知識解決行程問題時你學會了哪些方法？收獲了哪些數學思想方法？

分析：通過問題進一步引導學生回顧本節課研究的內容，從數和形兩個角度提升對一次函數解決行程問題的認識，領悟解題思想方法.

附：板書——知識梳理

五、教學反思

1.深度理解教學內容，一題一課引領思維

在備課時需要深入研究教學內容，特別是中考專題復習課，更需要教師結合教學目標及學情，精心篩選最合適的素材，引領課堂教學的開展.在本節課中，筆者思考一次函數在行程問題中的應用是初中階段學習的一個難點，并且一次函數應用中行程類問題根據因變量y表示的意義可分為三種類型：（1）表示與出發地的距離，（2）表示與目的地的距離，（3）表示兩個運動物體之間的距離，并且以第三類最難.在學生基礎比較好情況下，筆者選擇了從教學內容的難易程度上進行整體架構，設計了一題一課的課堂教學方式，首先設計結合行程問題判斷函數圖像，讓學生在對比中直觀感受變量意義的重要性，發展學生直觀想象能力和思維的批判性，接著設計兩船行駛的問題，首先，通過從圖像中獲取信息進行以形解數、再到結合題意畫圖像、計算兩船之間的距離，再改變變量y的意義，結合圖像解決問題實現以數解形，通過例題的不斷變式，逐步完成上述問題類型，通過設計一根主線，減少學生閱讀多個問題情境的障礙，有利于學生深入探究行程類問題，形成完整的認知結構，引領思維自然生長.

2.精心設計教學活動，變式探究發展思維

數學活動是課堂教學的關鍵，專題復習課更應如此.通過典型問題、熱點問題，借助問題串激發學生深入思考，可以有效引領學生提升思維層次.在問題3的教學中，學生利用兩點坐標畫函數圖像，此時的追問啟發學生深入思考，在追問中學生2知道了自己忽視了縱軸的意義，學生3則是盲目地使用待定系數法求函數表達式，忽視了圖像還沒畫出來，在一段時間的思考之后，學生4的解答讓大家重新認識到畫函數圖像的操作流程應該先確定函數表達式，再進行列表、描點、連線.通過問題4的解答，學生的思維層次進一步被拉伸，學生通過利用方程解法、函數關系式解法、圖像解法，在一題多解中豐富了解題經驗，拓寬了解題思路，有利于學生在對比中尋找適合自己的方法，在優化自己解題策略的同時提升了學生思維的靈活性、敏捷性.通過問題5的變式探究，學生通過獨立思考畫圖分析有效的突破難點，學生的思維深刻性更是得到了充分的發展.

3.整體感悟數學思想，合作交流深化思維

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“學生是學習的主體，教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，學生在參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步積累數學活動經驗，感悟數學思想.”在一輪復習課中，要充分發揮學生的積極性，在例題呈現之后，讓學生獨立思考一定的時間，再進行小組合作交流，這樣充分落實了學生的主體性，在問題4和5的解決中教師引導學生不斷的思考，適時的追問點撥，學生在獨立思考、合作交流中畫出線性示意圖，結合運動過程理解圖像的意義，實現以形解數，在畫圖探究合作交流的過程中積累了活動經驗，在整個問題的解決過程中感悟了數形結合的思想，以及分類的思想，通過充分理解圖像之后，利用直觀解法，更是發展了學生幾何直觀的數學素養.

章建躍教授提出數學教學要實現“理解數學、理解學生、理解教學”，本節復習課基于學情架構教學，通過深度思考教學目標，精心選擇教學內容，設計一道例題貫穿課堂，利用問題串不斷激發學生深度思考；通過探究活動，構建知識結構，豐富學生解題經驗，提升思維層次；通過歸納小結，收獲思想方法.通過這樣的教學活動深入落實對數學、對學生、對教學的理解，逐步提升學生思維的深刻性與敏捷性，從而有效提升復習課的效益.

1.卜以樓.生長構架：復習課的理念創新［J］.中學數學（下），2016（10）.

2.孫守超.一次函數：從圖像中獲取信息［J］.中學數學教學參考，2017（08）.H