當完美正方形“邂逅”特殊45°角
——一節初三中考專題復習課的分析與思考

☉浙江省寧波市鎮海蛟川書院 楚秉晶

一、緣從何起

中考專題復習是初中數學總復習中非常重要的一環.主要是通過復習整合數學知識，以問題為載體，以思想方法為主線，以發展學生的數學思維為目的，對知識和方法的內在聯系進行橫向網構，對蘊含的數學思想進行縱向剖析.近年來，基本圖形的教學與滲透越來越受到廣大數學教師的關注.如何在中考復習中，既能抓住主干知識，提煉和總結新方法，又能滲透基本思想，提高學生的思維能力和數學素養呢？前不久，筆者有幸在區內開設了一節中考專題復習展示課，備課時對這節課的定位是一節九年級專題復習課，課題為“當完美正方形‘邂逅’特殊45°角”.本節課的立意是用問題驅動學生探究正方形的半角模型，在教材的基礎上適當提升高度，促進學生在數學學習上的發展.現將本節課的教學片段和課后反思整理出來，與同仁分享.

二、教學片段展示及復習效能分析

1.初探嘗試，構建模型.

師：正方形是所有四邊形中最特殊、最完美的，請同學們回顧一下，正方形都有哪些性質？

生1：正方形四條邊相等，四個角相等，兩條對角線相等且互相平分.

圖1

圖2

師：很好，這位同學分別從邊、角、對角線三方面回顧了正方形的性質.當如此完美的正方形“邂逅”了特殊的45°角時又會產生怎樣的結論呢？將三角板中的45°角的頂點與正方形的頂點A重合，將角的一邊與正方形的一邊AB重合（特殊位置），再旋轉到一般位置（動畫演示），如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠EAF=45°，則EF、DF、BE之間存在怎樣的數量關系？

生2：我通過度量發現EF=DF+BE.師：你們能證明一下這個猜想嗎？

生3：如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE′，此時點B與點D重合.由∠B+∠D=180°，得E′、D、C三點共線.易得∠EAF=∠E′AF，由SAS可證得△AEF≌△AE′F，則EF=E′F=DF+BE.

師：很好，你的條理非常清楚，通過旋轉我們可以將分散的線段和角拼到一起.這里90°所夾的∠EAF恰好是它的一半，我們把這個模型稱作正方形的半角模型.

小組合作交流討論，得出正方形半角模型的條件是組成大角的兩條線段相等，并且大角與半角具有公共頂點.該模型的結論是EF=BE+DF.

【復習效能分析】本環節設問面向全體學生，起點低，步子小，能夠激活學生已有的知識積淀，讓每個學生都能夠獲得成功的體驗.學生經歷了基本圖形呈現、大膽猜測、操作測量（合情推理）、證明驗證（演繹推理）、數學思想方法提煉的數學學習過程.整個過程以學定教、以教促學，一氣呵成，奠定了本節課的正方形半角模型，同時為后續學習作了很好的鋪墊.

2.牛刀小試，初識模型.

圖3師：如圖3，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠EAF=45°，AB=12，BE=6，求EF的長.

生4：設EF=x，則DF=x－6，FC=18－x.

在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2.

則（18－x）2+62=x2.

解得x=10，即EF=10.

師：應用EF=DF+BE這一結論，再結合勾股定理，我們能很快求解出EF的長.除此之外，你還能求出什么？

圖3

生5：能求出DF、AF、AE等所有的線段長.

師：除了線段長，你還能求出什么？

生6：這里的線段長是定值，也就是三角形形狀確定了，所以還可以求出這里所有的角度，比如∠AFE.

師：你觀察得很仔細，雖然這里的角度不是我們常見的30°、45°、60°等特殊角，但它們的三角函數值可求，請你們求一下∠AFE的正切值.

生7：由前面的證明我們知道，∠AFE=∠AFD，則

師：通過分析我們知道這個圖形中所有的線段長和角度都可求，除此之外還能求解什么？

生8：還可以求出三角形的面積，例如△AEF的面積.

師：你的想法很大膽，選擇了一個最有挑戰性的三角形，你能求出它的面積嗎？

生

師：噢，這里線段長可求，從而其余三個三角形和正方形面積可求，我們可以利用大正方形的面積減三個三角形的面積進行求解.

生9：他的方法太麻煩，還可以過點A作AH⊥EF，垂足為F（如圖4）.

∠AFE=∠AFD，AH⊥EF，AD⊥DF，則由角平分線上的點到角的兩邊距離相等得AD=AH=12，

則

師：太棒了，通過生9的求解我們得到了一個非常重要的結論，點A到EF的距離等于正方形的邊長.

圖4

圖5

變式練習：如圖5，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上的點，若∠EAD=45°，AB=BC=12，BE=6，求DE的長.

學生將直角梯形補全成正方形半角模型后，問題迎刃而解.

【復習效能分析】本環節以基本圖形為背景，從線段、角度、面積等多個方面進行挖掘，考查正方形、三角函數、角平分線性質定理、勾股定理、一元二次方程的解法等知識.巧用開放性問題，打開學生的“話匣子”，讓學生再次對正方形半角模型隱含的結論有了更深入的了解.

3.逆向運用，運用模型.

師：如圖6，△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，BD=6，CD=4，求S△ABC.

圖6

圖7

生10：如圖7，分別作△ABD和△ACD關于AB、AC的軸對稱圖形△ABE和△ACF，延長EB、FC交于點G.

易得∠EAF=2∠BAC=90°.

又∠E=∠F=90°，則四邊形AEGF為矩形.

又AE=AF，則矩形AEGF為正方形.

設AD=x，則BG=x－6，CG=x－4.

在Rt△BCG中，BG2+CG2=BC2.

則（x－6）2+（x－4）2=102.解得x=12或x=－2（舍），即AD=12.

【復習效能分析】基本圖形的掌握不僅僅只是停留在順向思維的層面，還需要逆向思維的靈活貫通.本題是由正方形的半角模型演變而來的，從圖3的開放探究中不難看出，四邊形AEGF的形狀 （正方形）依賴于△ABC（含45°角的銳角三角形）的形狀，正方形的邊長就等于△ABC的邊BC上的高AD，這正是解決本題的一個“有用特征”［1］，再靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，補全正方形的半角模型，進行巧妙解答.

4.抽繭剝絲，提煉模型.

師：如圖8，已知點A是反比例函數的圖像上一點，將OA繞原點O逆時針旋轉45°，恰好與反比例函數圖像上的點B重合，求點A的橫坐標.

圖8

圖9

生11：如圖9，反比例函數圖像關于直線y=x對稱，以O為圓心、OA為半徑的圓也關于直線y=x對稱，所以A、B關于直線y=x對稱.

過點A作x軸的垂線，垂足為C.

過點B作y軸的垂線，垂足為E.

CA和EB交于點F.

設

由AB=BE+AC，得

則a2=1.

又a＞0，則a=1.

圖10

圖11

師：（2017麗水）如圖10，在平面直角坐標系中，直線y=－x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點，已知點C（2，0）.點P為線段OB的中點，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，求m的值.

生12：如圖11，過點P作PD⊥BO交AB于D，過點D作DE⊥AO于E，連接CG.

易證△PDG≌△AEG.

則

在Rt△CGE中，GE2+CE2=CG2.

則（

解得m=12或m=0（舍）.

生13：也可作如圖12所示的輔助線，類似于圖11的解法列方程求解.

圖12

【復習效能分析】初看本題，與正方形旋轉基本模型無關，但傾斜45°角暴露了其“行蹤”.解題時首先要會“讀題”，讓條件在大腦中有個整體認識.本環節例題的綜合性很強，對學生的思維能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力都有較高的要求.需要學生挖掘隱含條件，抽繭剝絲，提煉正方形半角模型.正方形半角模型出現的范圍很廣，能把眾多的平面幾何知識融合在一起，結論比較開放，變式較多，但不管以怎樣的形態呈現，利用圖形變換思想進行邊或角的轉化得出三條關鍵線段之間的數量關系，是解決這類問題的關鍵所在［2］.

5.縱向延伸，跳出模型.

師：（改變條件∠EAF=45°）如圖13，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點，且∠DAB=60°，∠EAF=30°，結論EF=DF+BE是否成立？

師：（弱化一個條件，∠EAF為任意角）如圖14，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點，結論EF=DF+BE是否成立？

師：（弱化兩個條件，∠B+∠D=180°，∠EAF為任意角）如圖15，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點結論EF=DF+BE是否成立？

教師還可以引導學生課后思考：等邊三角形夾半角問題，等腰直角三角形夾半角問題……甚至可以繼續探究在正方形中∠EAF=30°或者60°時，圖形中還存在什么結論［3］.

圖13

圖14

圖15

【復習效能分析】本環節在原正方形半角模型的基礎上改變或弱化某些條件，即跳出模型，縱向拓展延伸.變換不同的背景、角度進行探究，引導學生淡化技巧，挖掘技巧背后解決問題的本質，逐漸領悟蘊含其中的數學知識、方法和思想，從而真正意義上培養學生的思維能力，使學生達到做一題、學一法、會一類、通一類的目的.

三、課后反思

1.提煉基本模型，抓住思維“生長點”.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的［4］.正方形是所有四邊形中最特殊與完美的圖形.正因為正方形的特殊性，45°特殊角成為活躍在正方形中的特殊音符.這節課通過正方形與一個45°角疊合而成的圖形，以核心知識點（正方形、全等三角形、45°角）為線索展開探究教學，將核心思想方法（轉化、從特殊到一般）穿插其間，通過數學模型的構建與變化，引導學生大膽猜想、小心求證，直抵數學的本質，引導學生發現并歸納“基本模型”的條件和結論，抓住思維“生長點”，為解決問題搭建“腳手架”，從而提高學生的思維能力和數學素養.

2.拓展基本模型，尋求思維“延伸點”.

數學學習可以采用由淺入深、逐級遞進、螺旋上升的方式，逐步滲透重要的數學思想方法，進而領悟數學的本質.基本模型經過提煉與歸納之后，學生不應該僅僅停留在思維“生長點”的層次，還需要對該基本模型的應用進行深入探究，即尋求思維“延伸點”［5］.本節課，教師以基本圖形為出發點，通過層層遞進、由淺入深的各個問題，引導學生在提煉和總結基本模型后，及時對該基本模型進行拓展延伸，從逆向運用、改變背景條件等方面，再次領悟“基本模型”的本質，尋求學生思維的“延伸點”，使學生的思維更具深刻性和靈活性.讓學生在拓展基本模型的過程中，體悟解題的通法，從而做到化題為形、凝題成鏈、結題成網，真正實現由“做一題”到“通一類”的飛躍.

3.關注模型教學，追求思維“發散點”.

近幾年的各地中考試卷中逐漸涌現出由同一類“基本模型”延伸而來的試題.雖然這些試題千變萬化、各不相同，但萬變不離其宗，解決這些問題的方法和策略基本相通.波利亞在《怎樣解題》中提出：在擬定方案時應當回顧是否解過類似的問題，能否將問題轉化為已解決的問題［6］.在解題前增加一個提煉基本模型的過程，可以使學生減少大量數據記憶，提高信息檢索的效率，從而更好地拓展解題思維.這就要求教師通過研究試題不斷挖掘并提煉各類新的“基本模型”，甚至可以引導學生自主發現并提煉“基本模型”，追求思維“發散點”，最終提升學生的數學素養.本節課小結中，教師跳出特殊的正方形半角模型，走向更一般的數學模型，達到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界.

中考專題復習課要彰顯“復習味”，要提煉、要提升、要發展.通過尋找具有共性的模型，為學生解題提供準確的思考方向和線索.同時在教學中我們還要給學生充分的思考時間，為學生搭建真正的探究空間，善待嘗試過程中的錯誤，正所謂“冬去，且若流水；春來，且待花開”.

1.曹嘉興.挖掘隱含結論 提升解題能力［J］.中學數學（下），2013（2）.

2.沈岳夫.抓住“半角”模型 巧用旋轉突破［J］.數學教學，2017（7）.

3.唐芬.半角模型的縱橫遷移［J］.中學數學教學參考（中），2014（5）.

4.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.姜曉翔.關注“模型教學” 提升“思維品質”［J］.中國數學教育，2017（5）.

6.波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.F