對(duì)一道統(tǒng)考題的探究

☉山東省煙臺(tái)市萊州市柴棚中學(xué) 陳風(fēng)波

最近，瀏覽微信朋友圈時(shí)，看到一位老同學(xué)求助一道初中數(shù)學(xué)統(tǒng)考題的解法，感覺(jué)蠻有意思，寫(xiě)出來(lái)與讀者分享.

一、感受真題

題目如圖1，已知圓O的半徑為3，OA=8，P為圓O上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA為邊向上作等邊△PAM，求線段OM長(zhǎng)的最大值.

圖1

思路分析：由于此題中有“以PA為邊向上作等邊△PAM”這個(gè)條件，可嘗試將△MPO繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得MP與MA重合，這樣將所求線段OM和已知長(zhǎng)度的兩條線段OP，OA轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中或一條直線上去解.

解析：將△MPO繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得MP與MA重合，如圖2所示，連接ON.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因?yàn)椤鱌AM是等邊三角形，所以∠PMO+∠OMA=60°，所以∠OMA+∠AMN=60°，所以△OMN也為正三角形，所以O(shè)M=ON，所以O(shè)N≤OA+AN=11.當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上且A在O，N之間時(shí)，如圖3所示，ON有最大值11，即線段OM長(zhǎng)的最大值為11.

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是對(duì)條件“以PA為邊向上作等邊△PAM”的處理，由于等邊三角形的特殊性，聯(lián)想到利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段OM，OP，OA轉(zhuǎn)化到同一三角形中或一條直線上，問(wèn)題就解決了.

圖2

圖3

二、追問(wèn)拓展

拓展1：將題目中“求線段OM長(zhǎng)的最大值”改為“求線段OM長(zhǎng)的最小值”.

解析：如圖2，仍舊將△MPO繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得MP與MA重合，此時(shí)在△OAN中，ON≥|OA－AN|=5，當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上且N在O，A之間時(shí)，ON有最小值5，如圖4所示，所以O(shè)M長(zhǎng)的最小值是5.

拓展2：將題目中“求線段OM長(zhǎng)的最大值”改為“求線段OM長(zhǎng)的取值范圍”.

圖4

解析：根據(jù)真題和拓展1中的解析可知，線段OM長(zhǎng)的取值范圍為5≤OM≤11，當(dāng)且僅當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，線段OM長(zhǎng)取到最大值和最小值.

拓展3：若將題目中“以PA為邊向上作等邊△PAM”改成“以PA為邊向下作等邊△PAM”，求線段OM長(zhǎng)的取值范圍.

解析：與真題解法類似，將△MPO繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得MP與MA重合，如圖5，連接ON.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因?yàn)椤鱌AM是等邊三角形，所以∠PMN+∠NMA=60°，所以∠OMP+∠PMN=60°，所以△OMN也為正三角形，所以O(shè)M=ON，所以5=|OA－AN|≤ON≤OA+AN=11，所以5≤ON≤11.當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上且A在O，N之間時(shí)，如圖6所示，ON有最大值11，即線段OM長(zhǎng)的最大值為11；當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上且N在O，A之間時(shí)，如圖7所示，ON有最小值5，即線段OM長(zhǎng)的取值范圍是［5，11］.

圖5

圖6

圖7

拓展4：若將題目中條件“以PA為邊向上作等邊△PAM”改成“以PA為底邊向上作等腰直角△PAM”，求線段OM長(zhǎng)的取值范圍.

思路分析：由于等腰直角三角形的兩腰相等，對(duì)比真題中的等邊三角形有類似之處，試想是不是也可仿照以上解法，利用旋轉(zhuǎn)去解呢？

圖8

解析：將△MPO繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得MP與MA重合，如圖8所示，連接ON.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因?yàn)椤鱌AM是等腰直角三角形，所以∠PMO+∠OMA=90°，所以∠OMA+∠AMN=90°，所以△OMN也為等腰直角三角形，且OM.因?yàn)?=|OA－AN|≤ON≤OA+AN=11，所以，所以，當(dāng)O，A，N三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取到等號(hào)，如圖9，10所示.

圖9

圖10

三、深入探究

在統(tǒng)考題中，由于所作的是等邊三角形，所以通過(guò)旋轉(zhuǎn)即可解決所求線段OM的長(zhǎng)度，現(xiàn)在，我們?cè)倩氐絾?wèn)題情境中來(lái)，題中點(diǎn)P是定圓O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)A作出的又是特殊的圖形——等邊三角形，故點(diǎn)M的位置的變化僅依賴于動(dòng)點(diǎn)P的位置變化，而點(diǎn)P的軌跡是圓O，那么，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡又是什么圖形呢？下面就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.

探究1：點(diǎn)P可以看作是由點(diǎn)M繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，也就是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（8，0），可設(shè)y0），根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣可得］，即由 于 x02+y02=9， 所 以整理有，所以點(diǎn)M的軌跡是以N（4，4為圓心，3為半徑的圓.如此，可以作出點(diǎn)M的軌跡，如圖11所示，所以O(shè)M的最大值為OM1=ON+3=8+3=11，最小值為OM2=ON－3=8－3=5.

我們亦可借助極坐標(biāo)系來(lái)處理：

圖11

探究2：以A為極點(diǎn)，OA為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖12所示，設(shè)M（ρ，θ），則∠OAP=120°－θ，OP=3，OA=8，AP=AM=ρ，在△OPA中，由余弦定理可得，OP2=OA2+AP2－2OA·APcos∠OAP，即9=64+ρ2－2×8ρcos（120°－θ），整理有化成普通方程為（x+4）2+，同樣得出點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.如此，可以作出點(diǎn)M的軌跡，如圖13所示，所以O(shè)M的最大值為OM1=ON+3=8+3=11，最小值為OM2=ON－3=8－3=5.

圖12

圖13

通過(guò)以上這道統(tǒng)考題，我們發(fā)現(xiàn)，在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中先作特殊多邊形，而后求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題類型，可以利用旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決，也可以先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡再去解.H