洞察結(jié)構(gòu)，鋪墊設(shè)問(wèn)：新定義考題的備課建議
——以北京西城2018年中考一模卷新定義考題為例

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 丁錦榮

中考閱讀理解型新定義問(wèn)題是近年來(lái)的熱點(diǎn)考題，尤其在北京市近年中考數(shù)學(xué)試卷中此類(lèi)題型的帶動(dòng)下，北京市各區(qū)的七、八、九年級(jí)期中（末）及中考模擬卷中都將此類(lèi)題型作為壓軸大題.命題組匠心獨(dú)運(yùn)，體現(xiàn)了精湛的命題功夫.這類(lèi)考題對(duì)評(píng)判學(xué)生“即時(shí)”理解與運(yùn)用新知識(shí)、新概念、新性質(zhì)的能力有較好的作用.那么，該如何開(kāi)展這類(lèi)問(wèn)題的解題教學(xué)呢？相關(guān)刊物上已發(fā)表不少新定義考題的解題教學(xué)微設(shè)計(jì)的文章，讀來(lái)很受教益.受此啟發(fā)，本文以北京西城2018年中考一模卷的新定義把關(guān)題為例，解析思路并跟進(jìn)教學(xué)微設(shè)計(jì)，供研究.

一、考題解析與解后反思

考題：（北京西城2018年中考一模新定義考題）對(duì)于平面內(nèi)的⊙C和⊙C外一點(diǎn)Q，給出如下定義：若過(guò)點(diǎn)Q的直線與⊙C存在公共點(diǎn)，記為點(diǎn)A、B，設(shè)，則稱(chēng)點(diǎn)A（或點(diǎn)B）是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，特別地，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，規(guī)定AQ=BQ

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Q（－1，0）、C（1，0），⊙C的半徑為r.

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，

①若A1（0，1）是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，則k的值為_(kāi)_________.是否為⊙C的“2相關(guān)依附點(diǎn)”？答：__________（.填“是”或“否”）

（2）若⊙C上存在“k相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M，

①當(dāng)r=1，直線QM與⊙C相切時(shí)，求k的值；時(shí)，求r的取值范圍.

（3）若存在r的值，使得直線與⊙C有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)是⊙C的“相關(guān)依附點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值范圍.

解析：（1）①連接QA1、CA1，根據(jù)坐標(biāo)數(shù)據(jù)特征，可證出QA1與⊙C相切，于是計(jì)算得

②對(duì)照定義，結(jié)合圖形，CQ=2，計(jì)算得，即是⊙C的“2相關(guān)依附點(diǎn)”.

（2）①如圖2，當(dāng)r=1時(shí)，不妨設(shè)直線QM與⊙C相切的切點(diǎn)M在x軸上方（切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理），連接CM，則QM⊥CM.

圖1

圖2

先求出CQ=2，CM=1，由勾股定理得，此時(shí)

②如圖3，若直線QM與⊙C不相切，設(shè)直線QM與⊙C的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QN＜QM，點(diǎn)N、M在x軸下方時(shí)同理），作CD⊥QM于點(diǎn)D，則MD=ND.

MQ+NQ=（MN+NQ）+NQ=2ND+2NQ=2DQ.

所以

圖3

圖4

結(jié)合，所以.此時(shí)CD=1（這是一個(gè)臨界情形，恰對(duì)應(yīng)上一問(wèn)中的r=1，也是符合要求的圓的半徑的最小值），這個(gè)圓的半徑可以增大到經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，此時(shí)r=2，但是定義中曾明確“⊙C外一點(diǎn)Q”，故r＜2.

綜上所述，r的取值范圍是1≤r＜2.

（3）要弄清這一問(wèn)的思路，需要先對(duì)上一問(wèn)的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步明確，上一問(wèn)中提到的就對(duì)應(yīng)著這一小問(wèn)的“相關(guān)依附點(diǎn)”，結(jié)合上一問(wèn)得出的（*）式有k=，變形為，這樣可以得到∠DQC=30°，直線DQ的解析式為.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，直線DQ關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線的解析式為：.由上一問(wèn)中分析出來(lái)的1≤r＜2，可構(gòu)造圖4.

直線是與y軸夾角為60°的直線，在上下平移過(guò)程中，有兩處臨界情形，一處是直線經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，另一處是直線經(jīng)過(guò)B1點(diǎn)，只要把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入中，即可求出b的兩個(gè)臨界值分別是

二、解題教學(xué)微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)1：閱讀定義，初步理解.

例1給出“定義”（見(jiàn)上文考題）.

如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Q（－1，0）、C（1，0），⊙C的半徑為.⊙C與y軸交于點(diǎn)A（10，1），與x軸交于點(diǎn)A2.

（1）若A1是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，求k的值.

（2）若A2是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，求k的值.

設(shè)計(jì)意圖：這兩問(wèn)對(duì)應(yīng)著原考題的第（1）問(wèn)，屬于理解新定義，初步體會(huì)并構(gòu)圖求解，屬于熱身階段，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)全體學(xué)生參與進(jìn)來(lái).

教學(xué)環(huán)節(jié)2：引入直線，正反設(shè)問(wèn).

例2已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Q（－1，0）、C（1，0），⊙C的半徑為r.若⊙C上存在“k相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M，

（1）當(dāng)r=1，直線QM與⊙C相切時(shí)，求k的值；

（2）當(dāng)r=1時(shí)，求⊙C的“相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)時(shí)，求r的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：本例針對(duì)原考題的第（2）問(wèn)設(shè)計(jì)而來(lái)，增設(shè)了一個(gè)鋪墊式問(wèn)題，讓學(xué)生感受符合要求的點(diǎn)M有兩處（兩個(gè)點(diǎn)M均為切點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)），對(duì)問(wèn)題的圖形結(jié)構(gòu)有進(jìn)一步研究和認(rèn)識(shí)，為后續(xù)研究r的取值范圍提供了鋪墊.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：提煉結(jié)構(gòu)，綜合運(yùn)用.

例3已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Q（－1，0）、C（1，0），⊙C的半徑為r.

（1）設(shè)點(diǎn)P是⊙C的“相關(guān)依附點(diǎn)”，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍；

（2）設(shè)y軸上有一點(diǎn)P是⊙C的一個(gè)“相關(guān)依附點(diǎn)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若存在r的值，使得直線與⊙C有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)是⊙C的“相關(guān)依附點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：為了攻克原考題的最后一問(wèn)，增設(shè)兩個(gè)小問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)明辨圖形結(jié)構(gòu)（如上文中圖4），最后一問(wèn)在教學(xué)時(shí)還需要引導(dǎo)學(xué)生想清幾個(gè)關(guān)鍵之處：第一，直線與x軸的夾角是多少度？第二，直線經(jīng)過(guò)哪兩個(gè)臨界點(diǎn)？第三，例3第（1）問(wèn)對(duì)本小問(wèn)破解有無(wú)幫助？

三、教學(xué)思考

1.新定義考題需要精心備題，獲取思路后反思并洞察結(jié)構(gòu).

像北京各區(qū)的一些新定義考題往往都是原創(chuàng)的，有些教師拿到這些試題后求助一些網(wǎng)絡(luò)搜題平臺(tái)都會(huì)“無(wú)功而返”，只能靜心埋頭思考這些新定義考題的結(jié)構(gòu)與解法，不但要從數(shù)的角度思考，還要從形的直觀上洞察結(jié)構(gòu).有些網(wǎng)絡(luò)傳播的答案只是直接告知答案，缺少對(duì)問(wèn)題思路如何獲取，從何處下手，怎樣自然而然思考，算法能否進(jìn)一步簡(jiǎn)潔，前后小問(wèn)之間的聯(lián)系何在等的思考，所以教師需要認(rèn)真?zhèn)漕}，并在獲得解答后繼續(xù)前進(jìn)，反思并洞察、提煉問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu).

2.新定義考題教學(xué)需要設(shè)計(jì)，變式改編逐題呈現(xiàn)漸次展開(kāi).

在教師本人對(duì)新定義考題有了較為深刻的認(rèn)識(shí)之后，開(kāi)展解題教學(xué)時(shí)也不宜直接拿考題開(kāi)講，而可以像上文這樣以新定義考題微設(shè)計(jì)的方式精心設(shè)計(jì)，把原考題的各個(gè)小問(wèn)拆分后變式改編，預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題、引導(dǎo)式問(wèn)題，讓學(xué)生拾級(jí)而上，再漸次展開(kāi)較難問(wèn)題.學(xué)生在前面一系列鋪墊設(shè)問(wèn)的啟示下，自主鉆研并獲得較難問(wèn)題的思路或解答，這樣不僅實(shí)現(xiàn)了新定義考題的講評(píng)，又讓部分優(yōu)秀學(xué)生收獲了解題自信，想來(lái)這也是“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)追求吧.

1.楊小紅.數(shù)形互助·淡化運(yùn)算：新定義考題的命題導(dǎo)向——以?xún)傻佬露x考題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（8）.

2.甘曉云.以退為進(jìn)：挑戰(zhàn)新定義考題的有效策略——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.F