解后反思提煉結構，鋪墊設問指引思路
——一道新定義考題的思路突破與教學設計

☉江蘇省宜興市洋溪中學 張益冬

當前不少地區的中考模考試卷“喜好”以新定義考題作為全卷“壓軸題”，而且有些類新定義考題的本質往往與圓的位置關系有關.本文關注江蘇某地一道中考模考練習卷中的新定義壓軸題，解析思路，并給出教學微設計，最后闡釋三點思考，供研討.

一、新定義考題的思路解析

考題：（2018年5月江蘇某校中考二模試卷）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在一點T不與O重合，使點P關于直線OT的對稱點P′在⊙C上，則稱P為⊙C的反射點.圖1為⊙C的反射點P的示意圖.

（1）已知點A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為2，

①在點O（0，0）、M（1，2）、N（0，－3）中，⊙A的反射點是____________；

②點P在直線y=－x上，若P為⊙A的反射點，求點P的橫坐標的取值范圍.

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，y軸上存在點P是⊙C的反射點，直接寫出圓心C的橫坐標x的取值范圍.

圖1

圖2

思路分析：首先想清新定義的結構，比如在圖1中，連接TP、TP′，可確認TP=TP′，相應的OT是線段PP′的垂直平分線.

（1）①構造圖2分析，易知點M、N都能在圓上找到符合要求的對稱點M′、N′.而原點O不能到圓上任意一點的距離大于或等于1，只有（－1，0）到圓點的距離為1，而此時過O點作不出一條符合要求的對稱軸，所以⊙A的反射點為點M、N.

②根據之前的分析，原點O到直線y=－x的某一個點，以及圓A上點之間的距離是相等的，則可以以O為圓心，作圓與圓A相交，若存在公共點，則符合要求，若兩圓沒有公共點，則圓A上找不到符合要求的點.于是想到作出兩圓相內切的兩種情況，如圖3.

圖3

圖4

可見以原點為圓心，1、3分別為半徑的同心圓與直線y=－x相交得到的第二象限的點M和N成為一組臨界點；而在第四象限的點D、Q也是一組臨界點.

所以符合要求的點P的橫坐標x的取值范圍是：

（2）先分析出圓C的圓心C在x軸正半軸上的臨界情形，這就是過O引圓C的兩條切線，同時，以O為圓心，上面得到的切線長為半徑作圓與y軸交于點P，此時可分析出兩條切線之間的夾角為60°，進一步求出此時圓A的圓心的橫坐標為4.根據對稱性質，另一臨界情形是：圓A的圓心的橫坐標為－4.

接下來，可以利用幾何畫板分析出符合要求的圖形結構特征，如圖5.

圖5

綜上，圓心C的橫坐標x的取值范圍是－4≤x≤4.

解后反思：看似只有一個圓，實質上是兩圓的位置關系.

二、教學微設計

教學環節1：熟悉定義，基礎熱身.

給出“反射點”定義.舉例后，安排一組練習.

例1在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為2.

（1）在點O（0，0）、M（1，2）、N（0，－3）中，畫圖分析⊙A的反射點有哪些.

（2）若點，試判斷點P是否是⊙A的反射點.如果是，畫圖分析；如果不是，請說明理由.

（3）畫圖分析點P（0，－3）是否為⊙A的反射點.

設計意圖：這組問題對應著原考題第（1）①問，多舉了兩組不同實例，為的是加深學生對新定義反射點的理解.其中P點的兩個坐標數據也是精心設計的，服務于后續問題的探究.

教學環節2：想清結構，拾級而上.

例2在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為2，點P在直線y=－x上.

（1）當OP=1時，求點P的坐標；

（2）以原點O為圓心、r為半徑的圓O與⊙A沒有公共點時，求圓O的半徑r的取值范圍；

（3）若P為⊙A的反射點，求點P的橫坐標的取值范圍.

設計意圖：原考題的第（1）②問與前一問的“距離”過大，這里增設兩個鋪墊式問題，讓學生在處理第（3）問時能找到嘗試的方向或下手處.

教學環節3：左右平移，變式挑戰.

例3在平面直角坐標系xOy中，設M（m，0），⊙M的半徑為2.

（1）當m=2時，若N（0，n）是⊙M的反射點，分析n的取值范圍；

（2）當m=－3時，若N（0，n）是⊙M的反射點，分析n的取值范圍；

（3）若y軸上存在點P是⊙M的反射點，直接寫出m的取值范圍.

設計意圖：原考題第（2）問很抽象、難想象，這里增設了兩問，讓學生先感知⊙M在不同位置時反射點的位置，對于進一步“逆過來”思考圓心位置會有所幫助.

還可給出變式再練，比如，將圓心的位置變式到y軸上，探究x上反射點的問題，限于篇幅，不給出這類變式.

三、進一步的思考

1.重視新定義考題研習，解后反思揭示深層結構.

不少教師（以北京地區的同行為主）喜歡研習新定義考題，像上文中提及的這道新定義考題，在網上也能查到并非江蘇某校的原創題，而是摘引自北京某區的初三期中卷，可見目前北京的新定義考題的風格在全國各地都有“追隨者”.在不少教研群中，大家不只是滿足于解法或答案的獲取，而且重視對問題深層結構的揭示，有些同行善于利用幾何畫板等動態軟件將問題制成動畫形象生動地展示問題結構，還有不少教輔機構的同行，往往在第一時間就錄制出微課細致入微地講評解法、評析反思，讓我們受益其中，也為我們示范了研習北京地區新定義考題的方法和角度.

2.從考題走向教學研究，預設鋪墊問題指引思路.

為了積極響應《中學數學（下）》很多課例研究的教研倡議，我們以這道新定義考題為例，在思路貫通之后，出了解題教學的微設計，側重預設鋪墊式問題，指引學生自主探究、發現解法、貫通思路.想起鄭毓信教授曾在《人民教育》提出數學教師的“三項基本功”之一的“善于提問”，對新定義考題中較難的設問，預設一些恰當的鋪墊式問題，也應該看成是數學教師專業基本功吧.

3.這類新定義題在圓與圓的位置關系上越挖越深？

近幾年研習不少地區的新定義壓軸題后，有個“錯覺”，感覺大量的新定義考題在解后反思時都可以提煉出兩個圓、三個圓或多個圓出來，并且不少問題還需要分析這些圓與圓的位置關系，像上文中的新定義考題，第（1）②問的本質就是兩圓內切的不同位置關系.不由得讓人想起，如今“課標”對圓與圓位置關系的弱化不教與這類考題的“高調”考查，而且在全卷最后一題以新定義的面貌“壓軸上演”，筆者有個疑慮：披著新定義的外衣，在圓與圓的位置關系上越挖越深，這種導向是該點贊呢，還是該適可而止呢？

1.楊小紅.數形互助·淡化運算：新定義考題的命題導向——以兩道新定義考題為例［J］.中學數學（下），2017（8）.

2.甘曉云.以退為進：挑戰新定義考題的有效策略——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析［J］.中學數學（下），2017（2）.F