基于一道例題的設計及教學的思考

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學 笪艷紅

分類討論，是初中階段著力滲透的一種數學思想，而培養學生應用分類討論思想分析和解決問題，則成為了教學的關鍵.在初中階段，需要進行分類的數學問題確實不少，尤其在動點問題中，常會因為點的位置不同而帶來多種不同的線段長度，這時就需要根據不同的位置關系作圖討論.筆者近期就遇到了這樣一道考題，為了培養學生進行分類討論的意識，通過改編調整呈現了可從數形兩個角度形成分類路經達成問題解決的目標，現結合本題的改編及教學歷程，談談筆者的具體做法，不當之處，敬請批評指正.

一、例題及設計

1.原題及分析

原題如圖1，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A（－1，0），B（3，0），C（0，3），M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E.

圖1

（1）求二次函數y＝ax2＋bx＋c的表達式；

（2）過點N作NF⊥x軸，垂足為點F，若四邊形MNFE為正方形（此處限定點M在對稱軸的右側），求該正方形的面積；

（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求點M的橫坐標.

分析：（1）用待定系數法即可順利求解.（過程略）

（2） 設M（m，－m2＋2m＋3），則ME=|－m2＋2m＋3|，MN=2m－2.根據“四邊形MNFE為正方形”可得ME=MN，即|－m2＋2m＋3|=2m－2，分類求解可得結果.

（3）先求出直線BC的解析式，設點M的坐標為（a，－a2＋2a＋3），則點N（2－a，－a2＋2a＋3），點D（a，－a＋3），類似于第（2）問，可以將線段MD、MN用含有字母a的式子表示出來，再利用MD=MN列出方程，根據點M的位置分類討論求解可得.

2.例題及分析

例題如圖1，拋物線y=－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C.點M、N為拋物線上的動點，過點D作MN∥y軸，交直線BC于點D.若∠DMN=90°，MD＝MN，求點M的橫坐標.

分析：因為需要所以改編，例題設計應緊扣教學需求進行.本例題只選取了原題中的第（3）問作為探討話題，改編過程中，筆者刪去原來的第（2）問，把第（1）問的結果直接告知學生，這樣的設計，突出了分類討論思想的應用，淡化了那些與教學內容關聯不大的考點，讓核心知識的地位與價值凸顯出來，為學生充分體會分類討論的不同路徑及其應用價值留出充足的時間和空間.

二、教學簡錄及簡析

1.教學簡錄

師投影例題，請學生自主解答，然后在小組中交流答案和解題思路.15分鐘后，小組交流結束，教師組織學生全班交流.

師：說說你們的求解思路吧！

生1：我先設M（m，－m2＋m＋3），再根據M、N、D的位置關系分別表示出N點和D點的坐標為N（2－m，－m2＋m＋3），D（m，－m＋3）.

師：接下來，你是怎么做的呢？

生2：由于題目給出了MD=MN，所以我想用含有m的式子把這里的MD=MN表示出來，從而列方程求解.

師：太棒了！看來你已經很好地掌握了方程思想，那我們該如何表示這里的MD和MN呢？

生3：因為不知道M、D的具體位置，所以MD的長度有可能是（－m2＋2m＋3）－（－m＋3），也可能是（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）.

師：看來是要分類討論哦！

生4：對的. 當M在D的上方時，MD＝（－m2＋2m＋3）－（m＋3）＝－m2＋3m；當D在M的上方時，MN＝（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）＝m2＋3m.

師：什么時M會“跑到”D的下方呢？

生5：當M過了圖中的C點和D點時，就到了D點下方了.

師：給個具體范圍！

生6：當0＜m＜3時，M在D上方；當m＜0或m＞3時，M在D的下方.

師：看來是要分三段嘍！

生7：對的！分兩類三段：當0＜m＜3時，M在D的上方，MD＝－m2＋3m；當m＜0或m＞3時，MD＝m2－3m.

師：完全正確！那MN的位置確定了嗎？需不需要也進行討論呢？

（學生小聲議論片刻，一生起立發表見解）

生8：我覺得也要討論，M可能像圖上這樣在N的右邊，也可能M在左邊，N在右邊.

師：是嗎？（稍作停頓，你說說理由）

生9：題目沒有明確告訴我點M的位置，（老師竊喜，原以為刪去第（2）問后，學生會不討論）所以M可以在整條拋物線上滑動.當M在對稱軸左側時，N就在對稱軸右側，當M在對稱軸右側時，N就在對稱軸左側.

師：有沒有道理？

生（齊）：有！

師：那怎么來表示MN呢？

生10：當M在拋物線對稱軸左側，即m＞1時，MN＝2－m=2－2m；當M在拋物線對稱軸右側，即m＞3時，MN＝m－（2－m）＝2m－2.

師：好的！接下來該如何列方程呢？

生11：我覺得，根據m的范圍應該分為四段.

師：哪四段？

生12：m＜0，0＜m＜1，1＜m＜3，m＞3.

師：你能再說一遍嗎？

學生12重復四段取值，教師利用動畫同步演示，在M與D重合，M與N重合的關鍵位置下，停留了較長時間，讓學生感知這些位置的特別之處.

師：怎么樣，看清楚了嗎？

生（齊）：清楚了！

師：那對應的方程呢？

生13：當m＜0時，m2－3m＝2－2m；當0＜m＜1時，－m2－3m＝2－2m；當1＜m＜3時，－m2－3m＝2m－2；當m＞3時，m2－3m＝2m－2.

師：接下來，會做了吧！

生14：解出所列方程，取范圍內的m的值就行了！

師：不錯！還有其他思路嗎？

生15：我覺得，既然不知道M、N的位置，干脆直接把MN的長度表示為MN=|2－2m|，同樣地，MD=|－m2＋3m|，直接列出方程|－m2＋3m|＝|2－2m|，再分類討論就是了！

師：這個方程（指著板書的方程）有道理嗎？

學生安靜了片刻，稍作思考后，有學生舉手作答：

生16：有道理的！添上絕對值后，不管位置如何，大小如何，長度一定是個非負數，這樣列出的方程是符合實際意義的.

師：那怎么解呢？

生17：還是要分類討論.

師：分幾類？

生18：四類.－m2＋3m為非負數，2－2m為非負數；－m2＋3m為負數，2－2m為非負數；－m2＋3m為非負數，2－2m為負數；－m2＋3m，2－2m均為負數.

生19：我覺得分四類煩了，直接分兩類就可以了！

師：哪兩類？

生20：－m2＋3m與2－2m同號，所以－m2＋3m＝2－2m；－m2＋3m與2－2m異號，所以－m2＋3m＝－（2－2m）.

師：很好！求出解后，要注意什么？

生21：要驗證一下，m的值是否能讓－m2＋3m與2－2m同號或異號.

師：真棒，接下來，請大家根據剛才的思路訂正一下.

……

師：這樣的思路分析，給你什么啟示？

生22：分類討論可以從形的角度進行，依據不同的位置關系，通過線段的長度或相關量的不同表示，列出方程求解；分類討論還可以從數的角度展開，不同的取值，可能會生成不同的方程.總之，分類討論，想到哪種就用哪種，哪種簡單就用哪種.

生23：分類要抓住關鍵的節點，比如位置變化中的交點或“交線”等，數與式中字母的取值發生變化的時刻等，分類的標準可以不同，但對結果是否在分得范圍內進行驗證卻是一樣的，無論從形分類還是從數分類，兩種情況下都必須進行.

2.簡析

利用分類討論解決問題，有時會因為分類的標準不同，而帶來解題模型和解題路徑上的差異.正是這樣的差異，才給學生的分析與解決問題提供了多種選擇的機會.例題的分類標準原來可以唯一，也就是生3和生4描述的兩種MD的可能引出的MN的兩種可能，進而生成了基于不同點的位置的四種組合，這是從形的角度展開的分類，標準很清晰，也很直觀，對于有一定的空間想象能力的學生來說，看出這四種情形還是大有可能的.所以，當學生給出這四種情形后，教師立即引導他們進行了十分詳細的分析，在形、數的每一個拐點處駐足觀察與交流，這樣的分析交流，對學生理解分類標準，把握分類實質，建構與解答數學解題模型是十分有利的.只不過，作為這樣一道例題，每個人都能分得如此精致到位，筆者以為還是不易的，所以，當生15給出“添加絕對值再分類”的方法后，無疑讓所有人眼前一亮，這是基于數的不同取值下的分類，最終的兩個方程，既有數的絕對值含義的深度應用，又有對方程這一等式所存在的性質的強化體驗，這種“數”的維度上產生的分類，強化了形的作用，對那些直觀想象能力偏弱的學生是很有用的.教師最后組織的小結交流，無疑是“錦上添花”的壯舉，因為有了兩個不同的分類標準，對學生來說還是蠻新鮮的，所以他們都有話可說.說得如他們的分類那么“自然得體”，而其積淀下的分類經驗，無論是形還是數，不同角度，自有不同的風采，無所謂對錯、煩簡，只要適用，一切皆好.

三、三點感悟

1.精心選擇原題，改編凸顯價值

命題是教學的核心工具，現成的例題是很少的，必要的改編是為了突出課時核心所需，筆者認為，在改編上花點時間，耗點精力是值得的.以本文中的這道例題為例，為了凸顯課時教學核心——分類討論思想，筆者在2017年的眾多中考壓軸題中找出了山東威海市中考卷的壓軸題作為原型，將原題第（1）問中的求二次函數的解析式刪去直接給出二次函數的解析式，雖然原題第（2）問也有分類討論，而且其設計應是為原題第（3）問的解答服務鋪墊的，但作為教學例題，有了原題第（3）問，第（2）問存在的意義并不大，在反復斟酌后，筆者刪去了這里的第（2）問直接將第（3）問作為本題的唯一求解要求并入題目，這樣一來，題目簡潔了，干擾因素少了，自然探索的重點也就凸顯出來了，這在教學中也得到了很好的驗證，學生的交流完全圍繞著“為什么要分類”，“如何分類”等話題展開，例題設計的成效就此突顯出來.這樣的教學效果，無疑也為我們的例題設計指引了一個方向，在課時核心上多花工夫.

2.強化解題交流，感悟數學思想

數學思想是隱形的數學知識，它們一般都默默地儲存于學生的知識結構之中，是靜態的.我們的數學教學不僅要幫助學生獲得顯性數學知識，諸如數學的基礎知識和基本技能，還要幫助學生充分感悟數學的“終極財富”——數學思想，那么，對數學思想的感悟依托何在？解題與交流，解題是學生自主喚醒數學思想和應用數學思想的過程，同樣也是學生將數學思想自主建構與完善的過程，要知道，沒有個體的主動建構，再有價值的思想也是無力的，我們要加強與數學思想相關的解題訓練，通過適量的同類型試題的解答，提升學生數學思想建構應用的能力和水平.此外，我們還應讓學生交流.通過師生、生生反復互動交流對話，以喚醒和矯正解題中用到的數學思想，畢竟學生的思維力、想象力、應用力都是有限的.在問題解決中，難免會出現疏漏或不足，所以交流的價值在此就凸顯出來了.尤其是在我們學生解題后立即展開的交流活動，對學生數學思想的感悟是十分有效的.

3.適度適量訓練，培養應用意識

數學思想的應用意識養成非朝夕之功，需要長期堅持，應有適量的訓練、適時的交流和反思.任何一個數學思想的萌芽、成長、成熟、知識網絡的融入，都是要經歷一個長期的、漸進的養成過程.因而，伴隨此過程的必然是豐富的數學思想的提取與應用，經歷，只有反復錘煉后，這些數學思想檢查真正融入到學生的“數學血液”中去.以本文中重點交流的分類討論思想為例，小學階段學生接觸并不多，進入初中后，由數軸認知開始，數與形均出現了“兩面性”，而絕對值的“單面性”則真正讓分類討論進入到學生視野，此后，數與形的不斷發展壯大，到初三時，學生已經經歷了近三年的分類磨煉，對這一思想的感悟與應用均已有了一定的深度，要知道，在此過程中，學生經歷了大量的與之相關聯的數學問題的解答與交流，長期的積淀之下，才形成了本文案例中的娓娓道來，甚至是別樣的分類，當然，訓練是必需的，但這個量和度還是要各位一線教師根據學情把握，總之，一切應以適宜為前提，不可為了思想而讓學生深陷題海，好的初衷，卻害苦了學生，得不償失之事，不做也罷.H