一次區八年級期末質量評估試題的命制實踐與思考

☉浙江省臺州市白云中學 張安軍

☉浙江省臺州市白云中學 許肖平

臺州市初中每學年教學質量評估是以區（縣、市）為單位統一命題，筆者受區教師發展中心委托，與幾位教師一起命制2017年第二學期八年級（上）數學質量評估試題.考試之后，得到一線老師和專家們的充分肯定，他們認為本試卷試題絕大部分取材于教材，關鍵性試題創新力度大，語言敘述準確、科學，難度系數合理，既關注基礎知識和基本技能的考查，又突出了本學期核心知識的考查，試題對調研、評價有較好的信度和效度，同時有效促進學生后繼的學習，為進一步改進教師的教學起到了很好的導向作用.現將筆者在命制這份試卷過程中的一些思考，與各位同行分享.

一、命制前的準備

1.關注考試的要求、性質和目的.

數學教學質量評估是教育行政部門和學校的一項常規性工作，也是數學教學活動的重要組成部分之一.命題前先明確考試的要求、性質和目的，本次考試一方面是給教育行政部門提供評估的依據；另一方面是考查學生一學期來學習的成效，進而考查教師教學效果的成效.在此基礎上，診斷學生學習過程中的優勢與不足，進而診斷教師教學過程中的優勢與不足，從而，指導學生改進學習行為，進而幫助教師改進教學行為.因此，命制試題的出發點就是為了“評估、診斷”，為了更好“改進”全區師生后繼教與學.在命制時要注意以下幾點要求.

（1）注重基礎性和均衡性.在命制過程中，不僅要注重基礎知識和基本技能的考查，還要滲透課程標準所倡導的基本活動經驗和基本思想方法的考查；不僅要關注分析問題和解決問題的能力，還要關注學生的問題意識，有一定數量的開放性問題等，滲透發現問題、提出問題的能力的考查；不僅要關注市區優秀學校的學生，還要關注農村薄弱學校的考生，注重試題的均衡性、基礎性和發展性.

（2）注重激勵性和診斷性.一份試卷中要有一定數量的基礎性題目，這些基礎性題目能保證數學困難生得到一定分數，減少他們對數學的畏懼，激發后繼學習數學的熱情；同時設置一定數量的中檔題和較難題，激發各類層次學生繼續探究數學的興趣，使基礎題、中檔題和稍難題的比例大約是7∶2∶1，試題難度系數控制在0.7到0.75左右.由于考試時間只有100分鐘，本次選擇題10道，填空題6道，解答題8道，命制時使24道試題盡可能覆蓋本學期所學的知識，通過有限試題的檢測，使師生了解自己在教與學中存在的不足之處，發揮診斷的作用.

（3）注重試題的科學性和簡潔性.期末試題的來源，有的可能源于教材，但要進行適當的改編；有的可能改編自已有的試題；有的可能是原創題等.在改編或原創時，要盡可能使試題敘述準確、簡潔，不產生歧義，所給的條件要充分，同時整個試卷的閱讀量盡可能控制在3000字以內.

（二）關注教材和課程標準.

對學生的學與教師的教進行一次階段性的評價，而評價是否合理，是否有效，試卷的質量常常是關鍵.認真研討課程標準和教材是命制一份高質量的試卷的前提條件.課程標準對數學課程有明確的規定，它包括結果性目標和過程性目標.結果性目標使用“了解”“理解”“掌握”“運用”，過程性目標使用“經歷”“體驗”“探索”等行為動詞.只有把握好課標對每一內容的具體要求，才能在命題中準確把握考查目的，把握試題的難度要求.其次，要研究教材.特別是教材中的例題與習題，它們往往是命題的題源，教師可以對教材中的例題和習題進行改編、引申，使其源于教材、高于教材.在研讀課程標準和教材的同時，在命制時還要關注以下幾點.

（1）注重各章節的比分合理性.教師在命制時，要關注到各章節的分值在整個試卷中所占的比例是否合理，在命制時，可以參閱教師用書各章所占的課時數，例如，本學期所學內容和課時數如表1所示：

表1

各章節的分數與其在教學中所占課時數的百分比大致相同.

（2）突出核心知識的考查.本學期涉及“數與代數”的內容有“整式的乘法與因式分解”“分式”，式是數的一般化，而式的運算集中體現在整式的四則運算，整式的運算是初中代數運算的核心，因此要突出運算能力的考查.在“圖形與幾何”中學習了最簡單的幾何基本圖形“三角形”，再從一般到特殊的等腰三角形，借助了軸對稱變換、全等變換研究特殊三角形的性質，開始用幾何推理的方式進行說理，學會有條理地表達自己的觀點，是一個有素養人的體現，因此要突出推理能力、運算能力、直觀想象等數學核心素養的考查.

（3）要關注試題的“適標性”.所謂“適標性”，就是指所考查的內容要符號數學課程標準的要求.例如，對于整式的乘法運算，課標規定其中多項式相乘僅指一次式之間及一次式與二次式相乘；用公式法進行因式分解時，直接利用公式不超過二次等.因此在命制試題時，要考慮試題對后繼教學的導向性，引導師生關注日常的教與學，減少教學中人為性的拔高.

二、試題命制展示

有了前期的準備工作后，接下來是試題的命制，如何進行試題的命制呢？有關各類試題命制的文章，他們有的認為先制作雙向細目表，然后根據細目表進行改編或自編試題.其實不然.在中學數學試題命制中，一般先命制試卷中最后一題，最后一題又稱為壓軸題，壓軸題是命制者最關心的一題，除此之外，還有倒數第二題，選擇、題空題的最后一題，它們都是一份試卷中的關鍵性試題，這些試題命制質量的高低，直接決定試卷質量和品味.當壓軸題和關鍵性試題確定后，再制作雙向細目表，“雙向細目表是命題的內容的匯總，包含命題的知識點和考查的難度系數、預設均分等”［1］.通過雙向細目表引領可避免隨意性和盲目性，避免所考查的知識重復和遺漏.下面選擇關鍵性試題和特色試題在命制時進行說明.

1.一波三折的壓軸題.

經過命題組討論，壓軸題的命題方向是以圖形與幾何為主題，要揉合本學期的核心知識，如等腰三角形、線段的垂直平分線的軸對稱等相關知識.創設有研究和探索價值的問題背景，供學生自主探索.在這樣的立意下，我們就得到初稿.

第一稿：如圖1a，過△ABC的頂點A（B或C）引一條線段AD（BD或CD），若得到△ABD、△ACD（△ABD、△BCD，或△BCD、△ACD）都是等腰三角形，那么△ABC叫作“分割等腰三角形”，線段AD叫作分割線.對于任意三角形是否都存在分割線呢？

（1）圖1b、圖1c所示的△ABC是“分割等腰三角形”嗎？若是，請用尺規作圖畫出分割線.

（2）求證：直角三角形都是分割等腰三角形.

證明：如圖1d，在Rt△ABC中，作直角邊AC的垂直平分線分別交直角邊、斜邊于E、D，連接CD……

圖1

（3）請你提出一個不同于上述的命題，使得△ABC是分割等腰三角形，然后加以驗證.

命制意圖：本題先定義“分割等腰三角形”，后探索三角形滿足怎樣的條件存在分割線.為此展開研究.研究的思路從特殊到一般，從簡單到復雜，提供了兩個特殊的三角形，其中一個三角形的一個角是另一個角的2倍，另外一個三角形的一個角是另一個角的3倍，以開放的形式讓學生有選擇地進行自主探索；第（2）小問，給出一個猜想，讓學生對這個猜想加以驗證，為了降低本題的難度，添加了輔助線，給出部分證明；第（3）小問，把結論推廣到一般層面，考查學生提出問題和發現問題的能力.

問題診斷：其一，定義“分割等腰三角形”，和日常教學中教材所提供的定義敘述不一致，為了與書本統一，對定義的語言敘述進行修改；其二，提供的等腰三角形不具有一般性，反而會干擾第（3）小問的猜想，能不能對于特殊的等腰三角形增加一道小題呢？第（3）小問是探索型問題，對農村學校的學生來說難度系數可能過高，能不能適當降低難度？因此命題組又進行了修改.

第二稿：從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小的等腰三角形，那么我們就說原三角形可分割，這條線段叫作這個三角形的分割線.

如圖2a，從△ABC的頂點A引一條線段AD，若△ABD、△ACD都是等腰三角形，則△ABC可分割，線段AD即為△ABC的分割線.那么，是否所有的三角形均可分割呢？

圖2

（1）圖2b、圖2c所示的△ABC可分割嗎？若可以，請用尺規作圖畫出分割線.

（2）判斷下列三個命題的真假（真命題打“”，假命題打“×”）：

①所有的等腰三角形都可分割；（ ）

②若三角形有一個角是另一個角的3倍，那么這個三角形可分割；（ ）

③若三角形有一個角是另一個角的2倍，那么這個三角形可分割（.）

（3）利用前面的分割方法，若一個等腰三角形可分割，則這個等腰三角形的頂角度數為（.直接寫出答案即可）

設計意圖：第（1）小問以開放的形式讓學生展開探究；第（2）小問基于第（1）小問動手操作的基礎上進行歸納和概括，并對操作的結論進行理性思考和驗證；第（3）小問在第（2）小問的基礎上進行運用，把所得到的結論運用到新的情景，考查學生的靈活運用和遷移能力.

問題診斷：第（1）小問是一道開放題，起點過高，不利于中檔及以下的學生得分；第（2）小問以是非題的形式，注重結果性的考查，凸顯不出對幾何核心素養邏輯推理的考查.因此又進行了適當的修改.

第三稿：從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，如果頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小的等腰三角形，那么我們就說原三角形可分割，這條線段叫作這個三角形的分割線.

如圖3a，從△ABC的頂點A引一條線段AD，若△ABD、△ACD都是等腰三角形，則△ABC可分割，線段AD即為△ABC的分割線.那么，是否所有的三角形均可分割呢？為此，小許同學展開了探究.

圖3

（1）她發現如圖3b、圖3c所示的△ABC均可分割，在圖3b、圖3c中選一個，用尺規作圖畫出它們的分割線.（不寫作法，但保留作圖痕跡）

（2）她猜想：“直角三角形都是可分割三角形.”你覺得她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉一個反例.

（3）若一個等腰三角形可分割，則這個等腰三角形的頂角度數為.（直接寫出所有可能的結果）

第三稿的第（1）小問改開放為封閉，為了降低難度，在兩個可分割的圖形中選擇一個圖形進行尺規作圖；第（2）小問讓學生自主探索，并進行說理驗證自己的猜想，重視過程性的考查；第（3）小問運用結論，體現了學習幾何圖形的一般歷程和思路.整個問題的設計層次分明，既考查學生的不同水平，又考查了學生的數學思考、問題解決和探索能力等.

2.來源于書本，又高于書本的改編題.

本次命題時，為了引導老師們關注教材，體現考試的公平性，提高考試的信度，本次試卷共有11題來自教材，有的直接采用教材原題，如計算題；而大部分試題都進行改編，有的變結論封閉為方案設計，有的變單一考查結果為操作探究題，有的變綜合為單一.

（1）變單一為綜合.

原題：如圖4a，五邊形ABCDE的內角都相等，AH⊥CD，求∠EAH的度數.（教材中P29的第10題）

圖4

改編后：（題2）如圖4b，五邊形ABCDE的內角都相等，分別延長AB、AE與邊CD所在直線相交于點F、G.

（1）求證：AF=AG；

（2）若AH⊥CD，且BC=DE，求證：CH=DH.

改編意圖：原題中五邊形各內角相等，先通過內角和公式計算每一個內角的度數，再在四邊形AHDE中，已知三個角，通過四邊形內角和360°求出∠EAH的度數，從中可以發現考查的知識點主要是多邊形的內角和，知識點比較單薄.為了考查本學期全等三角形、等腰三角形等核心知識，命題者在教材中尋找題材，發現這個幾何圖形比較美觀，在基礎上進行改變.第（1）小問揉合了內角和、等腰三角形的判定，第（2）小問在第（1）小問的基礎上考查等腰三角形重要的性質“三線合一”，同時應用全等三角形判定性質和判定.試題題干簡單，各小問關聯性強，內蘊豐富.

（2）變“常規封閉”為“靈動方案”的選擇.

原題：如圖5a，一塊直徑為（a+b）的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為a與b的兩個圓，求剩下的鋼板的面積.（教材中P112的第6題）

圖5

改編后：（題 3）一塊邊長為a（a＞2）米的大正方形空地，現有兩種方案進行改造：

方案一：如圖5b，在大正方形內預留一塊邊長為2米的小正方形空地，剩下部分（陰影部分）種植花草，記種植面積為S1；

方案二：如圖5c，沿著大正方形內部四周預留寬均為1米的小路，剩下部分（陰影部分）種植花草，記種植面積為S2.

（1）請用含a的式子表示S1和S2；

（2）選擇種植花草面積更大的方案，并說明理由.

改編意圖：原題主要考查完全平方公式在實際中的應用，體現了數形結合思想.而命題者既想考查完全平方公式，又想考查平方差公式，同時想變常規“封閉型”試題為靈動開放型，因此在命制時變換了背景，變圓為正方形，使原來單一知識的考查變成綜合的考查，變結論封閉為方案的選擇，試題變得更加靈動.

（3）從特殊的數量關系拓展到一般性的探究.

圖6

原題：如圖6，分別作出△PQR關于直線m（直線m上各點的橫坐標都為1）和直線n（直線n上各點的縱坐標都為－1）對稱的圖形.它們的對應點之間分別有什么關系？（教材P72的第7題）

改編后：（題 4）在平面直角坐標系中，若點M（m，0）為x軸上一點，則過點M作x軸的垂線，記作“x=m”；若點M（0，m）為y軸上一點，則過點M作y軸的垂線，記作“y=m”.

（1）點P（－1，3）關于直線l：“x=1”的對稱點的坐標為

（2）若點Q（－4，5）、R（－4，1）關于直線n對稱，請寫出該直線n

（3）作點M（a，b）關于（1）中的直線l的對稱點M1，再作出點M1關于（2）中的直線n的對稱點M2，請寫出點M2的坐標（用a、b表示）

改編意圖：教材從原來關于坐標軸對稱拓展到關于“x=1”和“y＝－1”對稱，通過數形結合，探尋關于直線“x=1”和“y＝－1”對稱時橫、縱坐標之間的數量關系.如何凸顯學生的整個探究思維歷程呢？命題者進行了一些探索.命題者首先對教材的敘述進行了修改，這種敘述目的是和后繼學習中拋物線的對稱軸相一致；其次，原題探尋坐標之間的數量關系起點偏高，在第（1）小問，讓學生通過形的直觀，寫出對稱點的坐標，降低問題的起點；第（2）小問從問題的反面思考，若已知兩個特殊點 （連接兩點的直線平行于y軸），你能找出對稱軸的直線嗎？第（3）小問在前面兩問的基礎上，積累了一定的經驗，此時探尋更一般化的問題，旨在考查學生的數學基本活動經驗和數學基本思想方法，同時有效地考查了學生解決問題的能力和探究的能力.各個小問之間內在關聯緊密，整體性強，凸顯思維的內在規律.

3.密切聯系學生身邊事，進行原創性的編題.

數學來源于生活，又服務于生活，新課標十分強調數學教學活動要聯系實際、貼近生活.本次命題也充分考慮數學的應用價值，以學生的日常生活為背景，創設情境，構建數學模型解決現實中的問題，生活中處處有數學，用數學的眼光審視世界.

題5：2017年12月5日，臺州全民疏散大演練暨消防安全教育日啟動儀式在椒江區白云中學舉行，在演練期間用干粉滅火器進行滅火.常用干粉滅火劑粒度在0.00001～0.000075米之間，其中0.000075用科學記數法表示正確的是（ ）.

A.0.75×10－4B.7.5×10－5

C.7.5×10－6D.75×10－6

題6：如圖7，文明標語邊框的形狀為正八邊形，則這個邊框的一個內角度數為

圖7

題7：小明6：50離開家步行去上學，走到距離家500米的早餐店時，吃早餐用了10分鐘.從早餐店出來，小明發現按原來的速度還要用30分鐘才能到校.為了在7：35之前趕到學校，小明加快了速度，每分鐘平均比原來多走25米，最后他到校的時間是7：30.求小明從早餐店到學校的平均速度.

設計意圖：上述問題的背景都是學生親身體驗過的，例如，本學期臺州市舉行消防演練，騰訊網等各大媒體都進行現場直播，全區中小學生觀看直播，又如，臺州市評選全國文明城市，作為主城區的椒江街頭巷尾都張貼正八邊形文明標語的邊框，還有以學生每天上學為背景構建數學模型.關注身邊事，關注學生的情感，凸顯人文關愛.

三、考后思考

本次考試，全區考生共6932人，各分數段分布及比例統計如表2所示：

表2

各大題難度標準差統計如表3所示：

表3

本次命題基本上各項指標雖然達到預定的目標，但在閱卷的過程中也有不足之處，例如，上述改編題2，由于已知所給的圖形接近正五邊形，受到圖的影響，學生在審題時，小部分學生把五個角相等的五邊形當作正五邊形，這給命題者啟發，在追求圖形美的同時，也要考慮試卷的信度和效度，盡可能給出圖形的一般情況.又如，題6學生在審題時把“內角”看作“內角和”，能否在“內角”下加著重號？這些都值得思考和探討.

命制試題與課堂教學一樣，是一門技藝，也是一門藝術.它是命題組成員靈感的迸發，也是智慧的碰撞.同時命題也是一門技術，試題的改編和試題組合衍生等，都遵守一定的科學原則，創造一個問題比解決一個問題更困難.作為初中數學教師，不僅要學會解題，更要在解題的基礎上學會編題.編制題目的過程體現了研究性學習的過程，體現了由特殊到一般，由封閉到開放的過程，同時是提高教師命題能力的過程［2］.在教學中，只有注意到了素養與育人共舞，才能真正“跳出題海”，才能還數學以“美”的本來面貌［3］.

1.張愛平.切實提高初中數學過程性評價試題的命題質量［J］.中小學數學，2009（5）.

2.張安軍.操作與探究并重，過程與能力齊飛［J］.中學數學研究，2014（12）.

3.梁素芬.一組規律探尋問題的呈現、分析、求解及思考［J］.中學數學（下），2018（3）.F