指向以學(xué)定教的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)示例
——透過(guò)弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)思想的視點(diǎn)

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 昆

揣測(cè)與掌握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理過(guò)程是數(shù)學(xué)教師趨近解決如何實(shí)施教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題的第一步，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論應(yīng)該建立在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中所取得的證據(jù)，而不是建立在一些思辨的形而上學(xué)的基礎(chǔ)之上.這些證據(jù)應(yīng)該通過(guò)教師針對(duì)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)情況觀(guān)察所施教的學(xué)生、分析學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的心理過(guò)程，才能掌握第一手資料，獲得真知灼見(jiàn).學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理過(guò)程包括兩方面：其一，整個(gè)教育教學(xué)系統(tǒng)中的學(xué)習(xí)過(guò)程，包括各級(jí)學(xué)生、小組、班級(jí)、教師及觀(guān)察者自己的學(xué)習(xí)過(guò)程；其二，人類(lèi)的學(xué)習(xí)過(guò)程，即人類(lèi)整體數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷史.因此，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真實(shí)心理活動(dòng)過(guò)程，是促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)有效性的第一位的基礎(chǔ)要素，以學(xué)定教就是由這種數(shù)學(xué)教學(xué)理念演化而來(lái)的必然結(jié)果.

一、以學(xué)定教的內(nèi)涵

那么，何為以學(xué)定教？所謂以學(xué)定教，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與教師施教數(shù)學(xué)這兩個(gè)方面的統(tǒng)一，“以學(xué)”就是依據(jù)具體（教師所施教的班級(jí)的）學(xué)生在學(xué)習(xí)某個(gè)特定的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)繞不過(guò)去的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)，從而，確定教學(xué)的起點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)展開(kāi)的途徑、方法和策略，伴隨展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的情感體驗(yàn)與皈依等形成的教學(xué)預(yù)設(shè)，也就是教師的施教預(yù)設(shè)一定以學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，這里的學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)包括學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、內(nèi)化的數(shù)學(xué)觀(guān)念，伴隨著掌握知識(shí)、內(nèi)化觀(guān)念時(shí)所形成的數(shù)學(xué)能力等，學(xué)生所處的年齡階段的認(rèn)知水準(zhǔn)，學(xué)生對(duì)產(chǎn)生新知的情緒狀態(tài)等編碼信息生成知識(shí)所經(jīng)歷的心理過(guò)程的體現(xiàn)；而“定教”，就是決定教師施教時(shí)選擇適應(yīng)于“以學(xué)”所要求的規(guī)定性，具體地說(shuō)，乃是確定教學(xué)的起點(diǎn)不過(guò)低或過(guò)高，在恰當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)上選擇最優(yōu)的教學(xué)方法，促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生都能達(dá)到最優(yōu)化的發(fā)展.

就個(gè)體學(xué)習(xí)而言，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程不是被動(dòng)地?cái)M同微機(jī)“下載”文件式地接受數(shù)學(xué)化信息的過(guò)程，也不是不經(jīng)過(guò)運(yùn)用學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的思維活動(dòng)而被動(dòng)發(fā)揮“感覺(jué)效應(yīng)”的過(guò)程，而是一個(gè)積極活潑地運(yùn)用認(rèn)知結(jié)構(gòu)編碼信息從而發(fā)揮“運(yùn)動(dòng)效應(yīng)”的過(guò)程；就人類(lèi)整體學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)史料證實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)整體乃是以逐步漸進(jìn)的模式化方式展開(kāi)的建構(gòu)過(guò)程，數(shù)學(xué)發(fā)展的每一步都意味著：由探究外在數(shù)學(xué)化信息得到了數(shù)學(xué)知識(shí)，需要通過(guò)不斷的模式化進(jìn)入（研究者自己或通過(guò)媒介記錄下來(lái)使后來(lái)者可以直接領(lǐng)悟或吸取）記憶，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技能、能力或更高一級(jí)的領(lǐng)悟.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是人類(lèi)以自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為基地不斷學(xué)習(xí)更高層次數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟過(guò)程，進(jìn)一步引用弗賴(lài)登塔爾的話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是一個(gè)基于學(xué)習(xí)者自己的數(shù)學(xué)知識(shí)與領(lǐng)悟經(jīng)驗(yàn)而生成的“再創(chuàng)作”過(guò)程.

研究者（1983年進(jìn)入教學(xué)崗位，教過(guò)小學(xué)語(yǔ)文、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)，并且長(zhǎng)期進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)研究，一直筆耕不輟）借助于自己長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)到，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是基于他們自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行領(lǐng)悟與對(duì)領(lǐng)悟過(guò)程本身的反思相結(jié)合的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的環(huán)節(jié)是從探究數(shù)學(xué)化信息，到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)，到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與領(lǐng)悟自身的反思，到掛靠到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模式化，到面臨新數(shù)學(xué)化信息，這是一種循環(huán)上升的過(guò)程，反思是這個(gè)環(huán)節(jié)中一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心與動(dòng)力.領(lǐng)悟與反思的雙螺旋式地交替前進(jìn)不僅形成了數(shù)學(xué)知識(shí)，更為重要的是，形成了組織數(shù)學(xué)知識(shí)的方法.教師在施教過(guò)程中，務(wù)必要促使學(xué)生意識(shí)到，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生對(duì)自己發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)所產(chǎn)生的判斷過(guò)程、得到的學(xué)習(xí)結(jié)果及其使用自己的語(yǔ)言或數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的表達(dá)出這種結(jié)果并加以思考與證實(shí)，由此促進(jìn)學(xué)生萌生反思意識(shí)，促使學(xué)生自覺(jué)地追求自身的某些行為及其活動(dòng)成果后面所隱含的心理本質(zhì)與數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，并試圖體會(huì)這兩種本質(zhì)是如何結(jié)合起來(lái)的，［1］從而形成有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

因此，在運(yùn)用以學(xué)定教這一教學(xué)觀(guān)念進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師必須要充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生所處的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情況，即不僅僅認(rèn)識(shí)到學(xué)生已經(jīng)擁有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)觀(guān)念、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)能力，思維定式等，還要特別注意學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理傾向性，如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、興趣、數(shù)學(xué)對(duì)自己的用處等形成的價(jià)值判斷等；它們的交織與綜合促成學(xué)生對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的領(lǐng)悟，由領(lǐng)悟所獲得的知識(shí)通過(guò)逐步漸進(jìn)的模式化活動(dòng)過(guò)程，進(jìn)入記憶，從而在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中組織成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，由此走向更高級(jí)的領(lǐng)悟.由于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)后的反思的進(jìn)入，致使這種領(lǐng)悟的過(guò)程與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程本身緊密結(jié)合了起來(lái)，從而形成元認(rèn)知體驗(yàn)，提高了學(xué)習(xí)的效率，進(jìn)而提高了課堂教學(xué)的有效性.經(jīng)由如此分析，我們認(rèn)識(shí)到，以學(xué)定教應(yīng)該具有豐富的教學(xué)內(nèi)涵，是教師施教的基礎(chǔ)性要求.

二、指向以學(xué)定教的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)示例

在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往沒(méi)有遵循以學(xué)定教這種教學(xué)理念的告誡，表現(xiàn)在：如果從以學(xué)定教的理念出發(fā)，那么就要求學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、領(lǐng)悟與反思的過(guò)程能夠獨(dú)立地完成，然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)活動(dòng)中，這些卻常常被教師的直接教導(dǎo)與教科書(shū)不當(dāng)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的方式過(guò)程所取代，被數(shù)學(xué)家的成功領(lǐng)悟過(guò)程經(jīng)由教師的直接供給過(guò)程所取代，被教師教學(xué)活動(dòng)中過(guò)早過(guò)多的訓(xùn)練過(guò)程所取代.這就警示我們數(shù)學(xué)教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，如何最大限度地促使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中保持有效理解、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)已經(jīng)發(fā)生的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)成果及認(rèn)識(shí)過(guò)程自身進(jìn)行反思活動(dòng)，是教師有效施教的幾個(gè)非常重要的關(guān)鍵環(huán)節(jié).由于基于以學(xué)定教教學(xué)理念的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程是由不同數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)與不同個(gè)性學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特征所制約的，因此，研究者在這里不能給出一個(gè)萬(wàn)能的課堂教學(xué)過(guò)程的活動(dòng)框架，只能舉具體的課堂教學(xué)活動(dòng)的課例加以說(shuō)明.

課例1：已知：如圖1，CD是Rt△ABC斜邊上的高.求證：∠CAB=∠BCD.

研究者借助于安徽省初中數(shù)學(xué)骨干教師的“國(guó)培計(jì)劃”的施教活動(dòng)這一機(jī)會(huì)，對(duì)受訓(xùn)教師進(jìn)行調(diào)查、訪(fǎng)談，要求受訓(xùn)教師研究這道題的教學(xué)活動(dòng)，并且基于這些研究成果（這道題對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容處于教科書(shū)上的位置——作為鞏固“三角形內(nèi)角和定理”的一個(gè)例題，揣摩與估計(jì)學(xué)生此時(shí)所具有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的水平、探究解題思路的心理活動(dòng)起承轉(zhuǎn)合環(huán)節(jié)的展開(kāi)途徑等）要求受訓(xùn)教師利用模擬授課的途徑進(jìn)行無(wú)生上課.研究者發(fā)現(xiàn)，八成以上的數(shù)學(xué)教師在課堂施教活動(dòng)過(guò)程中使用的解題教學(xué)活動(dòng)的思路是：因?yàn)椤螦CD+∠BCD=90°（直角的定義），∠ACD+∠CAB=90°（直角三角形的兩銳角互余），又因?yàn)椤螦CD是公共角，從而可以得到∠CAB=∠BCD（同角或等角的余角相等）.

然而，這種方式的教學(xué)恰恰是教師沒(méi)有從學(xué)生思維的心理活動(dòng)（即以學(xué)定教的教學(xué)設(shè)計(jì)理念）出發(fā)，因?yàn)椋趧倓倢W(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生對(duì)于如此復(fù)雜的幾何圖形的處理活動(dòng)沒(méi)有達(dá)到像這些教師施教活動(dòng)過(guò)程這種熟練程度的水平，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，九成以上的學(xué)生都需要首先解決圖形的遮蔽（重疊）的問(wèn)題，另外，此時(shí)，學(xué)生也沒(méi)有學(xué)習(xí)直角三角形的“兩銳角互余”與“同角或等角的余角相等”這些知識(shí)（依據(jù)課標(biāo)安排及其產(chǎn)生的教材編制），所以，由于教師對(duì)處于這個(gè)年齡階段的學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的認(rèn)識(shí)不足，在這種課堂教學(xué)中，教師就沒(méi)有充分暴露解決問(wèn)題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中所需要的心理?xiàng)l件，致使教師的施教行為所產(chǎn)生的結(jié)果不是從學(xué)生具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)的.因此，透過(guò)如此分析活動(dòng)的視角，我們發(fā)現(xiàn)，教師的這種課堂教學(xué)活動(dòng)行為嚴(yán)重地違反了以學(xué)定教的教學(xué)理念與教學(xué)原則.

醫(yī)家講究“對(duì)癥下藥”，達(dá)到治病的目的就要細(xì)心診斷，通過(guò)“望、聞、問(wèn)、切”探清病因，而病因絕不同于它的外表的癥狀，總是內(nèi)部的某些器官的功能不能正常運(yùn)轉(zhuǎn).對(duì)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程的理解也是一樣，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，或者解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的疑難，一定是反映在他們自己的某些僵化了的內(nèi)在心理過(guò)程的某些環(huán)節(jié)與數(shù)學(xué)思維的某些側(cè)面.現(xiàn)在，這道題解題思路的心理疑難既已探明，那么，要遵循以學(xué)定教的教學(xué)理念，教學(xué)中，教師如何對(duì)癥下藥呢？［2］下面實(shí)錄研究者針對(duì)受訓(xùn)教師的某些施教活動(dòng)的缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)的一節(jié)示范課的課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)（省略號(hào)表示學(xué)生思維的中斷）：

師：如何解決這個(gè)問(wèn)題？

生：……

師：請(qǐng)大家利用已知條件在圖1中找出一對(duì)相等角.

生1：在圖1中，已知△ABC是直角三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD將Rt△ABC分割成兩個(gè)直角三角形，圖形的覆蓋影響了解題思路.我想，首先應(yīng)該解決這種圖形覆蓋問(wèn)題，使我們?nèi)菀卓辞鍒D形本質(zhì)……

師：這是一個(gè)很好的建議！可以動(dòng)手試試.

圖1

圖2

學(xué)生課堂活動(dòng)實(shí)錄：有學(xué)生如此操作，首先，把△CDB從△ABC中平移出來(lái)，得到了圖2與圖3，其次，根據(jù)已知條件CD是Rt△ABC斜邊上的高，得到∠ACB=∠CDB=90°①，和要證明的結(jié)論∠CAB＝∠BCD②，把圖3變換成圖4的位置形態(tài).研究者依據(jù)學(xué)生操作的結(jié)果，相機(jī)將這些途徑板書(shū)在黑板上.

圖3

圖4

師：大家做得非常好！請(qǐng)對(duì)比圖3與圖4，你有新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：比較圖3和圖4中這兩個(gè)三角形之間角的關(guān)系可得（教師相機(jī)選擇學(xué)生生成成果，精心設(shè)計(jì)板書(shū)）：

直角都相等 ∠ACB=∠CDB①，

結(jié)論應(yīng)相等 ∠CAB=∠BCD②，

公共角相等 ∠ABC=∠CBD③.

師：同學(xué)們認(rèn)真想一想，在這三個(gè)等式中，①和③成立，②是求證的結(jié)論，應(yīng)該成立.那么，如何處理這三個(gè)等式呢？

生：……

生3：應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”……

生4：①②③三個(gè)等式左邊的三個(gè)角是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，右邊的三個(gè)角是△CBD的三個(gè)內(nèi)角.于是，我們把這三個(gè)等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個(gè)三角形各自的內(nèi)角和，都等于180°，即：

∠ACB＋∠CAB＋∠ABC＝180°④，

∠CDB＋∠BCD＋∠DBC＝180°⑤.……

師：生4想到并且運(yùn)用了三角形內(nèi)角和定理.這樣的認(rèn)識(shí)有價(jià)值嗎？可以起到什么樣的作用？

生：……

生5：兩個(gè)等式的右邊相等（180°），則∠ACB＋∠CAB＋∠ABC＝∠CDB＋∠BCD＋∠DBC ⑥.將⑥的左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)減去①與③的左、右兩邊，就可得到②成立.

研究者所設(shè)計(jì)施教預(yù)案及其在課堂上得到執(zhí)行的教學(xué)活動(dòng)，可以說(shuō)是一節(jié)比較好地遵循了以學(xué)定教的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)理念的數(shù)學(xué)示范課.如此評(píng)價(jià)的重要依據(jù)在于，這樣設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)活動(dòng)充分地實(shí)現(xiàn)了從學(xué)生的“感覺(jué)效應(yīng)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)化為“運(yùn)動(dòng)效應(yīng)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程，體現(xiàn)了本研究所界定的以學(xué)定教的教學(xué)設(shè)計(jì)理念的精髓.因?yàn)椋趥鹘y(tǒng)的觀(guān)念中，數(shù)學(xué)常常被作為一個(gè)已經(jīng)完成了的形式理論來(lái)向?qū)W生說(shuō)教，開(kāi)始是定義、符號(hào)，接著是各種規(guī)律、算法與原理，最后對(duì)這些發(fā)現(xiàn)了的東西假惺惺地加以驗(yàn)證（證明）.教師教學(xué)設(shè)計(jì)的任務(wù)就是首先向?qū)W生呈現(xiàn)這些規(guī)律、定義、算法與原理，然后是舉例與講解.在這樣的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的主要任務(wù)就是模仿與復(fù)制，這恰恰沒(méi)有尊重學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與心理過(guò)程，施教的途徑就是只有數(shù)學(xué)知識(shí)卻目無(wú)學(xué)生.

然而，眾所周知，真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程是學(xué)習(xí)者在面臨問(wèn)題時(shí)經(jīng)由數(shù)學(xué)化過(guò)程而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)化信息，必須要憑依學(xué)習(xí)者的直覺(jué)思維首先提出猜想（課例中從學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的信息①②③三個(gè)等式，猜想使用三角形內(nèi)角和定理），然后加以證實(shí).如此，體現(xiàn)了在解決問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的那些符號(hào)、所引入的那些解決問(wèn)題的學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)都是思維活動(dòng)的結(jié)果，是將學(xué)生還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化，但學(xué)生自己可以感受到這種系統(tǒng)化的體驗(yàn)過(guò)程，為了學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中表述的需要才引進(jìn)的.這種在教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生形成的體驗(yàn)特別重要，有了這些體驗(yàn)，如果給學(xué)生以相似或同樣的條件，它們自己就會(huì)認(rèn)識(shí)到，不僅數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律，即使是數(shù)學(xué)定義也可以包括在學(xué)生能夠重新創(chuàng)造的范圍內(nèi)，教師就應(yīng)該以此為憑據(jù)展開(kāi)數(shù)學(xué)備課及基于此的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).

三、指向以學(xué)定教的教學(xué)理念應(yīng)突出數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的思想

研究者所提供的這個(gè)課例更進(jìn)一步的內(nèi)涵是能夠以此說(shuō)明以學(xué)定教的教學(xué)理念應(yīng)該突出數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的思想.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”這種思想的途徑，就必定是利用學(xué)生已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，充分發(fā)揮這一具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的作用，要求把學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)作為一種操作數(shù)學(xué)化信息的活動(dòng)過(guò)程來(lái)展開(kāi).在整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)盡最大努力為學(xué)生營(yíng)造一種良好的探究知識(shí)生成的活動(dòng)環(huán)境，在這個(gè)環(huán)境中，應(yīng)想方設(shè)法維護(hù)學(xué)生始終處于積極、主動(dòng)、創(chuàng)造的心理狀態(tài)，學(xué)生愿意甚至追求參與這個(gè)創(chuàng)造活動(dòng)之中，感覺(jué)到創(chuàng)造活動(dòng)是自己必不可少的需要，欣賞著那種從探究創(chuàng)造活動(dòng)中生成的激情.繼而通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)際情境（向?qū)W生提供相關(guān)的數(shù)學(xué)化信息）的接觸，增進(jìn)他們運(yùn)用自己的思維活動(dòng)，形成實(shí)踐創(chuàng)造的心理動(dòng)力.在這個(gè)過(guò)程中，萌生數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)原理，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，形成數(shù)學(xué)能力，構(gòu)建再創(chuàng)造的體驗(yàn)，吸收再創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，等等.

在以學(xué)定教教學(xué)設(shè)計(jì)理念下，數(shù)學(xué)教師的施教任務(wù)突出體現(xiàn)在，其教學(xué)組織、教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的展開(kāi)營(yíng)造一個(gè)優(yōu)化的環(huán)境，通過(guò)選擇乃至于設(shè)計(jì)合適的數(shù)學(xué)化信息的情境，為學(xué)生提供自由廣闊的學(xué)習(xí)空間.因此，首先，教師應(yīng)該聽(tīng)任學(xué)生在課堂上萌生各種數(shù)學(xué)觀(guān)念，并且啟發(fā)學(xué)生分析這些觀(guān)念對(duì)面臨具體問(wèn)題（組織信息）的價(jià)值，從而作出合適的選擇；其次，教師應(yīng)該聽(tīng)任具有不同思維層次、不同方法水平的學(xué)生力所能及地產(chǎn)生不同思維、不同方法、不同結(jié)論，并且真心誠(chéng)意地啟發(fā)學(xué)生評(píng)價(jià)（自己的或他人的）這些思維、方法與結(jié)論的價(jià)值，從而作出合適的選擇.在我們所提供的這個(gè)課例中，學(xué)生面臨問(wèn)題時(shí)，通過(guò)他們自己的探究活動(dòng)生成的觀(guān)念與方法，都是在研究者的合適啟發(fā)下，自己進(jìn)行了有效評(píng)價(jià)與選擇，由此不僅為解決問(wèn)題提供了利器，而且比較容易過(guò)渡到學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)（提出）問(wèn)題、從而加以分析與解決，并且通過(guò)這種選擇與應(yīng)用的過(guò)程，內(nèi)化并進(jìn)入學(xué)生的智囊，成為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)有機(jī)組成部分.

通過(guò)這個(gè)以學(xué)定教的課例，我們還應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)理念所形成的教學(xué)模式與現(xiàn)時(shí)所流行的“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)理念所形成的教學(xué)模式大相徑庭，迥然有別.其一，數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”不僅僅是具體的教學(xué)方法，更是高于具體教學(xué)方法的數(shù)學(xué)教學(xué)原則（一般方法），這是任何數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)都可以用得到的抽象的方法；其二，“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)則是一項(xiàng)具體的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這種教學(xué)方法常常是教師通過(guò)事先設(shè)計(jì)好的一個(gè)個(gè)問(wèn)題（表現(xiàn)為信息的形式）組成的“序列”，然而，如果從消極角度思考的話(huà)，這些“序列”又像是教師有意無(wú)意地設(shè)置“圈套”一般地牽著學(xué)生的鼻子走，其實(shí)，教師施教時(shí)稍不注意，這種方式就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)依然是被動(dòng)的，而這是數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)活動(dòng)必須要摒棄的.這個(gè)課例充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)思想.

數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的一個(gè)理想化模型就是充分地利用學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，每個(gè)學(xué)生都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的首要前提在于比較準(zhǔn)確地確定學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”已經(jīng)擴(kuò)展到了怎樣的程度，下一步可能向哪個(gè)方向再擴(kuò)展，如何幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這種再擴(kuò)展，據(jù)此，選擇課堂教學(xué)途徑.用弗賴(lài)登塔爾自己的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是“與其說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’；與其說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理體系，不如說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)‘公理化’；與其說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式體系，不如說(shuō)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的‘形式化’.”［3］數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)活動(dòng)模型，正是實(shí)現(xiàn)這三個(gè)“與其，不如”的一般的也是最佳的途徑.我們提供的這個(gè)課例也充分地體現(xiàn)了這一論點(diǎn).例如，從①②③這三個(gè)等式過(guò)渡到選用三角形內(nèi)角和定理的知識(shí)點(diǎn)，從④⑤過(guò)渡到⑥，都是基于激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”思想組織信息產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)活生生的體現(xiàn).

四、簡(jiǎn)要結(jié)語(yǔ)

指向以學(xué)定教的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，特別重視正在發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，有選擇地向?qū)W生提供相關(guān)的數(shù)學(xué)化信息，學(xué)生就會(huì)利用自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)組織信息，探究信息編碼的途徑，將教師提供的信息整合成某種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).因此，這種從信息到知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程都是經(jīng)由學(xué)生自己的編碼活動(dòng)實(shí)現(xiàn)的，這是一種數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，萌生數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)原理，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)能力，構(gòu)建再創(chuàng)造的體驗(yàn)，吸收再創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，由此，數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)模型不僅提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，而且可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的多項(xiàng)目標(biāo).

1.梅全雄.弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想［J］.數(shù)學(xué)教師，1993（7）.

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