拓展無極限
——2017年全國卷Ⅰ理第10題的拓展

☉江蘇省泗陽中學 王正軍

美國著名的數(shù)學教育家G·波利亞說過：“觀察可能導致發(fā)現(xiàn)，觀察將提示某種規(guī)則、模式或定律.”在解決一些相關(guān)數(shù)學問題時，有時我們通過深入觀察，多思維，多拓展，往往有意想不到的收獲.圍繞2017年高考全國Ⅰ卷理第10題（是一道涉及拋物線的最值題），可以很好地體會觀察的魅力.

高考真題 （2017年全國Ⅰ卷理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

分析：本題巧妙把拋物線的方程、兩直線的位置關(guān)系、弦長及最值等問題加以交匯，溝通圓錐曲線與解析幾何初步的相關(guān)知識，同時把基本不等式、三角函數(shù)等相關(guān)知識融合進來，有效地進行合理地知識交匯與整合，培養(yǎng)素養(yǎng)，提升能力.而采用不同的切入方法，并通過不同的拓展方向來處理，都可以有不錯的效果.

思路方向1：常見解題思維——拋物線定義+基本不等式法

根據(jù)題目條件設出直線l1的方程，通過聯(lián)立直線l1與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合拋物線的定義確定|AB|=x+x+p=4+，進而同理解得|DE|=x+x+p=

12344，結(jié)合基本不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題.

解法1：由拋物線C：y2=4x可得p=2，則焦點F（1，0），易知直線l1，l2的斜率均存在且不為0.

思路方向2：巧妙解題思維——焦點弦長公式+三角函數(shù)法

根據(jù)條件設出直線l1的傾斜角θ，根據(jù)拋物線的焦點弦長公式可得，結(jié)合兩直線l1，l2互相垂直的關(guān)系得到，通過三角恒等變換，并結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應代數(shù)式的最值問題.

解法2：由拋物線C：y2=4x可得p=2.

設直線l1的傾斜角為θ，根據(jù)拋物線的焦點弦長公式可得.又由于兩直線l1，l2互相垂直，則直線l的傾斜角為+θ，那么根據(jù)拋物線的焦點弦長公式2

點評拓展：該高考題設置新穎，以拋物線為背景，通過過其焦點的兩垂直直線與拋物線相交為切入點，根據(jù)確定的兩線段之和的最值問題的求解為突破口，思路多樣，方法各異.而采用拋物線的焦點弦長公式入手，把直線、拋物線、基本不等式、三角恒等變換，以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識加以交匯，綜合動與靜，交匯數(shù)與式，真正達到完美的統(tǒng)一.而深入觀察，可以進一步拓展與應用.

拓展方向1：抽象化思維

變式1：已知F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.8p B.7p C.6p D.5p

解析：直接根據(jù)以上解法2的解析過程就可以得到該問題的答案A.

拓展方向2：改變求解方向

變式2：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則平面四邊形ADBE的面積的最小值為（ ）.

A.32 B.28 C.24 D.20

解析：由拋物線C：y2=4x可得p=2.

設直線l1的傾斜角為θ，根據(jù)拋物線的焦點弦長公式可得.又由于兩直線l1，l2互相垂直，則直線l的傾斜角為+θ，那么根據(jù)拋物線的焦點弦長公式

2可得，則平面四邊形ADBE的面積S=2|AB||DE|=sin2θcos2θ≥32，當且僅當sin22θ=1，即θ=時，等號成立，故選A.

拓展方向3：抽象思維并改變求解方向

變式3：已知F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則平面四邊形ADBE的面積的最小值為（ ）.

A.8p2B.7p2C.6p2D.5p2

解析：直接根據(jù)以上變式2的解析過程就可以得到該問題的答案A.

拓展方向4：改變圓錐曲線類型4已知F為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個焦

變式：點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

解析：設直線l1的傾斜角為θ，根據(jù)橢圓的焦點弦長公式可得

又直線l1，l1互相垂直，則直線l的傾斜角為+θ.

當且僅當a2sin2θ+b2cos2θ=a2cos2θ+b2sin2θ，即θ=或時，取得等號，故選B.

其實，結(jié)合圓錐曲線的焦點弦長公式來處理此類焦點弦問題比較簡單，省去考慮相關(guān)直線的斜率是否存在的情況，同時涉及三角函數(shù)，利用其來處理最值問題更加得心應手.而進一步深入拓展，把圓錐曲線的類型轉(zhuǎn)化為雙曲線，又會有怎樣的結(jié)果？有興趣的同學可以進一步深入分析與應用.F