設(shè)而不求，金蟬脫殼
——高考解析幾何突圍的一大絕招

☉江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 蔡曉紅

設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用.設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度的減少，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過(guò)渡，借助相關(guān)定義、向量知識(shí)、基本不等式、平面幾何性質(zhì)等來(lái)設(shè)而不求，從而達(dá)到解題的目的.下面結(jié)合高考解析幾何中設(shè)而不求的幾大突破口加以實(shí)例剖析.

一、借助定義巧切入

例1（2017年山東卷理14，文15）在平同直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)-=1（a＞0，b＞0）的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x2=2py（p＞0）交于A，B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____.

分析：先設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義切入，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化關(guān)系式得到參數(shù)a、b的比值關(guān)系，達(dá)到設(shè)而不求，從而求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.

解：設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|AF|+|BF|=y++y+=y+y+p=4|OF|=2p，可得ABAByA+yB=p.把x2=2py代入雙曲線(xiàn)-=1，整理可得a2y2-2pb2y+a2b2=0，結(jié)合韋達(dá)定理知

所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為填答案：

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)問(wèn)題，往往借助圓錐曲線(xiàn)的定義，通過(guò)題設(shè)條件與定義加以聯(lián)系，建立相應(yīng)的關(guān)系式或不等式，從中剔除參數(shù)達(dá)到求解的目的，從而得以設(shè)而不求，化繁為簡(jiǎn).

二、借助“點(diǎn)差法”巧比值

例2 在橢圓+=1中，過(guò)點(diǎn)P（1，1）的弦AB恰被點(diǎn)P平分，求弦AB所在直線(xiàn)的方程.

分析：題設(shè)中給出橢圓上弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)設(shè)出直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)交點(diǎn)，利用“點(diǎn)差法”，通過(guò)斜率公式來(lái)達(dá)到求解相關(guān)的斜率問(wèn)題的目的，從而求得對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），顯然x1≠x2.

那么有x1+x2=2，y1+y2=2.

故弦AB所在直線(xiàn)的方程為y-1=-（x-1），即x+2y-3=0.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)設(shè)出直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)交點(diǎn)，利用“點(diǎn)差法”，通過(guò)“設(shè)而不求，金蟬脫殼”的思想方法來(lái)求解相關(guān)直線(xiàn)的斜率.當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交時(shí)，若已知弦的中點(diǎn)而求弦所在直線(xiàn)方程，可以對(duì)其交點(diǎn)實(shí)施“設(shè)而不求”.

三、借助向量巧轉(zhuǎn)化

例3 （2017年全國(guó)Ⅲ卷理20（1））已知拋物線(xiàn)C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線(xiàn)段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

分析：設(shè)出直線(xiàn)l的方程，通過(guò)聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定y1+y2與y1y2的值，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式得到O →A⊥O →B，設(shè)而不求，從而達(dá)到證明坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上的目的.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），l：x=my+2.

則Δ=4m2+16＞0，y1+y2=2m，y1y2=-4.

又 因 為 O →A·O →B=x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+4=（m2+1）×（-4）+2m×2m+4=0，所以O(shè) →A⊥O →B，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)問(wèn)題，往往借助平面向量的轉(zhuǎn)化，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的位置關(guān)系、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等，整體代入，設(shè)而不求，很好地達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

四、借助基本不等式巧應(yīng)用

例4 （2017年全國(guó)Ⅰ卷理10）已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

分析：根據(jù)條件設(shè)出直線(xiàn)l1的方程，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合弦長(zhǎng)公式|AB|=|y2-y1|確定|AB|的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合兩直線(xiàn)垂直的關(guān)系同理解得|DE|的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.

解：由題意得拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），易知直線(xiàn)l1，l2的斜率均存在且不為0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)l1的方程為x=ty+1.

則Δ=16t2+16＞0，y1+y2=4t，y1y2=-4，可得：

當(dāng)且僅當(dāng)4t2=，即t=±1時(shí)等號(hào)成立.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)問(wèn)題，往往借助基本不等式的應(yīng)用，通過(guò)含參關(guān)系式的建立，使之滿(mǎn)足基本不等式應(yīng)用的條件，進(jìn)而通過(guò)設(shè)而不求思維來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.這也是解決解析幾何中的最值問(wèn)題比較常見(jiàn)的一類(lèi)思維方式.

五、借助平面幾何巧突破

例5（2016年全國(guó)Ⅲ卷文12）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，若直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）.

分析：設(shè)出相應(yīng)的直線(xiàn)l的方程，結(jié)合題目條件確定|FM|與|OE|的長(zhǎng)度，利用平面幾何中△OBG∽△FBM的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，通過(guò)建立相應(yīng)的公式，采用“設(shè)而不求”思維，達(dá)到求解橢圓的離心率的目的.

解：設(shè)OE的中點(diǎn)為G，由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+a）.

分別令x=-c與x=0得|FM|=k（a-c），|OE|=ka.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)問(wèn)題，往往借助平面幾何的相關(guān)性質(zhì)來(lái)突破，采用平面幾何的性質(zhì)可以突破難點(diǎn)，進(jìn)而建立解析幾何中的相關(guān)關(guān)系式或不等式，采用設(shè)而不求來(lái)處理，解答過(guò)程顯得更為簡(jiǎn)單快捷，處理問(wèn)題更具特色，效果明顯.

在利用設(shè)而不求方法解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，需要做到：（1）凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；（2）“設(shè)而不求”不可避免的要設(shè)參，消參.而設(shè)參的原則是宜少不宜多.F