“邊邊角”的煩惱

李萍

[摘 要] “邊邊角”是指兩個三角形中有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，在教學過程中，教師往往把“邊邊角”不一定全等偷換成了“邊邊角”一定不全等，這需要引起教師的注意. “邊邊角”的類型較多，教師要充分重視“邊邊角”問題，做到心中有數，并妥善處理“邊邊角”教學.

[關鍵詞] “邊邊角”；三角形；不一定全等

煩惱的起因

筆者最近參加了某地初二數學的一次教研活動，開課老師講了下面一道題.

試題？搖 如圖1.

（1）若∠ABC=∠DBC，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一個條件為______；

（2）若AB=DB，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一個條件為______.

講解此題的過程中，教師最后問了一個問題：（2）中添加∠A=∠D可以嗎？問題一經提出，學生齊刷刷地回答：“不可以！”教師也強調：“不可以，因為這屬于‘邊邊角.”

學生中沒有一個人懷疑，教師備課時也沒有考慮到這種情況下△ABC與DBC是全等的，這引起了筆者的煩惱與思考.

“邊邊角”的名稱

“邊邊角”是什么？講不清楚，但老師在講，學生也在講. 大家都知道，三邊分別對應相等的兩個三角形全等，它可以簡寫成“邊邊邊”. 類似地，有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”，它們都可以用來判定兩個三角形全等. 而有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，它就沒有簡稱了，所以教科書里沒有“邊邊角”這個名稱，它是“山寨”的. 教師和學生在講“邊邊角”時，實際上是指兩個三角形中有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等.

概念轉換中概念被偷換了

人教版數學教材八年級上冊舉了這樣一個例子：如圖2，△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC與△ABD不全等. 這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等. 于是教師“山寨”了“邊邊角”，其意是不能用“邊邊角”來判定兩個三角形全等，也就是說，有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不能判定其全等. 這是概念的一次轉換. 而煩惱的是，在部分教師和大部分學生中，概念被偷換成了：有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形一定不全等，即出現“邊邊角”（直角除外）就一定不全等. 這就出現了上述教研活動中的那一幕.

“邊邊角”類型較多，教學生

不易

大家都知道，當兩邊分別對應相等，且其中一邊的對角均是直角時，就是三角形全等的另一個判定：斜邊和直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等，簡稱為“斜邊、直角邊”. 所以，此時的“邊邊角”能使兩個三角形全等.

回到前面的圖1，連接AD，因為AB=DB，所以∠BAD=∠BDA. 又∠BAC=∠BDC，所以∠CAD=∠CDA. 所以AC=DC. 因此可以通過“邊邊邊”判定△ABC≌△DBC. 雖然，這里給定的條件是兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，即“邊邊角”，但通過連接AD，利用等腰三角形的性質和判定，就可將其轉化為用“邊邊邊”證明△ABC≌△DBC. 若圖1給定的條件是AB=DB，∠ACB=∠DCB，就真的不能確定這兩個三角形全等了：如圖3，△ABC與△DBC滿足條件，但它們不全等.

當圖1變成圖4、圖5，滿足AB=DB，∠A=∠D時，△ABC與△DBC仍然是全等的. 那么，是否兩邊中公共邊所對的角相等時兩三角形就全等呢？事實上也不一定. 如圖6，當A，C，D三點在一條直線上時，這兩個三角形就不能確定全等.

“邊邊角”的類型較多，其中角為直角時，已有“斜邊、直角邊”，其余的有些能確定全等，有些不能確定全等. 八年級學生剛學習簡單的幾何證明，如果教師一股腦兒地讓學生全部掌握這些類型，豈不是會亂了學生的思維？所以，怎么教這部分內容還挺讓人煩惱的.

煩惱中的思考

從教研活動中開課教師和學生的反應，以及評課時參會教師對上述問題的反應（當筆者對此問題提出自己的看法時，許多教師還沒有反應過來），筆者感受到部分初中教師和學生對“邊邊角”的理解和應用確實有失偏頗. 數學是具有嚴密邏輯思維的學科，我們不能讓我們的學生在剛接觸簡單嚴密的邏輯思維訓練時，就出現漏洞，這會危及嚴密的邏輯思維能力培養. 所以，教師要準確理解教材中的說法，即有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等時兩個三角形不一定全等. 教材中說的不一定全等，是指有的全等，有的不全等，決不能把它偷換成一定不全等，不能一見到“邊邊角”就斷定這兩個三角形不全等，這是完全錯誤的. 我們教師要充分重視這個問題，要多了解“邊邊角”的各種情況，做到心中有數，同時也要根據量力性原則，不要向學生硬灌輸這些知識，造成學生剛學邏輯證明時便有負擔，影響其思維的條理性. 不過一定要強調“邊邊角”只是不能判定全等，并不是說這兩個三角形一定不全等，是否全等，還要具體問題具體分析. 遇到“邊邊角”，但要確定兩個三角形全等時，要用其他方法來證明；而要確定它們不全等，可參考圖2和圖6. 值得注意的是，教師在八年級第一學期編題時，應盡量避開能全等的“邊邊角”情況.